淺談質(zhì)檢考試中的三次函數(shù)

摘要：《導(dǎo)數(shù)》在現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)課堂中具有很高地位，但是在文科數(shù)學(xué)中考點(diǎn)相對(duì)單一。現(xiàn)在文科數(shù)學(xué)又加進(jìn)了不少以前的理科導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可見其重要性。而文科學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)歸納不足，本文就荊州市歷年質(zhì)檢考試中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行研究和歸納。

關(guān)鍵詞：三次函數(shù)；質(zhì)檢考試；性質(zhì)

中圖分類號(hào)：G642？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）16-0277-02

目前在文科數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)問題是近年高考中的常見題型，特別是以三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）為背景的相關(guān)問題更是經(jīng)常出現(xiàn)。因?yàn)槠湟浑A導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，并且二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，兩者之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。那么函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖像到底有哪些情況，它的性質(zhì)有哪些？下面我們就從以下幾個(gè)方面來探索其重要性質(zhì)和考點(diǎn)。

以函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）為背景的題型主要涉及問題有單調(diào)性，極值、最值、切線、根的分布等問題，如果能理解其圖像與系數(shù)a、b、c、d的關(guān)系，則在解題中起到事半功倍的效果，首先分a>0與a<0來規(guī)納其性質(zhì)：

（1）當(dāng)a>0時(shí)，f'（x）=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）

①若Δ>0，則f'（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記為x1、x2，且x1=■，x2=■，單調(diào)性：函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，x1）或（x2，+∞），遞減區(qū)間為（x1，x2）

極值：從圖像可以看出f（x1）為極大值，f（x2）為極小值。

方程f（x）=0的根的分布為：

a：f（x1）·f（x2）<0，方程f（x）=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且在三個(gè)單調(diào)區(qū)間（-∞，x1）（x1，x2）（x2，+∞）各有一根。

b：f（x1）·f（x2）=0，方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

c：f（x1）·f（x2）>0，方程f（x）有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)根。

②若Δ≤0，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在R上為增函數(shù)，故f（x）無極值、無最值，方程f（x）=0只有一個(gè)根。

（2）當(dāng)a<0時(shí)，①若Δ>0，單調(diào)性：f（x）的遞增區(qū)間為（x1、x2），遞減區(qū)間為（-∞，x1）或（x2，+∞）。

極值：f（x1）為極小值，f（x2）為極大值。

方程f（x）=0的根的分布如下：

a：若f（x1）·f（x2）<0，則方程f（x）=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別介于三個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)。

b：若f（x1）·f（x2）=0，則f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

c：若f（x1）·f（x2）>0，則f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

②若Δ≤0，則f（x）<0恒成立，所以f（x）在R上為減函數(shù)，無極值、無最值，且與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

另：函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是（-■，f（-■）），由于篇幅有限證明過程這里不做敘述。

下面我們就近年來的質(zhì)檢模擬，高考試卷中的相關(guān)試題來分析這幾個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用。

例1：（2007年荊州質(zhì)檢）函數(shù)f（x）=（x-2）3+x-5的圖像是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（ ？搖？搖）。

A（1，-5） B（-2，3） C（3，-1） D（2，-3）

解f（x）=（x-2）3+x-5，是一個(gè)三次函數(shù)，化簡后可得f（x）=x3-6x2+13x-13，由性質(zhì)可知對(duì)稱中心為（-■，f（-■））即（2，-3），故選D。

例2：（2007年荊州質(zhì)檢）已知函數(shù)f（x）=2x3-3（a-1）x2+4x+6a（a∈R），g（x）=4x+6

（1）若函數(shù)y=f（x）的切線的最小值為1，求a。

（2）若兩函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的范圍。

解：（1）∵y=f（x）=2x3-3（a-1）x2+4x+6a，∴求導(dǎo)數(shù)有f'（x）=6x2-6（a-1）x+4≥■=4-■（a-1）2=1

∴（a-1）2=2 故a=±■+1

∵g（x）=4x+6的圖像是一直線

∴兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)，所以只需研究函數(shù)m（x）=f（x）-g（x）的圖像與x軸的關(guān)系。

由m（x）=2x3-3（a-1）x2+6（a-1）求導(dǎo)數(shù)有m（x）=6x2-6（a-1）x=6x[x-（a-1）]

①當(dāng)a=1時(shí)，m（x）=6x2≥0，m（x）在R上單調(diào)遞增，則m（x）和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。②在a≠1時(shí)，m（x）=0有兩根，x1=0，x2=a-1，即為y=m（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，m（x1）=m（0）=6（a-1）

m（x2）=m（a-1）=-（a-1）3+6（a-1）=（a-1）[6-（a-1）2]

y=m（x）和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則需m（x1）·m（x2）>0

∴6（a-1）（a-1）（6-（a-1）2）>0（a≠1）

∴（a2-1）2-6<0，有1-■

∴由①、②可知a的范圍是（1-■，1+■）

例3：（2010年荊州第二次質(zhì)檢）對(duì)于函數(shù)f（x）=■x3-ax2-x

（1）證明：f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)；（2）若f（x1）+f（x2）≤0成立，求a的范圍。

解：（1）∵f'（x）=x2-2ax-1，Δ=4a2+4>0，故方程f'（x）=x2-2ax-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x1

（2）∵極值點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，f（x2））

∴中心為（■，■）即（a，f（a））

又∵f（x1）+f（x2）≤0 ∴■=f（a）≤0，

即■a3-a3-a≤0，解得a≥0，∴a的范圍是[0，+∞）

縱觀以上事例，只要我們掌握了函數(shù)的性質(zhì)，在解題中無論是容易題、中檔題還是難題，都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要。盡管如此，我們還要進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、對(duì)稱性、圖像變化規(guī)律、切線方程等性質(zhì)的研究，這也有助于提高對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性的理解水平，拓寬解題思路。