基于Chebyshev正交多項式的通道相位估計算法

摘 要：針對信號傳輸通道相位估計等問題，提出了一種通過利用Chebyshev正交多項式逼近函數計算反正切函數值求取通道相位的算法，該算法通過象限判別、區間劃分的方法計算反正切函數的輸入值，然后利用Chebyshev正交多項式逼近函數計算信號相位，最后，通過迭代算法簡化計算。該算法具有算法簡單，估計速度快、精度高的特點。

關鍵詞：Chebyshev正交多項式； 反正切； 函數逼近； 相位估計

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）19?0148?03

0 引 言

相位估計在相控陣雷達和通信等領域應用非常廣泛，通過改變通道間的相位關系，可以實現波束捷變。相位估計的實現方法有很多，包括載波鑒相法、相位逼近等，通過反正切法逼近算法可以實現信號通道相位估計。反正切值估計算法包括泰勒公式估計算法[1]、CORDIC算法[2?3]等，在獲得相同精度條件下，Chebyshev反正切逼近算法相對于泰勒公式算法和CORDIC算法具有迭代次數少、乘積項少和迭代速度快的特點。

1 基本原理

1.3 快速迭代算法[4]

由切比雪夫遞推公式（2）可知，隨著迭代次數的增加，會導致乘加項過多，從而導致算法過于復雜。根據切比雪夫迭代公式（2），待實現函數可以通過遞推的方式實現，從而避免了隨著逼近精度的提高導致硬件難以實現的問題。

[dm+1≡dm≡0，dj≡2xdj+1-dj+2+cj，i=m-1，m-2，…，1f（x）≡d0=xd1-d2+c02，] （7）

式中：[i]為Chebyshev估計系數個數；[dj]為迭代估計過程值；[f（x）]為估計結果。

2 相位估計系統設計

2.1 接收系統構架

相位估計接收機構架如圖1所示，相位估計系統接收到的發射機信號為[s=Acos（ωt+θ），]通過模數變換將模擬信號變為數字信號，通過正交變換后，將信號分為I，Q兩路：

通過計算兩路信號的反正切[θ=arctan（QI）]值，即可估算出信號通道相位[θi，][i=1，2，…，n。]

相位估計系統組成如圖1所示，其中相位估計模塊用于實現反正切值計算。

對于多通道相控陣系統，通過計算通道相位差[Δθ=θi-θj，][i，j=1，2，…，n，]即可實現通道相位差估計。

2.2 相位估計模塊設計

如圖2所示，相位估計模塊收到I，Q兩路信號后，根據I，Q兩路信號值，進行區間判別、I，Q值計算，從而得到信號反正切逼近的輸入值，然后根據公式（6）選擇[QI]計算方法，最后，通過象限恢復來獲得對應的信號相位[θ。]

3 仿真結果

根據系統設計，利用Matlab軟件進行函數值逼近，針對不同估計函數系數和不同量化誤差情況分別進行性能分析。

3.1 未量化時不同估計系數情況誤差分析

3.2 量化后同一估計系數誤差精度分析

從圖6可以看出，當Chebyshev函數系數為6時，相位估計精度已經能夠達到8位量化精度，圖7給出了在Chebyshev函數系數為6時，不同量化精度情況下的仿真精度。從圖中可以看出，量化位數越高，估計精度越高。

根據圖7，當系數為6時，不同量化值估計精度如圖8所示。

4 結 語

本文首次將Chebyshev逼近算法應用于信號傳輸通道相位估計，分析了利用基于Chebyshev函數的信號通道相位逼近算法性能，對不同Chebyshev系數和同一系數不同量化精度的情況下相位估計精度進行了仿真。仿真結果表明，隨著Chebyshev系數的增加，估計精度逐漸提高，同一系數情況下量化位數越高，估計精度越高，該算法具有估計速度快、精度高的特點，得到的結果可以作為需要相位估計算法各種應用場合的理論依據。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.微積分[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2] VOLDER J E. The CORDIC trigonometric computing technique [J]. IRE Transactions on Electronics Computers， 1959， 8（3）：330?334.

[3] WALTHER J. A unified algorithm for elementary functions [C]// Proceedings of the Spring Joint Computer Conference. Atlantic City， NJ， USA： AFIPS， 1971： 379?385.

[4] 徐士良.計算方法[M].北京：人民郵電出版社，2009.

[5] WILLIAM H. Numerical recipes in C： the art of scientific computing [M]. England： Cambridge University Press， 2007.

[6] 石軍.基于Chebyshev映射的混沌特性及其性能分析[J].現代電子技術，2008，31（23）：93?96.