基于中間變量的乘子法

李 亮，孫 秦

LI Liang,SUN Qin

西北工業大學 航空學院，西安 710072

School of Aviation,Northwestern Polytechnic University,Xi’an 710072,China

1 引言

乘子法是求解約束優化問題的一類重要優化算法，該法最早由Powell[1]和Hestenes[2]于1969年針對等式約束優化問題同時獨立提出，后又于1973年由Rockfellar[3]推廣到求解不等式約束優化問題。該法的基本思想是在原約束優化問題的拉格朗日函數的基礎上再加上適當的罰函數，從而將原問題轉化為一系列的無約束優化子問題，并通過求解序列子問題的解來逐次逼近原問題的解[4-5]。

結構優化是一類典型的不等式約束優化問題，可以很好地用乘子法求解。在結構優化中，作為約束函數的應力、應變、位移、屈曲特征值等響應與作為設計變量的結構尺寸、坐標位置之間呈復雜的非線性關系，且變量往往存在于分母中[6-7]。為了降低約束函數的非線性程度，在對近似概念的研究中，Schmit[8]于1974年引入了倒變量作為中間變量，后來Fleury[9]又于1986年引入了混合變量作為中間變量。考慮到結構優化中設計變量值一般為正，本文將倒變量和混合變量這兩種中間變量引入乘子法，提出基于中間變量的乘子法。中間變量可以降低無約束子問題的非線性程度，可以提高乘子法求解結構優化問題的效率和精度。

2 理論基礎

2.1 乘子法

一般的結構優化問題可以表示為如下數學形式：

其中，x為設計變量的集合，f(x)為目標函數，cj(x)為約束函數，和分別為設計變量xi在設計空間中的下界和上界。此外，f(x)和cj(x)都是連續可微的，且問題（1）的可行域非空。

根據乘子法，可以將問題（1）轉化為如下形式的增廣拉格朗日函數：