非匹配不確定系統(tǒng)的T?S模糊反演滑模控制

摘 要： 對(duì)于一類T?S模糊模型描述的非匹配不確定系統(tǒng)，滑模控制魯棒性難以保證問題，研究并設(shè)計(jì)了基于T?S模糊模型的模糊反演控制器。首先中間穩(wěn)定項(xiàng)通過選擇合適的Lyapunov函數(shù)來確定，在最后一步中確定滑模控制及參數(shù)。逐步設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器和跟蹤控制器，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)和漸進(jìn)穩(wěn)定。從仿真結(jié)果可以看出，所設(shè)計(jì)的模糊反演滑模控制器具有良好的跟蹤性能和動(dòng)態(tài)品質(zhì)，在加入干擾項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)仍具有良好的性能，表明該設(shè)計(jì)控制律的有效性和較強(qiáng)的魯棒性。

關(guān)鍵詞： 非匹配不確定系統(tǒng)； T?S模糊控制； 滑模控制； 反演控制

中圖分類號(hào)： TN710?34； TP273.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2013）19?0105?04

0 引 言

不確定系統(tǒng)的控制問題一直是控制理論界研究的熱點(diǎn)問題，滑模控制在匹配不確定系統(tǒng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得了廣泛應(yīng)用，但對(duì)于非匹配不確定系統(tǒng)，滑模控制的魯棒性難以保證。由于反演控制設(shè)計(jì)方法獨(dú)特的構(gòu)造性設(shè)計(jì)過程和對(duì)非匹配不確定性的處理能力，在飛機(jī)、導(dǎo)彈、電機(jī)、機(jī)器等控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了成功的應(yīng)用[1]。W.C.ohn等基于分塊反演技術(shù)設(shè)計(jì)了速度、姿態(tài)非線性控制系統(tǒng)，并將其應(yīng)用于格斗機(jī)的設(shè)計(jì)[2]。文獻(xiàn)[3]用帶有約束的自適應(yīng)反演方法設(shè)計(jì)了F?16/MATV非線性模型的控制系統(tǒng)，很好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)攻角和側(cè)滑角指令跟蹤。Bao hua Lian等基于非線性反演技術(shù)[4]，設(shè)計(jì)了飛行器高速再入段的控制系統(tǒng)。Huang Shengjie等將反演技術(shù)應(yīng)用于BTT導(dǎo)彈解耦控制[5]，將狀態(tài)系數(shù)作為不確定項(xiàng)來處理，實(shí)現(xiàn)了解耦控制。反演控制技術(shù)是一種非線性遞推控制設(shè)計(jì)方法，其穩(wěn)定性及誤差收斂性都已得到證明[6]。但反演方法要求系統(tǒng)不確定性可參數(shù)化表示，并存在“計(jì)算膨脹”的問題，隨著被控對(duì)象相對(duì)階的增加這使得控制器難以實(shí)現(xiàn)。

模糊控制是一種不依賴于對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，利用語言規(guī)則實(shí)現(xiàn)被控對(duì)象的控制，特別適合于非線性、時(shí)變等動(dòng)態(tài)特性復(fù)雜的多變量耦合系統(tǒng) [7?8]。T?S模糊模型是一種描述復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征的非線性模型，它是描述非線性系統(tǒng)的一種比較有效的方法[9]。文獻(xiàn)[10]已證明T?S模糊模型比Mamdani模糊模型具有更好的逼近性能。

滑模控制對(duì)參數(shù)不確定項(xiàng)和外部干擾具有不變性，模糊控制與滑模控制相結(jié)合的設(shè)計(jì)方法不僅能夠使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且能夠避免滑模控制的抖振現(xiàn)象。本文考慮一類含非匹配不確定MIMO非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題。利用反演設(shè)計(jì)技術(shù)具有處理非線性系統(tǒng)存在的非匹配不確定性的能力，并結(jié)合T?S模糊模型和滑模控制等理論設(shè)計(jì)了基于T?S模型的模糊反演控制器。

1 問題描述

考慮如下一類非匹配不確定性非線性多輸入多輸出系統(tǒng)：

[x1=b1x2+f1（x1）x2=b2u+f2（x1，x2）+w（t）] （1）

式中：[f（x）∈Rn]為系統(tǒng)非線性函數(shù)；[G（x）≠0，][x=[xT1，xT2，…，xTn]T]為系統(tǒng)狀態(tài)變量，[xi=[xi1，xi2，…，xin]，][（i=1，2，…，n）；][u][∈][Rn]為系統(tǒng)的輸入向量；[rank（G）=n；][w（t）]表示系統(tǒng)的不確定項(xiàng)和外干擾，不需要滿足匹配條件。

假設(shè)1 存在正的常量[bjm]和[bjM]滿足如下不等式[0

系統(tǒng)控制的目標(biāo)是在系統(tǒng)存在不確定項(xiàng)[w（t）]的情況下，設(shè)計(jì)控制律[u（t），]使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)[x（0）≠0]，收斂至平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。反演法在處理非匹配不確定性方面有很大優(yōu)勢(shì)，為此引入反演滑模控制理論對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2 基于T?S模糊模型的反演滑模控制

2.1 T?S模糊反演滑模控制器設(shè)計(jì)

T?S模糊系統(tǒng)可將復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)化為若干線性問題的組合，T?S模糊模型能夠綜合線性控制理論和模糊控制各自的優(yōu)勢(shì)。

針對(duì)非匹配不確定性式（1），對(duì)其進(jìn)行T?S模糊建模，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為可描述為以下[r]條模糊規(guī)則，則第[i]條模糊推理規(guī)則為：

[if z1 is Fi1 and z2 is Fi2…zn is Fin， thenx1=b1ix2+f1i（x1）x2=b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）] （2）

式中：[z（t）=[z1（t），z2（t），…，zn（t）]T]為模糊前件變量；[Fij]為模糊集合；[x（t）∈Rn]為狀態(tài)變量；[u（t）∈Rm]為模糊系統(tǒng)的輸入；[fji]和[bji]為非線性函數(shù)矩陣；[wi（t）]為系統(tǒng)的干擾和不確定性總和，[i=1，2，…，r；][j=1，2。]

設(shè)[αi（ti）]為[zi]關(guān)于模糊集合[Fi]的隸屬函數(shù)，則非線性不確定性系統(tǒng)的全局模糊T?S模型為：

[x1=i=1rαi（zi）（b1x2+f1（x1））x2=i=1rαi（zi）（b2u+f2（x1，x2）+w（t））] （3）

其中：[αi（z（t））=αi（z（t））i=1rαi（z（t））]。

設(shè)計(jì)反演滑模方法控制器步驟如下：

第一步：引入新的誤差狀態(tài)向量[z1，][z2∈Rn，]則有：

[z1=x1-x1dz2=x2-τ1] （4）

式中：[x1d，][τ1]為系統(tǒng)期望的狀態(tài)軌跡；[x1d]由控制信號(hào)命令給出。將[τ1]視為虛擬控制量。由式（2）和式（4）可得：

[z1=b1ix2+f1i（x1）-x1dz2=b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）-τ1] （5）

取虛擬控制量[τ1]為：

[τ1=-b-11i（K1z1+f1i（x1）-x1d）] （6）

式中：[K1=diag（k11，k12，…，k1n），k1i>0，i=1，2，…，n。]

結(jié)合上式整理式（5）可得：

[z1=b1ix2+f1i（x1）-x1d=-K1z1+b1iz2] （7）

第二步：設(shè)[K2=diag（k21，k22，…，k2n），k1i>0，i=1，2，…，n。]定義滑模面函數(shù)為：

[s=K2z1+z2] （8）

定義Lyapunov函數(shù)：

[V1=12zT1z1+12sT1s，]對(duì)其求導(dǎo)可得：

[V1=zT1z1+sTs=zT1（-K1z1+b1iz2）+sT（K2z1+z2）=-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）-τ1]] （9）

根據(jù)上式可設(shè)計(jì)基于T?S模糊模型的反演滑模控制器為：

[if z1 is Fi1 and z2 is Fi2…zn is Fin，then ui=-b-12i[K2（-K1z1+b1iz2）+f2i（x1，x2）+w- τ1i+K3s+K4sgn（s）]] （10）

自適應(yīng)律[w]為：

[w=K5sT] （11）

全局控制器為各個(gè)局部子系統(tǒng)控制律的加權(quán)和，根據(jù)以上模型可得：

[u=i=1rαiui] （12）

2.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)：

[V=12zT1z1+12sTs+12K5w2，]對(duì)其求導(dǎo)可得：

[V1=zT1z1+sTs+12K5w2=-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+w-τ1]-1K5w（w-K5sT）] （13）

將設(shè)計(jì)的控制律式（10）和自適應(yīng)律式（11）代入上式可得：

[V1=-zT1K1z1+zT1b1iz2-sTK3s-K4s] （14）

上式可整理變換為：

[V1=-zT1K1z1+zT1b1iz2-sTK3s-K4s=-zTQz-K4s] （15）

通過選取合適的參數(shù)值，可使[Q>0，]保證[Q]為正定矩陣。可使[V1≤0，]從而保證每個(gè)子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

取Lyapunov函數(shù)：

[V=12zT1z1+12sTs+12K5w2。]對(duì)此式求導(dǎo)，則可得：

[V=zT1z1+sTs+12K5w2=i=1rαi[-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+w-τ1]-1K5w（w-K5sT）]=-zTQz-K4s<0] （16）

因此全局T?S模糊模型是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 仿真算例

考慮二階MIMO非線性系統(tǒng)：

[q=f（x）+b（x）u] （17）

[其中：][f（x）=2gcos（q1+q2）（sinq2-1）cos（2q2）+4cosq2+192gcos（q1+q2）（2cosq2+10）cos（2q2）+4cosq2+19，]

[b（x）=200cos（2q2）+4cosq2+19-200sinq2cos（2q2）+4cosq2+19-200sinq2cos（2q2）+4cosq2+19400cosq2+2 000cos（2q2）+4cosq2+19]。

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的控制器的有效性和正確性，將式轉(zhuǎn)化為可進(jìn)行模糊反演滑模控制器設(shè)計(jì)的狀態(tài)空間形式。選取[x1=[q1，q2]T，][x2=[q1，q2]T，]系統(tǒng)狀態(tài)變量為[x=[xT1，xT2]T=[q1，q2，q1，q2]T，]則式（17）轉(zhuǎn)化為如下形式的狀態(tài)空間方程：

[x1=x2x2=f（x）+b（x）u+w（t）] （18）

式中[w（t）]表示系統(tǒng)的不確定項(xiàng)和外干擾總和。

對(duì)系統(tǒng)式（17），建立如下的T?S模糊模型：

模糊系統(tǒng)規(guī)則1：如果[q1]大約是[-π2，][±π2，][π2，][0，][0，][π2，][π2；]且[q2]大約是[-π2，][0，][-π2，][±π2，][0，][-π2，][-π2。]則：

[x1=x2x2=fi（x）+bi（x）u] （19）

[其中：][f1=1.077 8-0.686 1q2-10.963 7，b1=11.024 1-7.018 2q2-7.018 2q2111.010 9；]

[fi]和[bi]其他值略，[i=1，2，…，7。]

采用如圖1所示的三角隸屬函數(shù)實(shí)現(xiàn)輸入量的模糊化。

設(shè)系統(tǒng)指令信號(hào)[q1d]和[q2d]分別為[q1d=sin（0.4πt）]和[q2d=sin（0.6πt）]；系統(tǒng)的初始狀態(tài)為[x=[0.5，0.5，0，0]]。

采用本文設(shè)計(jì)的控制律式（10）對(duì)系統(tǒng)式（18）進(jìn)行控制，控制系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)如下：

[K1=100010，][K2=100010，][K3=1001，][K4=0.1000.1。]

當(dāng)[w（t）=0]時(shí)，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

當(dāng)[w（t）=2sinq1+0.2q12sinq2+0.2q2]時(shí)，控制系統(tǒng)參數(shù)取值同上，仿真結(jié)果如圖4和圖5所示，其中虛線為期望信號(hào)，實(shí)線為實(shí)際信號(hào)。

從仿真結(jié)果可以看出，設(shè)計(jì)的模糊反演滑模控制器具有良好的跟蹤性能和動(dòng)態(tài)品質(zhì)，在加入干擾項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)仍具有良好的性能，表明本文設(shè)計(jì)的控制律的有效性，并具有較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié) 論

反演法在處理系統(tǒng)不確定性尤其是非匹配不確定性方面有很大優(yōu)勢(shì)，是處理非匹配不確定系統(tǒng)的一種有效方法。本文討論了一類具有非匹配不確定系統(tǒng)的控制問題，利用反演控制方法、模糊控制和滑模控制方法，克服了非匹配不確定性的影響，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)魯棒性的同時(shí)改善了系統(tǒng)的性能。從仿真結(jié)果可以看出，所設(shè)計(jì)的模糊反演滑模控制器具有良好的跟蹤性能和動(dòng)態(tài)品質(zhì)，在加入干擾項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)仍具有良好的性能，表明本文設(shè)計(jì)的控制律的有效性，并具有較強(qiáng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)

[1] 胡云安，晉玉強(qiáng)，李海燕.非線性系統(tǒng)魯棒自適應(yīng)反演控制[M].北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[2] ROBINSON J W C， NILSSON U. Design of a nonlinear autopilot for velocity and attitude control using block backstepping [C]// AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit. SanFrancisco， USA： AIAA， 2005： 15?18.

[3] SONNEVELDT L， CHU Q P， MULDER J A. Constrained adaptive backstepping flight control application to a nonlinear F?16/MATV model [C]// AIAA Guidance， Navigation and Control Conference and Exhibit. Keystone， Colorado， USA： AIAA， 2006： 21?24.

[4] LIAN B， BANGY H. Adaptive backstepping control based autopilot design for reentry vehicle [C]// AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit. Rhode Island， USA： AIAA， 2004： 16?19.

[5] HUANG Sheng?jie， ZHAO Zhu?wei， LUO Qi. Design for BTT missile controller base on the RBF neural networks[C]// Proceedings of 2007 Chinese Control Conference. Hunan， China： CCC， 2007： 26?31.

[6] TSAI Huang?liang， LIN Jium?ming. General autopilot design for btt missile by generalized linear quadratic gaussian / loop transfer recovery method [C]// AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit. Keyston， Colorado， USA： AIAA， 2006： 21?24.

[7] 王宇飛，姜長(zhǎng)生.近空間飛行器直接自適應(yīng)變論域模糊滑模控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33（3）：633?637.

[8] KUNDU A K. Aircraft design[M]. New York： Cambridge University Press， 2010.

[9] 佟紹成，王濤，王艷平，等.模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[10] YING H. General SISO Takagi?Sugeno fuzzy system with linear rule consequent are approximators[J]. IEEE Transaction on Fuzzy System， 1998， 6（4）： 582?557.