超圖建模法及其在車輛傳動系統中的應用*

唐正華，閆清東，冷韶華，劉 毅

(1.北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081;2.裝甲兵學院模擬訓練中心，蚌埠 233050;3.山東經貿職業學院，濰坊 261011;4.裝甲兵學院裝甲裝備教研室，蚌埠 233050)

前言

隨著技術的發展，坦克裝甲車輛動力傳動系統結構也日益復雜與多樣，經歷了定軸齒輪傳動向行星傳動、液力傳動和液力機械傳動等形式演變［1］。傳動系統的復雜性給其設計與分析帶來了困難;因建模復雜，目前RecurDyn、Adams和CFX等商業軟件都難以有效解決多工程領域的混合問題［2］;鍵合圖理論將多種物理參量統一為勢變量、流變量、廣義動量和廣義位移4種廣義變量，隱藏了機液電等不同能域之間的差異;然而，在傳動系統存在功率循環時，鍵的方向無法確定，增加了動力傳動系統的鍵合圖模型構建的復雜性［3］。超圖理論［4］是有效解決此種未確定功率流向的方法之一。

超圖是圖論的一個分支，作為最一般的離散結構，超圖非常適合對龐大復雜系統進行拓撲描述。隨著大規模集成電路和計算機技術的高速發展，超圖在信息科學、生命科學和工程技術等領域的應用越來越廣泛。本文中基于超圖理論，構建車輛傳動系統轉速轉矩超圖模型，運用深度優先搜索算法［5］，自動獲得傳動系統的擋位信息，為設計計算提供了有效的手段，提高了分析與設計效率。

1 典型部件的超圖模型

超圖是有序三元組(V，E，Φ)的數學表示，其中V為頂點集，E為邊集，Φ為E到V中元素有序對或無序對簇的函數，稱為關聯函數［6］。V中的元素為頂點，E中元素為邊。關于頂點集V，存在邊e=(v1，v2，…，vi)，vi∈V，若 i=1，即邊 e只含有1 個頂點，這樣的邊稱為自環邊;若i=2，即含2個頂點的稱為普通邊;若i≥3，即含3個和3個以上頂點的邊，稱為多元邊。自環邊、普通邊和多元邊統稱為邊。邊的圖形表示如圖1所示。

基于超圖理論的建模方法是:研究某一類事物和它們之間的某種聯系時，若用頂點表示某一類的若干事物，用邊表示它們之間的聯系，并將聯系的具體形式——關聯函數作為屬性賦給邊，即可把研究對象抽象為由一組點和連接這些點的一組邊所構成的超圖。屬性用［·］表示。

車輛傳動系統由各個傳動部件組成，構建傳動部件的超圖模型是建立傳動系統超圖模型的基礎。傳動部件的超圖模型具體構建規則如下:(1)部件組成元件映射為頂點，元件間的連接關系映射為邊;(2)賦予頂點所映射元件的轉速與轉矩屬性，賦予邊映射關系所對應的數學模型;(3)基于運動學和動力學，分別構建轉速與轉矩超圖模型;(4)針對控制元件，構建其不同控制狀態下的轉速與轉矩超圖模型。

以基本行星排為例，行星排由太陽輪t、齒圈q和行星架j 3個元件組成，它們之間存在的轉速和轉矩關系式如下:

式中:nt、nq、nj和 Tt、Tq、Tj分別為太陽輪、齒圈、行星架的轉速與轉矩;k為行星排的特性參數。

構建的轉速超圖模型如圖2所示。轉速超圖模型中，太陽輪、齒圈和行星架映射為頂點 vt、vq、vj，式(1)轉速關系式映射為三元邊(vt，vq，vj)。將3元件的轉速附加到超圖模型的頂點屬性上，如頂點vj的轉速屬性是 vj［n］，其值為 nj。邊(vt，vq，vj)轉速屬性是(vt，vq，vj)［n］，其值是 nt+knq－ (1+k)nj，滿足式(1)的關系。

構建的轉矩超圖模型如圖3所示。太陽輪、齒圈和行星架間的轉矩關系式(式(2))映射為邊(vj，vq)和邊(vj，vt)，且有這樣的屬性:(vj，vq)［T］=kTj+(1+k)Tq，(vj，vt)［T］=Tj+(1+k)Tt。

離合器、制動器、定軸齒輪對、行星排和液力變矩器等典型部件，在車輛傳動系統中極為常見，它們之間通過機械或液力等形式完成能量傳遞或轉換。典型部件的超圖模型如表1所示，限于篇幅，表中未標明頂點和邊的屬性。

2 傳動系統的超圖模型

將傳動系統的各個組成部件模塊化，建立部件超圖模型，并將部件間的物理連接映射為超圖模型的邊，構建傳動系統的超圖模型。其具體構建規則如下:(1)基于運動學和動力學，分別構建傳動系統的轉速與轉矩超圖模型;(2)因傳動系統存在控制件，須針對不同的控制狀態建立相應的轉速與轉矩超圖模型;(3)建立傳動系統組成部件的轉速超圖模型，將連接兩個部件的只具連接關系的軸(或忽略軸的柔性和慣量)映射為轉速超圖模型的邊;(4)建立傳動系統組成部件的轉矩超圖模型，將連接兩個及以上部件間的只具連接關系的軸(忽略軸的柔性和慣量)映射為轉矩超圖模型的多元邊，若定軸齒輪對存在惰輪，則對惰輪構建自環邊;(5)將傳動系統的輸入與輸出映射為超圖模型的源點與目標點，若傳動系統不存在動力輸入或動力輸出部件，則通過引入虛頂點來描述假想的動力輸入輸出元件，將動力輸入和輸出關系映射為邊，構建完整的轉速與轉矩超圖模型。

注:(1)其他6種基本行星排和普通行星排類似，其差別只反映在數學模型上，而轉速與轉矩超圖模型的拓撲形式不變;(2)數學模型中的“－”表示對應工作狀態的該部件各端口間不存在轉速或轉矩關系式;(3)定軸齒輪對在作為傳動組件時，其構成元件未全部與其他組件或元件有連接關系(如存在惰輪)的情況下，其轉矩會增加一條轉矩為0的關系式，相應地轉矩超圖模型也發生改變。

以圖4所示某定軸變速器為例，分別建立其轉速與轉矩超圖模型。該變速系統由輸入錐齒輪副1，齒輪副2、3、4、5 和離合器 CL、CH、CR、C1、C2、C3等通過軸I、II、III構成單輸入雙輸出系統。

空擋(即離合器 CL、CH、CR、C1、C2、C3 都處于分離狀態)時的轉速超圖模型如圖5所示。其中標號11、12分別表示構成錐齒輪副1的兩個齒輪，用CL、CL表示CL離合器的主被動邊，其余類推。為了更清楚地描述傳動系統的輸入輸出，引入虛頂點I、O1和O2，分別表示系統的輸入、左側和右側輸出。頂點I是超圖模型的源點，頂點O1、O2是超圖模型的目標點。

從圖中可以看出，28個頂點構成了頂點集，25條邊構成了邊集。系統分析時，一個頂點表示一個自由度，一條邊表示一個約束，則該系統的自由度為28－25=3。當已知系統輸入時，即增加了自環邊(vI)，相當于增加了一個約束，系統的自由度降為2。此時通過對控制件離合器的操縱組合，增加兩條邊，使得頂點集與邊集所含元素個數相等，即可將系統自由度降為0，即得到該系統的某一個擋位。例如結合離合器CL與C1，即可實現該變速系統的一個擋位，該擋位用(CL，C1)表示。

忽略連接傳動部件間軸的柔性和慣量，構建擋位(CL，C1)下的轉矩超圖模型，如圖6所示。

從圖中得知，共有28個頂點和26條邊，在已知系統輸入，即增加自環邊(vI)時，通過轉矩超圖模型，經過拓撲運算，可以構造出轉矩平衡方程組，即可解得系統輸出O1與O2的轉矩之和。這表明該系統在擋位(CL，C1)下存在功率分配情況，受兩側負載影響。同理，可分析其他擋位下的轉速轉矩情況。轉矩超圖模型配合轉速超圖模型，可自動列出傳動系統運動學和動力學平衡方程組，進行傳動系統性能的分析與計算。

3 擋位自動分析

基于傳動系統空擋下的轉速超圖模型，運用深度優先搜索算法，通過操縱控制元件，搜索源點I到目標點O的通路，即可得到該傳動系統的一個擋位，其算法流程圖如圖7所示。

圖5所示的轉速超圖模型中，因目標點O1與O2連通，只須找出源點I與目標點O1的通路即可得到擋位信息。搜索結果如下，該變速器可能實現的擋位數為 9，分別為:(CL，C1)，(CL，C2)，(CL，C3)，(CH，C1)，(CH，C2)，(CH，C3)，(CR，C1)，(CR，C2)，(CR，C3)。該方法得到的結果與其他傳動設計計算得到的相一致［7］，表明該方法是可行的。

在已知傳動系統組成部件的特性參數時，如齒輪齒數或速比，可由搜索路徑P構成轉速平衡聯立方程組，求解得出各個擋位下傳動系統的傳動比。設計時可根據設計要求和車輛行駛性能要求，選取全部或部分擋位作為最終設計擋位。

4 結論

(1)基于超圖理論，構建了典型部件和傳動系統的轉速與轉矩超圖模型，該模型為設計傳動系統和計算機輔助分析傳動系統的性能提供了有效的解決方案。

(2)運用深度優先搜索算法，對傳動系統轉速超圖模型的搜索運算，實現了傳動系統擋位自動分析，獲得了各擋位的傳動比等信息，為設計分析人員提供了快速的分析手段。

［1］ 閆清東，張連第，趙毓芹，等．坦克構造與設計(下冊)［M］．北京:北京理工大學出版社，2007:94－98．

［2］ 楊世文．面向對象的綜合傳動裝置建模與動態仿真研究［D］．北京:北京理工大學，2003:4－9．

［3］ 武亞敏．車輛傳動系統的動力學鍵合圖建模及仿真研究［D］．北京:北京理工大學，2003:9－17．

［4］ Berge C．Graphs and Hypergraphs［M］．New York:North Holland Publishing Company，1973:389 －413．

［5］ 王樹禾．圖論及其算法［M］．合肥:中國科技大學出版社，1990:92－100．

［6］ 王建方．超圖的理論基礎［M］．北京:高等教育出版社，2006．

［7］ 閆清東，李慎龍，姚壽文．基于圖論的行星變速機構分析方法［J］．吉林大學學報(工學版)，2010，40(4):1029 －1033．