關于最大值與最小值問題的討論

摘要：本文通過微積分最值的求法經大量例題分析，運用函數的求導數、求積分、求偏導數等方法解決經濟問題中復利與貼、成本最小，或收益最大，或利潤最大，稅收等問題。

關鍵詞：微積分；經濟；最大值與最小值

中圖分類號：O172 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）24-0082-03

微積分在經濟學中的應用非常廣泛，最值的求法是解決經濟問題中，成本，價格，利潤，收入等經濟量的最大與最小值的問題.為了解決上述問題，需要建立變量之間的各種經濟函數，常用的經濟函數有以下幾種：

一、增長函數

1.簡單增長函數

f（t）=A+dt 其中A、d為常數

它是時間t的線性函數.

2.復合增長函數

f（t）=A（1+r）t

函數成比例增長.

如銀行年利率為r，若現值為A，則t年末本、利之和為f（t）.此時利率因以年計息，稱離散復利.

3.指數型成長函數

f（t）=Aert

函數呈指數型增長.

如銀行利率為r，現值為A，按連續復利計算，t年末本利和為f（t）.

二、需求函數

需求量Q與價格P之間的函數關系稱為需求函數，記為Q=f（P），其中Q為需求量，P為價 格，它是單調減少函數.其反函數P=f-1（Q）也稱為需求函數.

三、供給函數

設產品的供給量為Q，價格為P，一般地，供給量Q是價格P的函數Q=?漬（P）

四、成本函數

設C為總成本，C1為固定成本，C2為可變成本，C為平均成本，Q為產量，則有：

總成本函數 C=C（Q）=C1+C2（Q）

平均成本函數 C=C（Q）=■=■+■

五、收益函數

設R為總收益，Q為銷售量，P為價格

則R=R（Q）=PQ稱為總收益函數

R=■為平均收益函數

六、利潤函數

設R為總收益，C為總成本，L為總利潤.

則稱L（Q）=R（Q）-C（Q）為總利潤函數.

列出函數關系式后，就可以求駐點；然后判別函數在駐點處是否取得極值

利用極值可以解決復利與貼現問題：

復利與貼現問題主要是考慮時間因素對優化問題的作用，若題設為連續復利，年利率為r，則t年后的資金按現值計算應乘貼現因子e-rt，稱為貼現問題；反之若現值t年后計算，

考慮資金利率因素，應乘復利因子ert，稱為復利問題。

例1某酒廠有一批新釀的好酒，如果現在（假定t=0）就售出，總收入為R0（元）；如果用窖藏起來待來日按陳酒價格出售，t年末總收入為R=R0e-rt，假定銀行年利率為r，并以連續復利計息.試求窖藏多少年售出可使總收入的現值最大，并求r=0.06時的t值.

解：根據連續復利公式，在年利率為r的情況下，現值為A（元），t年末的總收入為R（t）=Ate-rt，反之t年末總收入為R（t）的現值為A（t）=R（t）e-rt，將R（t）=R0e■代入，

即得到總收入的現值與窖藏時間t之間的關系式，

A（t）=R0e■ （t≥0）

在用微分法求其最大值.

■=R0e■（■-r）

令■=0 得t0=■

由■=R0e■（■-r■）-■

于是 ■t=t■=R0e■（-12.5r3）＜0

故t■=■是極大值點（即最大值點）.故窖藏t■=■（年）售出，總收入的現值最大.

當r=0.06時，t=■≈11（年）.

利用極值可以求成本最小，或收益最大，或利潤最大等問題：

求成本最小，或收益最大，或利潤最大等，關鍵是要構造目標函數，即構造成本函數、收益函數與利潤函數。基本成本函數C（x）主要由固定成本和可變成本兩個部分構成，固定成本也可記作C（0），一般不為零，總收益函數R（x）表示以價格P銷售x單位產品獲得的收益，記為xP。其中x與P之間存在函數關系，稱為需求函數。因此R（x）=xP（x）或P·x（p）。收益函數一般可由需求彈性積分得到。而利潤函數L（x）可表示為R（x）-C（x）。

例2已知某產品邊際成本為4+■（萬元/單位），固定成本為1萬元，產品對價格的需求彈性為-■產品最大需求量為8，求使產品取最大利潤時的產量和銷售價。

解：由已知c'=4+■，c（0）=1，所以c（x）=■c'（x）dx+c（0）=4x+■+1

又有η0=■=-■（這時由于經濟意義，可判定-■）＜0。分離變量

■=■，積分得lnx=lnp-8+lnc

因為x（0）=8，代入有c+1，故有x=8-p，R（x）=8x-x2

綜上討論，L（x）=8x-x2-（4x+■+1）=4x-■x2-1

令l'（x）=4-■x=0，得x=■又因L\"（x）=-■＜0可以判定x=■

為最大值點，此時，p=8-x=6■即當產量為■個單位，售價為6■萬元時，利潤最大。

例3：某商品進價為a（元/件），根據以往的經驗，當銷售價為b（元/件）時，銷售量為c件（c、b、c均為正常數，且b≥■a市場調查表明，銷售價每下降10%，銷售量可增加40%，現決定一次性降價.試問：當銷售價定為多少時，可獲得最大利潤？并求出最大利潤。

解：設P表示降價后的價格，x為增加的銷售量，L（x）為總利潤，那么

■=■ 則P=b-■x

故L（x）=（b-■x-a）（c+x） L'（x）=-■x+■b-a

令L'（x）=0得唯一駐點x0=■

由L\"（xx）=-■＜0可知，x0為極大值點（也是最大值點），故定價為P=b-（■b-■）=■b+■（元）

時，得最大利潤：

L（x0）=■（5b-4a）2

例4：設某工廠生產甲，乙兩種產品，產量分別為x，y千件，利潤函數為L（x，y）=6x-x2+16y-4y2-2（萬元）

已知生產這兩種產品時，每千件產品均需消耗某種原料2000kg，現有該原料12000kg，問這兩種產品各生產多少千件時，總利潤最大？最大利潤為多少？

解：由題意 2000（x+y）=12000

即x+y=6

因此，問題就是在x+y=6的條件下求利潤L（x，y）的最大值，為此設F（x，y，λ）=6x-x2+16y-4y2-2+λ（x+y-6）

由方程組F'■=6-2x+λ=0F'■=16-8y+λ=0F'■=x+y-6=0

解得唯一駐點（■，■，■）既是極大值點，也是最大值點。

因此，甲、乙兩產品分別生產■和■千件時，總利潤最大，最大利潤為L（■，■）=■

（萬元）。

例5：某養殖場飼養兩種魚，若甲種魚放養x萬尾，乙種魚放養y萬尾，收獲時，兩種魚的收獲量分別為（3-αx-βy）x和（4-βx-2αy），求使產魚總量最大的放養數。（α＞β＞0）

解：設產魚總量為z，則z=3x+4y-ax2-2ay2-2βxy由極值的必要條件得方程組

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βx=0

得唯一解 x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■=-2β，C=■=-4α

得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）

由題設α＞β＞0故B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2），且A＜0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。

x與y分別為甲，乙兩種魚的放養數。

例6：設某產品的需求函數與供給函數分別為Qd=14-2P，Qs=-4+2P，

若廠商以供需一致來控制產量，政府對產品征收的稅率 ，

求：（1）t為何值時，總稅收最大，最大值是多少？

（2）征稅前后的均衡價格和均衡產量。

解：（1）稅后供方銷售單位產品得到收益是p-t，因此，供給函數應為Q=-4+2（p-t），

于是，供需平衡時有-4+2（p-t）=14-2p，得納稅后的均衡價p0=■（9+t）。

從而納稅后的均衡產量也即銷量為Q0=4-2p0=5-t

從而總稅收為T=tQ0=5t-t2

令■=5-2t=0，得t=■，且■=-2＜0

知，當稅率為t=■時，總稅收最大，最大稅收為T=（5t-t2）■=6■

（2）征稅前，由Qd=Qs，即14-2P=-4+2P

得均衡價格和產量為p=4■，Q=5，而征稅后的均衡價格與產量為P0=5■，

Q0=2■。

利用極值可以解決廣告問題：

廣告費問題要注意兩點：一是收益函數構造只取決于廣告費的投入，一般情況下與銷量價格無關；二是廣告費不列入一般成本函數。

例7：設某產品銷售單價為5萬元，可變成本為每單位3.75萬元。又設產品經廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費A有關系式x=200■，求使產品經營利潤最大的廣告投入。

解：依題意總收益函數為R=xP=5×200■=1000■

C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利潤函數為L=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）令L'=■-1=0的A*=1252=15625（萬元）

又L\"=-■A■＜0知A*為最優的廣告投入，使利潤最大。