韋達定理在中學數學題中的應用

在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，如果方程有兩個根 和 ，那么x1+x2= 。法國數學家韋達最早發現一元二次方程的根與系數之間有這種關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。

由定理可知，已知一個一元二次方程，在無需解方程的情況下，就能知道方程的根與系數的關系，這個定理在初中數學中的應用比較常見，對解一些數學題，特別方便，快捷。下面就針對具體的例題，分析韋達定理在中學數學中的應用。

例1：設a，b是方程x2+x-2013=0的兩個不相等的實數根，求a2+2a+b的值。

解析：因為a，b是方程x2+x-2013=0的兩個不相等的實數根，故由韋達定理得a+b=-1，由根的定義得a2+a-2013=0，即a2+a=2013，所以，a2+2a+b=2012。

點撥： 本題主要考察了一元二次方程的韋達定理，根的定義以及初中數學整體思想，解決此類題型的關鍵是熟悉相關的知識及初中數學常見思想方法。

例2：已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0

（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若x1，x2是原方程的兩個根，且|x1-x2|=2√2，求m的值，并求出此時方程的兩個根。

分析：（1）要證明方程有兩個不相等的實數根，只要證明根的判別式的值大于0即可；（2）根據一元二次方程的根與系數的關系可以得到兩根的和是-（m+3），兩根的積是（m+1），結合|x1-x2|=2√2即可求出m的值，繼而可求出方程的兩個根。

解：（1）證明：因為△=（m+3）2-4（m+1）=（m+1）2+4，無論m取何值時，（m+1）2+4的值恒大于0，所以原方程總有兩個不相等的實數根。

（2）因為x1，x2是原方程的兩個根，所以x1+x2=-（m+3）， x1x2=m+1，又因為|x1-x2|=2√2；所以（x1-x2）2=8，所以（x1+x2）2-4 x1x2=8，即[-（m+3）] 2-4（m+1）=8，所以m2+2m-

3=0，解得：m1=-3，m2=1，當m=-3時，原方程化為x2-2=0，解得x1=√2，x2=-√2，當m=1時，原方程可化為：x2+4x+2=0，解得：x1=-2+√2，x2=-2-√2。

點撥：本題考查了一元二次方程根的判別式，求根以及根與系數的關系，完全平方公式。解題的關鍵是先求出兩根之和與兩根之積的值，利用兩根的和與兩根的積表示兩根的平方和，把求未知系數的問題轉化為解方程的問題。

例3：關于x的方程x2-（5k+1）x+k2-2=0是否存在負數k，使方程的兩個實數根的倒數等于4？若存在，求滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由。

分析：先假設k存在，由韋達定理求出k的值，再將k的值代入原方程，若方程有實數根，則k就是所求的值；若方程無實數根，則k就不是所求的值。

解：假設存在這樣的負數k，使方程的兩實數根的倒數和為4。

設方程x2-（5k+1）x+k2-2=0的兩個根為x1，x2，則由根與系數的關系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2。所以

=4。整理，得4k2-5k-9=0，解得k1=-1，k2= ，因為k<0，所以k=-1。當k=-1時，b2-4ac=[-（5k+1）] 2-4（k2-2）=21k2+10k+9=20>0。所以存在這樣的負數k，當k=-1時，方程的兩實數根的倒數和等于4。

點撥：解結論不確定型的探索題，常用的方法是先假設其存在，根據題中的條件求解或推出矛盾。若能求出符合條件的字母的取值，則證實假設是正確的；若求不出字母的值，則說明假設不成立。

例4：關于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數根分別為x1，x2。（1）求m的取值范圍；（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0，求m的值。

解：（1）因為關于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數根分別為x1，x2。所以△≥0，即32-4（m-1）≥0，解得，m≤13/4。

（2）由已知可得x1+x2=-3，x1x2=m-1，又因為2（x1+x2）+ x1x2+10=0，所以2×（-3）+m-1+10=0，所以m=-3。

點撥：本題利用根的判別式列出不等式，求出m的取值范圍，再利用韋達定理求出兩根之和與兩根之積代入，從而求出m的值。

雖然這部分內容是選修部分，但是在中考中依然經常出現，考試的內容主要是根與系數的關系的應用，因此，仍需多加留意，對我們解題還是很有幫助的。