非匹配不確定系統的T?S模糊反演滑模控制

摘 要： 對于一類T?S模糊模型描述的非匹配不確定系統，滑模控制魯棒性難以保證問題，研究并設計了基于T?S模糊模型的模糊反演控制器。首先中間穩定項通過選擇合適的Lyapunov函數來確定，在最后一步中確定滑模控制及參數。逐步設計調節器和跟蹤控制器，進而實現系統的全局調節和漸進穩定。從仿真結果可以看出，所設計的模糊反演滑模控制器具有良好的跟蹤性能和動態品質，在加入干擾項時，系統仍具有良好的性能，表明該設計控制律的有效性和較強的魯棒性。

關鍵詞： 非匹配不確定系統； T?S模糊控制； 滑模控制； 反演控制

中圖分類號： TN710?34； TP273.4 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）19?0105?04

0 引 言

不確定系統的控制問題一直是控制理論界研究的熱點問題，滑模控制在匹配不確定系統控制系統設計中得了廣泛應用，但對于非匹配不確定系統，滑模控制的魯棒性難以保證。由于反演控制設計方法獨特的構造性設計過程和對非匹配不確定性的處理能力，在飛機、導彈、電機、機器等控制系統設計中得到了成功的應用[1]。W.C.ohn等基于分塊反演技術設計了速度、姿態非線性控制系統，并將其應用于格斗機的設計[2]。文獻[3]用帶有約束的自適應反演方法設計了F?16/MATV非線性模型的控制系統，很好地實現了對攻角和側滑角指令跟蹤。Bao hua Lian等基于非線性反演技術[4]，設計了飛行器高速再入段的控制系統。Huang Shengjie等將反演技術應用于BTT導彈解耦控制[5]，將狀態系數作為不確定項來處理，實現了解耦控制。反演控制技術是一種非線性遞推控制設計方法，其穩定性及誤差收斂性都已得到證明[6]。但反演方法要求系統不確定性可參數化表示，并存在“計算膨脹”的問題，隨著被控對象相對階的增加這使得控制器難以實現。

模糊控制是一種不依賴于對象的精確數學模型，利用語言規則實現被控對象的控制，特別適合于非線性、時變等動態特性復雜的多變量耦合系統 [7?8]。T?S模糊模型是一種描述復雜系統動態特征的非線性模型，它是描述非線性系統的一種比較有效的方法[9]。文獻[10]已證明T?S模糊模型比Mamdani模糊模型具有更好的逼近性能。

滑模控制對參數不確定項和外部干擾具有不變性，模糊控制與滑模控制相結合的設計方法不僅能夠使閉環系統穩定，并且能夠避免滑模控制的抖振現象。本文考慮一類含非匹配不確定MIMO非線性系統的控制器設計問題。利用反演設計技術具有處理非線性系統存在的非匹配不確定性的能力，并結合T?S模糊模型和滑模控制等理論設計了基于T?S模型的模糊反演控制器。

1 問題描述

考慮如下一類非匹配不確定性非線性多輸入多輸出系統：

[x1=b1x2+f1（x1）x2=b2u+f2（x1，x2）+w（t）] （1）

式中：[f（x）∈Rn]為系統非線性函數；[G（x）≠0，][x=[xT1，xT2，…，xTn]T]為系統狀態變量，[xi=[xi1，xi2，…，xin]，][（i=1，2，…，n）；][u][∈][Rn]為系統的輸入向量；[rank（G）=n；][w（t）]表示系統的不確定項和外干擾，不需要滿足匹配條件。

假設1 存在正的常量[bjm]和[bjM]滿足如下不等式[0

系統控制的目標是在系統存在不確定項[w（t）]的情況下，設計控制律[u（t），]使系統由任意初始狀態[x（0）≠0]，收斂至平衡點附近的鄰域內。反演法在處理非匹配不確定性方面有很大優勢，為此引入反演滑模控制理論對控制器進行設計。

2 基于T?S模糊模型的反演滑模控制

2.1 T?S模糊反演滑模控制器設計

T?S模糊系統可將復雜的非線性問題轉化為若干線性問題的組合，T?S模糊模型能夠綜合線性控制理論和模糊控制各自的優勢。

針對非匹配不確定性式（1），對其進行T?S模糊建模，系統動態行為可描述為以下[r]條模糊規則，則第[i]條模糊推理規則為：

[if z1 is Fi1 and z2 is Fi2…zn is Fin， thenx1=b1ix2+f1i（x1）x2=b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）] （2）

式中：[z（t）=[z1（t），z2（t），…，zn（t）]T]為模糊前件變量；[Fij]為模糊集合；[x（t）∈Rn]為狀態變量；[u（t）∈Rm]為模糊系統的輸入；[fji]和[bji]為非線性函數矩陣；[wi（t）]為系統的干擾和不確定性總和，[i=1，2，…，r；][j=1，2。]

設[αi（ti）]為[zi]關于模糊集合[Fi]的隸屬函數，則非線性不確定性系統的全局模糊T?S模型為：

[x1=i=1rαi（zi）（b1x2+f1（x1））x2=i=1rαi（zi）（b2u+f2（x1，x2）+w（t））] （3）

其中：[αi（z（t））=αi（z（t））i=1rαi（z（t））]。

設計反演滑模方法控制器步驟如下：

第一步：引入新的誤差狀態向量[z1，][z2∈Rn，]則有：

[z1=x1-x1dz2=x2-τ1] （4）

式中：[x1d，][τ1]為系統期望的狀態軌跡；[x1d]由控制信號命令給出。將[τ1]視為虛擬控制量。由式（2）和式（4）可得：

[z1=b1ix2+f1i（x1）-x1dz2=b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）-τ1] （5）

取虛擬控制量[τ1]為：

[τ1=-b-11i（K1z1+f1i（x1）-x1d）] （6）

式中：[K1=diag（k11，k12，…，k1n），k1i>0，i=1，2，…，n。]

結合上式整理式（5）可得：

[z1=b1ix2+f1i（x1）-x1d=-K1z1+b1iz2] （7）

第二步：設[K2=diag（k21，k22，…，k2n），k1i>0，i=1，2，…，n。]定義滑模面函數為：

[s=K2z1+z2] （8）

定義Lyapunov函數：

[V1=12zT1z1+12sT1s，]對其求導可得：

[V1=zT1z1+sTs=zT1（-K1z1+b1iz2）+sT（K2z1+z2）=-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+wi（t）-τ1]] （9）

根據上式可設計基于T?S模糊模型的反演滑模控制器為：

[if z1 is Fi1 and z2 is Fi2…zn is Fin，then ui=-b-12i[K2（-K1z1+b1iz2）+f2i（x1，x2）+w- τ1i+K3s+K4sgn（s）]] （10）

自適應律[w]為：

[w=K5sT] （11）

全局控制器為各個局部子系統控制律的加權和，根據以上模型可得：

[u=i=1rαiui] （12）

2.2 穩定性分析

定義Lyapunov函數：

[V=12zT1z1+12sTs+12K5w2，]對其求導可得：

[V1=zT1z1+sTs+12K5w2=-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+w-τ1]-1K5w（w-K5sT）] （13）

將設計的控制律式（10）和自適應律式（11）代入上式可得：

[V1=-zT1K1z1+zT1b1iz2-sTK3s-K4s] （14）

上式可整理變換為：

[V1=-zT1K1z1+zT1b1iz2-sTK3s-K4s=-zTQz-K4s] （15）

通過選取合適的參數值，可使[Q>0，]保證[Q]為正定矩陣。可使[V1≤0，]從而保證每個子系統是漸進穩定的。

取Lyapunov函數：

[V=12zT1z1+12sTs+12K5w2。]對此式求導，則可得：

[V=zT1z1+sTs+12K5w2=i=1rαi[-zT1K1z1+zT1b1iz2+sT[K2（-K1z1+b1iz2）+b2iu+f2i（x1，x2）+w-τ1]-1K5w（w-K5sT）]=-zTQz-K4s<0] （16）

因此全局T?S模糊模型是漸進穩定的。

3 仿真算例

考慮二階MIMO非線性系統：

[q=f（x）+b（x）u] （17）

[其中：][f（x）=2gcos（q1+q2）（sinq2-1）cos（2q2）+4cosq2+192gcos（q1+q2）（2cosq2+10）cos（2q2）+4cosq2+19，]

[b（x）=200cos（2q2）+4cosq2+19-200sinq2cos（2q2）+4cosq2+19-200sinq2cos（2q2）+4cosq2+19400cosq2+2 000cos（2q2）+4cosq2+19]。

為驗證本文設計的控制器的有效性和正確性，將式轉化為可進行模糊反演滑模控制器設計的狀態空間形式。選取[x1=[q1，q2]T，][x2=[q1，q2]T，]系統狀態變量為[x=[xT1，xT2]T=[q1，q2，q1，q2]T，]則式（17）轉化為如下形式的狀態空間方程：

[x1=x2x2=f（x）+b（x）u+w（t）] （18）

式中[w（t）]表示系統的不確定項和外干擾總和。

對系統式（17），建立如下的T?S模糊模型：

模糊系統規則1：如果[q1]大約是[-π2，][±π2，][π2，][0，][0，][π2，][π2；]且[q2]大約是[-π2，][0，][-π2，][±π2，][0，][-π2，][-π2。]則：

[x1=x2x2=fi（x）+bi（x）u] （19）

[其中：][f1=1.077 8-0.686 1q2-10.963 7，b1=11.024 1-7.018 2q2-7.018 2q2111.010 9；]

[fi]和[bi]其他值略，[i=1，2，…，7。]

采用如圖1所示的三角隸屬函數實現輸入量的模糊化。

設系統指令信號[q1d]和[q2d]分別為[q1d=sin（0.4πt）]和[q2d=sin（0.6πt）]；系統的初始狀態為[x=[0.5，0.5，0，0]]。

采用本文設計的控制律式（10）對系統式（18）進行控制，控制系統參數設計如下：

[K1=100010，][K2=100010，][K3=1001，][K4=0.1000.1。]

當[w（t）=0]時，仿真結果如圖2和圖3所示。

當[w（t）=2sinq1+0.2q12sinq2+0.2q2]時，控制系統參數取值同上，仿真結果如圖4和圖5所示，其中虛線為期望信號，實線為實際信號。

從仿真結果可以看出，設計的模糊反演滑模控制器具有良好的跟蹤性能和動態品質，在加入干擾項時，系統仍具有良好的性能，表明本文設計的控制律的有效性，并具有較強的魯棒性。

4 結 論

反演法在處理系統不確定性尤其是非匹配不確定性方面有很大優勢，是處理非匹配不確定系統的一種有效方法。本文討論了一類具有非匹配不確定系統的控制問題，利用反演控制方法、模糊控制和滑模控制方法，克服了非匹配不確定性的影響，使系統具有較強魯棒性的同時改善了系統的性能。從仿真結果可以看出，所設計的模糊反演滑模控制器具有良好的跟蹤性能和動態品質，在加入干擾項時，系統仍具有良好的性能，表明本文設計的控制律的有效性，并具有較強的魯棒性。

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