基于數字條紋投影的三維形貌測量技術研究與實現

摘 要： 根據投影機和照相機的光學成像原理，借用雙目測量系統的標定方法搭建了一套測量精度高、標定過程自動化的基于數字條紋的三維形貌測量系統，并采用最新的相位展開技術用較少的條紋圖像完成相位展開，通過對人臉石膏像進行測量實驗，驗證了系統模型和測量方法的正確性。

關鍵詞： 數字條紋； 標定； 形貌測量； 相位展開； 三維重構

中圖分類號： TN710?34； TP391.4 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）23?0099?04

Research and implementation of 3?D profile measurement technique

based on digital fringe projection

LONG Jia?le1，2， CHENG Rui1， ZHANG Jian?min2

（1. Department of Electronic and Information Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China；

2. School of Information Engineering， Wuyi University， Jiangmen 529020， China）

Abstract： According to the principle of optical imaging of projector and camera， a three?dimensional profile measuring system based on digital fringe is constructed by using the calibration method of binocular vision measuring system， which has the advantages of automated calibration and high accuracy. The newest phase unwrapping method which uses less fringe patterns is employed. Experiments on a plaster human head model are conducted to confirm the system model and the measuring method.

Keywords： digital fringe pattern； calibration； profile measurement； phase unwrapping； three?dimensional reconstruction

0 引 言

隨著各種光學器件和技術應用于照相機和投影機，非接觸式光學測量方法得到快速發展，并廣泛應用到工業自動檢測、逆向設計、生物醫學、文物復制、人體測量等眾多領域中[1]。光學三維測量技術按照成像照明方式的不同通常可分為被動三維測量和主動三維測量兩大類。

其中主動三維測量技術采用不同的投射裝置向被測物體投射設計好的結構光，并拍攝經被測物體表面調制而發生變形的結構光圖像，然后從攜帶有被測物體表面三維形貌信息的圖像中計算出被測物體的三維形貌數據[2]。傳統的系統大都采用理想的數學模型，需要使用參考平面。這種測量系統不能得到精確的三維坐標；硬件的位置關系要求十分嚴格，可操作性差，標定過程麻煩。

基于數字條紋投影的三維形貌測量技術是目前很有發展前景的非接觸式主動測量，它在獲取物體表面三維數據時一般分為兩大步驟：先通過對變形條紋的分析獲取相位圖，再對相位圖進行展開操作。目前，應用最廣泛的條紋分析技術是傅里葉變換輪廓術（Fourier Transform Profilometry，FTP）和相移測量輪廓術（Phase Shifting Profilometry，PSP）兩種。

值得注意的是，不管是FTP還是PSP都是利用三角函數反求相位，相位結果分布在[[-π，π）]，必須要進行相位展開操作使得相位是連續變化的。現在的主要相位展開方法主要有空間相位展開技術（Spatial Frequency Analysis）和時間相位展開技術（Temporal Frequency Analysis）。

基于多頻率投影條紋的時間相位展開技術是通過對同一物體在不同時刻投影多個頻率的條紋以獲取更多信息的方式，使得相位展開不再依賴相鄰點信息和展開路徑。這種計算方法快速簡單，目前應用較廣，但也存在不足，主要是計算效率和可靠性有待進一步提高。

1 測量系統設計

本文采用的三維形貌測量系統由一個照相機和一個投影機組成，測量時使用投影機向被測物體投射一組光強呈正弦分布的條紋圖像，并使用照相機同時拍攝經被測物體表面調制而變形的條紋圖；利用拍攝得到的變形圖像，根據相位計算方法得到絕對相位；最后根據預先標定的系統參數從絕對相位計算出被測物體表面的三維數據。如圖1所示。

圖1 設計的測量系統

文獻[3]中S.Zhang和P.Huang提出，通過建立照相機圖像和投影機圖像的對應關系，使得投影機可以像照相機一樣拍攝圖像，從而將投影機的參數標定轉化為成熟的照相機參數標定，硬件的位置關系要求不嚴格。系統標定好之后，就可以根據絕對相位計算出待測物體上每點的三維坐標。目前，這種測量系統使用較為廣泛。

2 系統的標定

2.1 照相機的標定

照相機的成像過程可以近似看作是小孔成像的過程。在這種光學模型下，一個世界坐標系中的三維點[Mw]映射到照相機圖像中的點為[mc]，它們的關系為[mc∝Kc[Rc tc]Mw，]其中[∝]表示在一個比例系數下的相等關系；[[Rc tc]]是照相機的外參數矩陣，表示世界坐標系和照相機坐標系之間的平移和旋轉變換；[Kc]是照相機的內參數矩陣。目前通用的標定方法是張正友提出的，根據照相機拍攝到不同位置的模型平面上同一棋盤格圖像，找到不同位置同一角點之間的關系，可求解并優化得出參數矩陣的最優解。

2.2 投影機的標定

投影機和照相機一樣，可以把投影機的光學模型視作一個反方向上的照相機模型。對于世界坐標系中的點[Mp]和投影機圖像中的點[mp，]有類似的關系[mp∝Kp[Rp tp]Mw，]其中[[Rp tp]]是投影機的外參數矩陣，[Kp]是投影機的內參數矩陣。

投影機圖像中的點[mp，]投影到模型平面上，然后被照相機拍攝到成為照相機圖像中的點[mc，]它們的關系是[mp∝Hcpmc，]其中矩陣[Hcp]為相對于某一模型平面投影機和照相機之間的單應矩陣。那么，利用單應矩陣可以獲取投影機“拍攝”到的圖像。再用類同于照相機標定的方法標定投影機。

2.3 三個坐標系的統一

在實際的測量中，可以把世界坐標系和投影機坐標系都轉換到照相機坐標系，統一坐標系的好處是不再需要確定參考平面的位置，標定過程更容易。

在標定照相機和投影機過程中，對應放置在某位置的棋盤格標定板，都能分別得到該標定板上多個角點在照相機坐標系和投影機坐標系中的三維坐標。根據放置在多個位置的棋盤格標定板，可以得到多個點在這兩個坐標系中的三維坐標，從這兩組坐標可以推導出照相機坐標系到投影機坐標系的轉換矩陣[[R t]]。從而將三個坐標系都統一到照相機坐標系。

2.4 系統標定步驟

本文采用的系統標定步驟如下：

（1）把貼有紅藍棋盤格的標定板放在某一位置，投影機投射紅光，照相機拍攝并保存圖像；

（2）標定板位置不變，投影機投射黑白棋盤格，照相機拍攝并保存圖像；

（3）改變標定板的位置，重復第（1），（2）步直到獲得足夠多的圖像標定系統。

第（1）步獲取的圖像用來標定照相機，即得到照相機的內參數和相對于標定板每個位置的外參數；第（2）步獲取的圖像先聯合投影機投影的黑白棋盤格圖像計算出單應矩陣，再將其轉化為投影機“拍攝”的圖像用來標定投影機，即得到投影機的內參數和相對于標定板每個位置的外參數。最后將三個坐標系統一，得到如下數學模型方程：

[ucn，vcn，1T=I 0xw，yw，zw，1Tupn，vpn，1T=R txw，yw，zw，1T]

其中[[xw，yw，zw，1]]是物體表面的三維齊次坐標，待求；[ucn，vcn，1]是照相機圖像中的點，已知；[upn，vpn，1]是投影機圖像中的點，要由展開相位得到，展開相位與對應投影機圖像坐標之間的關系是：

[upn=PΦux，y2πvpn=PΦvx，y2π]

其中[Φux，y，][Φvx，y]分別為橫縱兩個方向上的展開相位；[P]為每個投影條紋所含的像素個數。當然，已知一個方向上的展開相位推出投影機圖像一個方向上的點坐標已可以求解上述數學模型方程，得到物體表面的三維坐標。

3 PSP相位分析技術

對于[N]步相移法，每一幅條紋圖像都和相鄰的條紋圖像相位上相差[2πN。]從[N]幅變形條紋求出相位[?x，y]的方法為：

[?x，y=arctan-n=1NIcnx，ysin（2πn-1/N）n=1NIcnx，ycos（2πn-1/N）]

式中：[Icnx，y]為第[n]步[n=1，2，…，N]相移時照相機拍攝到的變形條紋圖像；[arctan（?）]是在四個象限定義的反正切函數，即最后求得的[?x，y]范圍是[[-π，π）。]

4 基于雙頻率投影的相位展開方法[4?5]

投影條紋的空間頻率[f]為投影圖像上的條紋個數，當分別投影兩個頻率為[f1，][f2]的條紋，其中[f1，][f2]互質。[?1x]和[?2x]表示相位圖，取值范圍是[[-π，π），]它們和絕對相位[Φ1x]和[Φ2x]之間的關系是：

[?1（x）=Φ1x-2πm1（x）?2（x）=Φ2x-2πm2（x）] （1）

式中：[m1x]和[m2x]分別是頻率為[f1]和[f2]投影條紋的階數，都是整數。

根據[f2Φ1（x）=f1Φ2（x）]可以推出等式：

[f2?1（x）-f1?2（x）2π=m2（x）f1-m1（x）f2]

取單條紋圖像[Φ0x∈[-π，π）]作為參考，根據[Φ1（x）=f1Φ0（x）]和[Φ2（x）=f2Φ0（x）]可進行區間劃分，每個區間可確定對應的[m1x]和[m2x]。當取[f1=5，f2=8]時可推出表1所示映射關系。

表1的左邊第一列覆蓋了[-π<Φ0x<π]的全部范圍，第三列給出了[m2xf1-m1xf2]的所有可能取值且不重復。這樣就可以利用表1和公式（1）進行相位展開。具體實施流程如下：

（1）選擇兩個頻率[f1，f2]并建立一個與表1類似的表，保證這個表中的[m2（x）f1-m1（x）f2]和一組[m1x，][m2x]是一一對應的關系（即當[f1，f2]互質時）；

（2）將這兩個頻率的投影條紋投影到被測物體的表面上，通過條紋分析技術獲得它們的相位圖函數[?1x]和[?2x]；

（3）計算[f2?1（x）-f1?2（x）2π]并將其取成最接近的整數，記為[M。]使用第（1）步建立的表格，搜索表1中和[M]最為接近的[m2（x）f1-m1（x）f2，]記錄其相應行上的[m1x]和[m2x]；

（4）應用已經獲得的[m1x]和[m2x]和公式（1）恢復兩個頻率投影條紋的絕對相位。

表1 [Φ0x]到[m2（x）f1-m1（x）f2]的映射

根據這些步驟，可以正確地恢復所選擇投影條紋的絕對相位，而且僅使用兩個頻率的投影條紋。與現有的時間相位展開技術相比，由于避免了使用單位頻率投影條紋，在保證測量精度的同時大大減小了所需要采集的投影頻率圖像數量。

5 實 驗

實驗過程步驟如下：

（1）標定過程

將設計好的紅藍棋盤格圖貼到平板上并固定在測量范圍中的某一位置，分別投影一幅紅光圖像和黑白棋盤格圖像到平板上。重復20次，拍攝到20組圖像，其中投影紅光由照相機拍攝的圖像如圖2所示。

采集到20組圖像后，利用Jean?Yves Bouguet[6]的照相機標定Matlab工具箱進行照相機的標定，然后將照相機拍攝到的圖像轉換為投影機“拍攝”的圖像，如圖3所示。進行投影機和系統標定，確定相位和三維坐標間的轉換關系。

圖2 投影紅光由照相機拍攝的圖像

圖3 投影機“拍攝”的圖像

（2）測量和重構過程

照相機拍攝到的變形條紋圖像如圖4（a），（b）所示，圖4（a）中[f1=33，]圖4（b）中[f2=16。]

采用6步相移形貌測量法（PSP）獲得相位圖如圖4（c），（d）所示。

投影機的分辨率為768×1 024，雙頻率條紋形貌測量法相位展開后的真實相位圖如圖4（e），（f）所圖4 測量與重構過程的圖像

（3）結果

根據石膏像的真實相位圖，結合系統的數學模型，就可以得到石膏像表面各點的三維坐標，三維重構的結果如圖5所示。

圖5 石膏像的三維重建結果

6 結 論

基于數字條紋投影的三維形貌測量技術是目前最有發展前景的非接觸式光學測量技術之一。本文設計的測量系統摒棄了傳統理想模型對設備間的嚴格幾何約束條件，建立了一種類雙目測量系統，減少了標定過程的人工操作，測量精度大大提高。同時，選用最新的相位展開技術使用較少的條紋投影實現相位展開，通過實驗證明了系統的可行性，推動了三維形貌測量技術的研究。

參考文獻

[1] LUHMANN T， ROBSON S， KYLE S. et al. Close range photogrammetry： principles， techniques and applications [M]. New York： John Wiley and Sons， 2008.

[2] 李中偉.基于數字光柵投影的結構光三維測量技術與系統研究[D].武漢：華中科技大學，2009.

[3] SONG Z， PEISEN S H. Novel method for structured light system calibration [J]. Optical Engineering， 2006， 45（8）： 083601.

[4] DING Y， XI Y， YU Y G， et al. Recovering the absolute phase maps of two fringe patterns with selected frequencies [J]. Optics Letters， 2011， 36（13）， 2518?2520.

[5] DING Y， XI Y， YU Y G， et al. Frequency selection in absolute phase maps recovery with two frequency projection fringes [J]. Optics Express， 2012， 20（12）， 13238?13251.

[6] BOUGUET J Y. Camera calibration toolbox for Matlab [EB/OL].[2013?10?10]. http：//www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc/.

作者簡介：龍佳樂 女，1982年出生，華中科技大學在讀博士生，五邑大學講師。主要研究方向為三維形貌測量。