用于間諧波檢測的頻域向量分解法

覃浩，楊洪耕

（四川大學電氣信息學院，成都 610065）

工業電弧爐工業感應爐以及變頻調速裝置在電力系統中的廣泛應用，使得系統中間諧波問題日益嚴重[1-2]。間諧波因其頻率與基頻的異步性，會導致信號峰值和有效值發生周期性波動，從而引發信號閃變[3]。大量實驗和研究表明，當間諧波頻率越是接近諧波頻率時，信號的包絡線波動愈是嚴重。因此，如何有效地判定間諧波是否存在以及精確地檢測出其頻率、幅值以及相位是分析閃變和間諧波對應關系的重點。

快速傅里葉算法（fast Fourier transform，FFT）是目前電力系統諧波與間諧波分析最常用的工具，但這種算法需要在同步采樣的情況下才能得到準確的信號參數，否則就會在頻域產生柵欄效應和頻譜泄漏現象，從而影響測量精度。在解決非同步采樣的問題上，現有的同步鎖相環技術（phase locked loop，PLL）[4]或時域插值技術[5]已可使采樣頻率同步跟蹤信號基頻，此時由基波與諧波引起的檢測誤差已接近于零。但對于含有間諧波的信號而言，由于間諧波的頻率無法預知，采樣很難做到對間諧波同步，則頻譜泄漏現象依然存在。加窗插值傅里葉算法[6-8]能夠在非同步采樣的情況下有效減小柵欄效應和頻譜泄漏引起的誤差。這些方法首先通過選用旁瓣較小的窗函數來減小頻譜泄漏引起的誤差，再對計算結果使用插值修正算法以減小柵欄效應引起的誤差。但是，當信號中兩個頻率分量主瓣發生重疊時，上述方法和以往的加窗插值方法都無法區分這兩個分量。

本文在IEC61000-4-7[9]推薦的采樣窗口長度下，提出一種基于頻譜向量分解[10]的電力系統諧波/間諧波檢測法。仿真算例的結果表明，該方法簡單易行，計算精度滿足工程需求。在短窗口前提下，為電力系統諧波和間諧波頻譜校正提供了新的思路。

1 頻率成分間的主瓣干擾

設某信號中含有兩個頻率成分，即

式中：fh為諧波頻率；fi為間諧波頻率。若fh為基波50Hz，fi為53Hz的間諧波（|fh-fi|=3Hz）。單頻信號y1（t）與y2（t）加海寧窗（HanningWindow）的離散時間傅里葉變換（discrete time Fourier transform，DTFT）結果在圖1中分別為Y1（f）和Y2（f）。這兩個頻率成分合成的原信號的DTFT為Y（f）。

圖1 兩相鄰頻率成分主瓣干擾Fig.1 M ain lobe interference between two closed frequency com ponents

觀察圖1中的3條DTFT曲線，可以看出曲線Y1（f）與Y2（f）完全被Y（f）所覆蓋。信號的DFT結果如圖1中的柱狀圖形所示，傳統的插值傅里葉變換法使用信號DFT后在頻域內的峰值譜線進行頻率分量的參數校正。在這兩個頻率成分發生主瓣干擾的情況下，利用以往方法所得的結果既不是fh也不是fi，而是一個完全錯誤的頻率分量。

2 發生主瓣干擾兩頻率分量的判斷

根據向量共線原則[11]，在復頻域中某個單頻信號的相鄰譜線相位差為π，也就說在復平面所有譜線都共線。若考慮到其他頻率分量的影響，并利用幅值最大的兩條譜線作為判定依據，得

式中，θk為最大譜線的相位角。在實際計算中，由于誤差的存在，Δθ不可能剛好為0，只要Δθ小于允許誤差ε即可。若Δθ＜ε，就可以判斷該信號只有一個頻率成分；反之則在這個頻域范圍內則有兩個發生主瓣干擾的頻率分量，就要使用本文提到的頻域分量分解法繼續進行分析。

3 頻域向量分解法

設有兩個發生主瓣干擾的單頻率成分a（t）與b（t），其疊加信號為c（t）。海寧窗DFT結果分別為A（f）、B（f）、C（f）。海寧窗的主瓣內有3～4條譜線。取C（f）中幅值最大的3條，設為C1、C2、C3，其對應相位為θ1、θ2、θ3。設A（f）與B（f）對應3條復數譜線為A1、A2、A3與B1、B2、B3，其在復頻域中疊加關系見圖2。

圖2 頻域向量分解法原理Fig.2 Principleof frequency domain vector analysis

由于A（f）與B（f）都是單頻信號的頻譜函數，根據前文提到的相位共線原則，譜線A1、A2、A3必過坐標原點O共線；B1、B2、B3也過坐標原點并共線。過O做一條垂直于直線B1B2B3的軸線x，與坐標軸Re夾角為α1，與直線A1A2A3夾角為β1，此時C1、C2、C3在Re上的投影為V1、V2、V3，則

C1、C2、C3是A1與B1、A2與B2、A3與B3矢量疊加的結果，由平行四邊形法則可知，V1、V2、V3同樣是A1、A2、A3在x軸上的投影，則

由于A1、A2、A3是單頻率成分頻域上的譜線，由單頻率成分的幅值判定方法[11]為

式中：f為真實頻率；ΔK為校正頻率；Δf為頻率分辨率。根據Hanning窗幅值校正公式，可以得

式中:ΔKA為對應于主瓣3條幅值最大譜線中最左邊譜線Lleft與最大譜線Lmax的左校正量；ΔKB為對應最右邊譜線Lright與最大譜線Lmax的右校正量。當信號為單頻率信號時滿足

將式（3）、式（4）、式（6）～式（8）合并，可以得

式中，C1、C2、C3與θ1、θ2、θ3都為已知數，要求α1。為了減少計算時間，本文采用查表插值法來計算α1，同理可以計算出α2，則此時有

由式（3）和式（4）可得

式中，i=1，2，3。同理可求得B1、B2、B3。A2、B2對應的相角分別為

至此，本方法已把這兩個頻率分量完全分離開，再分別單獨對它們進行頻率、幅值校正即可[11]。

4 算例分析

設含有間諧波的電力系統電壓信號為

式中，信號中各頻率成分的總數M=8，基波頻率為50.1Hz。具體參數如表1所示。

對其采樣，采樣頻率為1 000Hz，采樣10個周期。分別采用文獻[7]的奇數頻點插值法（方法一）與本文方法（方法二）做比較。信號在這兩種方法下DFT的幅值頻譜圖如圖3所示。通過兩種方法的分析計算比較，其結果如表2～表4所示。

表1 信號參數Tab.1 Signalparaments

圖3 仿真信號幅值頻譜Fig.3 Amplitude spectra of thesimulation signal

表2 頻率的相對誤差Tab.2 Relativeerrors in calculating frequency

表3 幅值的相對誤差Tab.3 Relativeerrors in calculating amplitude

表4 相位的相對誤差Tab.4 Relative errors in calculating phase

方法一通過對信號DFT計算結果的相位進行研究，利用相位旋轉使得旁瓣各譜線相位相反，在插值過程實現泄漏抵消，能夠有效地抑制各頻域分量旁瓣的影響。但在信號發生主瓣干擾時，它只能測出發生了主瓣干擾的諧波與間諧波中幅值較大的諧波分量，相對較小的間諧波分量則被完全淹沒。同時，由于間諧波對諧波分量的譜線干擾，使得對較大分量的參數校正也受到了極大的影響。以本算例來說明，信號中存在頻率為50.1Hz諧波與53.2 Hz間諧波兩個頻率分量，直接使用奇數頻點插值法校正后被算作了一個幅值為0.98（p.u.）的50.063 4Hz的基波分量，而間諧波分量則未被檢測出來。

4 結論

（1）在非同步采樣條件下，加窗插值FFT算法能夠有效抑制各頻率分量間的相互干擾，但卻很難檢測出發生了主瓣干擾的兩個分量。

（2）本文分析了發生主瓣干擾兩頻率分量在頻譜上重疊干涉情況，提出一種基于頻譜向量分解的檢測方法。在IEC61000-4-7所推薦的10個采樣周期的條件下，本方法能有效地分辨并計算出發生主瓣干擾的兩頻率分量的信號參數。仿真結果證明，該方法簡單易行，有較高的測量精度。

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