以生為本提高數值分析教學效果的若干實踐

楊少華

（阜陽師范學院數學與計算科學學院 安徽阜陽 236037）

數值分析是數學的一個分支，研究各種數學問題求解的計算方法，其研究內容繁雜，包括：函數逼近、非線性方程與方程組的數值解法、數值微分與數值積分、微分方程初值問題的數值解法等。但它又不像其它數學課程只研究數學基礎理論，而是把數學理論與計算機技術緊密結合起來，重點研究數學問題的近似解求法及理論。隨著計算機技術的普及和發展，數值求解方法在生產實踐、工程技術和社會發展等眾多領域中的應用越來越廣泛，如：力學、物理學、航空航天、能源開發和金融風險投資等領域內的有關人員都把計算方法作為自己領域內的一種重要應用工具。

數值分析集數學理論和算法研究于一體，有著數學課程的高度抽象性、理論嚴謹性，又有著自身的廣泛實用性。該課程以培養學生的數值算法設計原理和理論分析能力為目標，要求學生能熟練地根據數學問題建立模型，設計出數值計算方法，然后編出程序在計算機上運算出結果，使學生在掌握理論基礎的同時培養學生的抽象思維能力和實際問題的解決能力。數值分析目前已成為眾多專業的必修課程。因此，如何進一步提高數值分析課程的教學效果，改進數值分析課程的教學方法，成為教育專家和高校教師關注的焦點之一。

一、數值分析課程的特點

隨著計算機技術的發展和完善，許多領域的科學研究越來越離不開計算機，而數值分析與計算機的聯系更是密切，它需要設計出合理可行、能經得起誤差檢驗、有好的計算復雜性的算法，然后通過計算機的運行得到數值解，這是它不同于其它數學課程的顯著特點。因此，在數值分析課程中對算法設計的講授最為關鍵，它把該課程的理論基礎與計算機技術緊密聯系在一起，為得到數值結果起到重要的作用。

（一）算法的設計要合理可行

由于數值分析與計算機的密切關系，在解決計算復雜、非人力所能解決的計算問題時，要設計出計算機能接受、滿足精度要求、計算省時的優良算法。因此，在數值分析的教學中，算法設計原理既是教學重點又是教學難點，只有設計出合理可行的算法，同時準確地將算法描述成計算機所能接受的程序，這是得到數值解的關鍵環節，否則無法得到結果。因此，在教學中，要讓學生掌握算法設計的方法、規則和描述語言，在實例中感受和理解設計出合理可行的算法的重要性，教師在上課時必須注意這方面的訓練。

（二）算法的設計要經得起誤差檢驗

數值分析主要研究算法設計原理，利用計算機得到較高精度的數值解，然后對結果進行誤差分析。誤差分析是一個重要而復雜的過程，而對誤差進行定量分析更是一個復雜、幾乎不可能的過程，通常只能對數值結果進行定性或可靠性分析，因此，算法的設計必須有堅實的理論基礎，具有收斂性和數值穩定性，也就是說能無限逼近真實解，達到計算的精度要求。而穩定性分析建立在相應的數學理論基礎上，因此要求算法設計者具有扎實的數學功底。而誤差分析因其復雜、抽象、理解較困難一直都是數值分析課程的教學重點和難點。

在實際教學中教師可通過一些簡單的例子讓初學者掌握誤差分析的基本方法，由淺入深，達到最終的教學目的。要讓學生明白算法設計的成功與否要通過誤差分析的檢驗，數值計算過程中不可省略誤差的分析與檢驗，而對誤差的準確分析與檢驗需要扎實的數學理論功底。

（三）算法的設計要有簡潔的計算復雜性

計算問題的最終目的要把設計好的算法轉換成計算機所能接受的某種語言，然后通過計算機運算出結果，所以算法的設計還需要考慮到輔助工具計算機的特點。針對具體問題，在一定限制條件下和思想指導下設計出具有好的計算復雜性算法，包括兩方面內容：其一是指時間復雜性，能節約運行時間；其二是指空間復雜性，能節省存儲空間，這是算法設計的基本要求，它對能否得到計算結果起到關鍵作用。在教學中，教師應加強學生對算法復雜性分析的訓練，引導學生進行算法設計與改良，指導學生進行獨立性學習，培養學生的創新意識，設計出節約運行時間、節省存儲空間的算法。

（四）算法的設計能被試驗證明行之有效

具備上述三個特點的算法最終還要被證明是行之有效的。由于算法設計的復雜性和計算機運行的特點，使得算法可能出現異常結果，不符合實際意義，所以我們還要注重試驗教學環節，在傳授理論知識的同時，還要加強培養學生分析、解決問題的能力，通過算法設計實例的講解，引導學生主動理論聯系實踐，提高學生解決數值計算問題的實際能力，得出有實際意義的計算結果，還要重視對數值計算結果的分析、討論，通過對實驗的體會和回味，使學生了解算法設計的優缺點，能驗證數值結果的可靠性，解釋出現異常結果的原因，進一步鞏固和消化理論知識，提高科學計算能力。

二、傳統數值分析教學亟待解決的問題

（一）理論晦澀，公式繁雜，難以接受

數值分析是數學的分支，與其他數學課程一樣有著抽象的理論，但數值分析還具有其它數學課程所不具備的實踐性強的特點。之前學生對數學課程的學習大都是先學習理論，然后根據理論完成相應的作業，邏輯推理的特性比較強，并且知識結構的銜接非常緊湊，而數值分析各部分內容自成體系，邏輯性、連貫性不強，學習內容的巨大差異加上學生的思想模式不能很快轉變，使得教學效果差強人意。此外，數值分析比之前所學的其它數學課程的公式更加繁雜，證明過程更是抽象，這也是學生不感興趣的主要原因，加上學生對數值分析這門課程的重要性認識不足，不能領會到數值分析這門課程對后續課程學習的重要作用，并且在學習過程中看不到明顯的現實意義，因而學生對這門課程的重視程度不夠，在學習中稍稍遇到困難時，他們往往就知難而退。

（二）內容豐富、知識點多，掌握困難

數值分析這門課程知識點比較多，信息量比較大，對于既需要接受理論基礎的學習又要完成試驗課任務的學生來說一個學期的教學時間遠遠不夠，想讓學生在規定的教學時數內真正掌握這些內容比較困難，數學專業的學生已經具備一定的數學基礎，情況相對來說會好一些，而對于非數學專業的學生而言情況可能會雪上加霜。

（三）重理論，輕實踐，授課方式單調

目前數值分析的教學中依然存在理論與實踐嚴重脫節的問題，然而這門課程具有很強的實踐特征。但鑒于教學時數不夠，大多數教師只講授書本的理論部分，而學生無法真正理解理論的用處，不能體會到理論對實踐的指導作用，加上很多學生只是為了考試而學習，這樣他們只獲得了表層知識，而沒有抓住知識的精髓和實質。

三、以生為本進行數值分析教學改革

針對傳統數值分析教學的弊端，為了提高學生的理論學習水平與應用能力，根據多年的教學實踐，我們從課程的教學內容，培養學生的學習興趣、實踐能力、創新能力等方面著手探討數值分析課程的教學改革。

（一）優化教學內容，減小學生學習壓力

數值分析課程的教學內容多，任務重，但學時有限，所以我們要仔細篩選，做到重點突出，但同時能圓滿完成教學大綱規定的任務。為使學生在理論課程的學習過程中能熟練掌握現代科學計算中常用的數值計算方法，在教學過程中要及時把教研、科研成果向學生介紹，使他們了解本學科最新的研究成果，開拓視野，激發他們的學習興趣，形成完整的理論體系，為學習后續課程奠定基礎。而實驗課教學是數值分析課程必不可少的教學環節，這個過程主要是使學生根據之前掌握的計算機知識和相應的數學軟件把設計出的算法編程，利用計算機運算出結果，然后分析結果的可靠性，既鞏固了理論知識又培養了學生利用計算機進行科學計算和解決實際問題的能力，為以后從事科學工作打下良好的基礎。為實現這一目的，課前要根據教學內容詳細地設計實驗課，要求學生熟練應用數學軟件編制程序，上機實現算法，仔細研究、分析實驗結果，將理論與實踐相結合，培養自己的實踐能力。

（二）培養學生學習興趣，激發學生的求知欲

課堂教學是教師傳授知識的主要方式，由于數值分析的內容抽象，公式繁雜，學生難免會有畏懼的心理，在聽課的過程中稍稍走神，后面的內容就會聽不懂。因此，對數值分析的教學要特別注重課前的預習，在講每一部分內容之前把這一章和每個小節的主要內容及解決問題的思路告訴學生，引導學生對新內容進行預習，課外獨立思考，尋找補充材料，讓他們考慮能否得到問題的準確解，若不能，那么如何用數值方法解決，使學生消除畏懼心理，激發求知欲。在教學環節上可采用從數值問題產生的背景為出發點，仔細講解問題的分析過程以及如何設計出合理的算法，最終上機運算出結果的方式，這樣可以喚起學生的學習熱情，提高他們的學習興趣。此外還可以應用靈活的教學方式，如：設計出難易適中的問題，在課堂上讓同學分組討論給出結果并對他們的結果進行分析與評價，這樣既可以調動他們學習的積極性還可以促使他們相互啟發，不斷深化認識，使問題的解決方案逐漸完善，讓學生從中體會到成功的喜悅和學習的樂趣，激發他們學習的熱情。

（三）多學科相融合，培養學生的實踐能力

實踐能力是以一定的理論知識為基礎，指導人們在各種實際情境中合理選擇和運用所掌握的知識和技能解決實際問題的能力。而數值分析是培養學生實踐能力的最佳課程，因為它需要人們通過計算機解決數值計算問題，所以掌握好計算機知識、增強學生的實踐能力是學好該課程的關鍵。選擇合適的教學軟件，將數值理論方法和計算機知識相結合，處理一些實際問題，在解決問題的過程中讓學生找到自己的不足之處，然后老師給出啟發、引導性的回答，培養他們獨立解決問題的實踐能力，提高學生的綜合素質，使學生真正學好這門課程。

（四）在問題情境中培養學生的創新能力

為了提高數值分析的教學效果，教師要在加強基本概念和基礎知識教學的同時還要高度重視培養學生的自學能力、思維能力和研究能力等創新能力。針對目前數值分析教學中存在的問題可在教學中采取如下改革措施：首先要改變學生理論知識與實際應用脫節的問題。在學習知識時，要在介紹新知識產生的背景下將新知識引出，這就需要老師在課前充分備課，查閱文獻資料，向學生介紹問題是如何產生的，對問題進行剖析，建立數學模型，最終解決問題，這樣可以增強學生對知識的理解，為創新能力的培養奠定扎實的理論基礎。另外，針對教材內容陳舊，沒有補充進最新發展的內容、作業形式單一等問題，教師可以通過布置一些簡單的學術文獻閱讀來彌補教材內容陳舊的缺陷，提高學生的創新能力。在實施的過程中，可對班里的同學進行分組，對組內各人的工作要求進行明確分工，將問題的處理過程與結果寫成論文，并安排每個小組進行陳述和答辯。這一方法對學生的團隊合作能力、每個成員的創新能力的提高都有很大的幫助。

四、結束語

數值分析是一門內容豐富，覆蓋面廣，理論抽象，不易接受，公式繁雜，不易記憶，與計算機緊密結合，實用性很強的課程，針對以上特點，結合自己多年來的授課經驗，提出以學生為中心，合理地選擇教學內容，注重培養學生的學習興趣，鍛煉學生的實踐能力，培養學生的創新能力，在數值分析課堂上實施相應的教學改革，提升了教學效果，得到學生的支持，極大地增強了學生學好數值分析課程的信心。當然，數值分析課程的教學改革任務是長期的，艱巨的，在今后的教學中要不斷地改進我們的教學方式方法，爭取取得更好的教學效果，為數值分析課程的教學改革多做貢獻。

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