RIKEN介觀器件腔中粒子逃逸曲線的無標(biāo)度區(qū)研究

楊秦男，張延惠* ，蔡祥吉，沈志朋，徐學(xué)友

(1.山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014;2.山東省科學(xué)院情報研究所，山東 濟(jì)南 250014)

混沌體系區(qū)別于經(jīng)典周期體系，由于對初始條件的敏感依賴性，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)是無限精細(xì)的，即存在著無限復(fù)雜性。自相似性是指混沌體系內(nèi)部存在局部形態(tài)與整體相似的結(jié)構(gòu)，是混沌體系非線性行為中的重要規(guī)律。伴隨混沌及其分形理論的發(fā)展，越來越多的混沌體系被發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部存在著分形自相似結(jié)構(gòu)。Hansen等［1］研究了彈道軌跡從一個開放花瓶狀腔中的逃逸，在最終的逃逸－時間圖像中得到了“韻律分形”的自相似結(jié)構(gòu)。Suhan Ree等人［2］研究了粒子在開放的切圓臺球體系中的傳輸特性，記錄了粒子出射窗口與其入射角的函數(shù)關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)了其曲線中的分形自相似結(jié)構(gòu)。我們研究小組對粒子在開放Sinai臺球中輸運過程的研究中也發(fā)現(xiàn)了其中存在的自相似結(jié)構(gòu)［3－4］。以上研究表明自相似性及其結(jié)構(gòu)在混沌體系中是廣泛存在的，為分形自相似的進(jìn)一步研究提供了理論基礎(chǔ)。

在本文研究的RIKEN介觀器件中，粒子的逃逸曲線存在混沌性質(zhì)以及很好的自相似性。由于混沌體系的非周期性難以定量直觀表述，而其中的自相似結(jié)構(gòu)便于數(shù)值化表征以及定量分析，因而通過自相似結(jié)構(gòu)對其混沌體系進(jìn)行定量分析及表征成為一種好的手段。基于逃逸曲線中自相似結(jié)構(gòu)的標(biāo)度不變性［5］，其相似比隨器件參數(shù)的變化規(guī)律，以及相似比與逃逸曲線混沌性質(zhì)的關(guān)系等性質(zhì)更易于研究。

1 粒子在RIKEN器件中的混沌逃逸

圖1為本文采用的RIKEN介觀器件的電鏡掃描圖，由于器件底部兩個開口的尺度小于入射粒子尺度，因此粒子輸運過程中無法通過，兩開口可近似視為勢壘。器件理論模型如圖2所示，二維器件腔可視為無限深勢阱，直線和底部圓弧為勢壘，粒子在腔內(nèi)與器件壁的碰撞視為完全彈性碰撞且運動軌跡遵從反射定律［6］。定義器件腔長為圖2中頂端到底端的距離，本文以下的討論主要基于器件腔長的變化來分析相似比及混沌性質(zhì)的變化;粒子的入射角度如圖2標(biāo)注所示。粒子從器件左側(cè)開口入射，當(dāng)粒子到達(dá)器件兩側(cè)開口的任意位置時逃逸器件腔。由于粒子在器件腔中逃逸性質(zhì)對粒子入射的初始位置依賴很弱，因此在以下的研究中我們均默認(rèn)入射位置為左側(cè)開口的中央。

由于底部圓弧區(qū)域的存在，當(dāng)入射角存在微小差異的兩個粒子射到圓弧上時，它們反射軌跡的夾角及距離會進(jìn)一步增大，從而導(dǎo)致了粒子逃逸前碰撞次數(shù)的明顯差異(如圖2實虛兩條逃逸軌跡所示)。統(tǒng)計不同入射角度下的碰撞次數(shù)，得到如圖3示的粒子逃逸器件腔前碰撞次數(shù)隨入射角的變化曲線(以下簡稱為逃逸曲線)，由于碰撞次數(shù)大于60次的點較少，同時為方便研究曲線的混沌性質(zhì)，因此逃逸曲線的碰撞次數(shù)只取到60次。可以看到圖中有若干黑帶區(qū)域，這是由逃逸前粒子的碰撞次數(shù)隨入射角劇烈變化形成的。黑帶區(qū)域的集合為混沌吸引子［7］，黑帶交錯分布產(chǎn)生混沌，該逃逸過程亦稱之為“混沌逃逸”［1］。

由于標(biāo)度不變性的存在，混沌逃逸曲線中自相似圖形得以出現(xiàn)，其局部形態(tài)與整體(指定區(qū)域)形態(tài)相似。同時這種自相似性存在于一定標(biāo)尺(尺度)范圍內(nèi)，其兩端受到某種特征尺度的限制。具有自相似性的范圍叫做無標(biāo)度區(qū)［4］，自相似圖形所謂的“整體”就是指無標(biāo)度區(qū)，而非整條混沌逃逸曲線。經(jīng)反復(fù)研究發(fā)現(xiàn):圖3中的虛線框所示區(qū)間為該混沌逃逸曲線中自相似性所存在的無標(biāo)度區(qū)，超越這個區(qū)域雖然仍存在混沌，但是自相似性不復(fù)存在。

2 相似比的恒定性探究

在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)，混沌體系的自相似性得到很好的體現(xiàn)，圖4、圖5為在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)發(fā)現(xiàn)的兩組不同的自相似結(jié)構(gòu)。可以看到在每種自相似結(jié)構(gòu)中，不同相似級之間混沌吸引子的分布區(qū)間是一致的，每個相似級都是上一相似級局部放大后的再現(xiàn)。在每個相似級上，放大區(qū)域的位置以及放大倍數(shù)也是基本一致的。這說明混沌體系的自相似性不僅存在于逃逸曲線的形態(tài)上，在標(biāo)度空間及放大尺度上也存在。

為定量研究自相似結(jié)構(gòu)各級標(biāo)度區(qū)域間的關(guān)系，定義第n個相似級區(qū)間長度為Ln，相鄰兩個相似級之間關(guān)系定義為對于不相鄰的兩個相似級定義β=。β即為自相似結(jié)構(gòu)的相似比，如果已知第n個相似級區(qū)間長度，則第m個相似級區(qū)間長度為Lm=Lnβ(m－n)。以上關(guān)系成立的條件是每組自相似結(jié)構(gòu)中的相似比β為一個恒定值。

將圖4、圖5的兩組自相似結(jié)構(gòu)進(jìn)行統(tǒng)計，得到表1。可以看到在每組自相似結(jié)構(gòu)中相似比β都是趨于穩(wěn)定的，由于統(tǒng)計誤差的存在，β值有小幅度波動。對兩組自相似結(jié)構(gòu)的相似比分別求平均值可以得到更準(zhǔn)確的β值:=0.2170=0.2150;同時利用誤差公式 η =×100% 可計算β1與β2的誤差率η =0.926%。

圖4 無標(biāo)度區(qū)存在的第一種自相似結(jié)構(gòu)Fig.4 The first self-similar structure of a scaling region

圖5 無標(biāo)度區(qū)存在的第二種自相似結(jié)構(gòu)Fig.5 The second self-similar structure of a scaling region

表1 兩種自相似結(jié)構(gòu)的比較Table 1 Comparisons of two self-similar structures

3 混沌體系的相似比表征

當(dāng)混沌體系發(fā)生變化時，其內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)隨之改變，同時自相似性所存在的無標(biāo)度區(qū)也是不同的。本節(jié)主要探討在RIKEN器件的腔長變化時，逃逸曲線的混沌性質(zhì)和相似比的變化規(guī)律，以及相似比與體系混沌性質(zhì)的關(guān)系，以尋找一種新的混沌性質(zhì)的表征方法。

圖6為改變RIKEN器件腔長條件后的粒子逃逸曲線比較，右側(cè)為對應(yīng)的器件腔長，每條逃逸曲線中的虛線框區(qū)域為其自相似結(jié)構(gòu)所存在的無標(biāo)度區(qū)。可以看到隨著器件腔長的增加，逃逸曲線中黑帶的比例逐漸增加，自相似性所存在的無標(biāo)度區(qū)范圍逐漸變窄。

體系的混沌性質(zhì)一般采用分形維數(shù)來定量描述，對于逃逸曲線這類統(tǒng)計混沌曲線，我們使用盒計數(shù)法來計算其分形維數(shù)，亦稱之為豪斯多夫維數(shù)［3，8］。得到的分形維數(shù)隨器件腔長變化曲線如圖7所示，隨著腔長的增加分形維數(shù)呈現(xiàn)增大趨勢，對應(yīng)逃逸曲線的混沌性質(zhì)也就越強(qiáng)。由于計算誤差的存在，分形維數(shù)在局部呈現(xiàn)一定的波動性。

當(dāng)器件腔長改變時 ，逃逸曲線的無標(biāo)度區(qū)范圍及位置隨之改變 ，無標(biāo)度區(qū)內(nèi)自相似結(jié)構(gòu)的相似比也有所區(qū)別。采用第3節(jié)的方法，結(jié)合圖6中各無標(biāo)度區(qū)的范圍，可以尋找每條逃逸曲線中的自相似結(jié)構(gòu)。由于在同一個無標(biāo)度區(qū)內(nèi)相似比存在恒定性，所以我們根據(jù)它的任意一組自相似結(jié)構(gòu)均可得到其相似比比值。圖8為腔長在0.50～1.00時各混沌逃逸曲線對應(yīng)自相似結(jié)構(gòu)的相似比，可以看到，隨著器件腔長的增加相似比數(shù)值單調(diào)減小，同時自相似性所存在的無標(biāo)度區(qū)范圍逐漸減小。

用分形維數(shù)取代腔長，得到圖9的相似比β-分形維數(shù)Df關(guān)系曲線，由于圖7中計算誤差引起的波動性，β-Df曲線也呈現(xiàn)出一定的波動性。將圖7中的曲線做平滑處理(即摒棄計算誤差影響)后，利用不同腔長條件下分形維數(shù)的理論值，得到圖10的β-Df曲線。逃逸曲線的分形維數(shù)Df隨相似比β的增大而逐漸減小，而且在0.50～1.00的腔長區(qū)間內(nèi)二者存在著很好的線性相關(guān)性。

綜上可知，在RIKEN器件中隨著腔長的增加，粒子逃逸曲線的混沌性質(zhì)逐漸增強(qiáng)，自相似性存在的無標(biāo)度區(qū)范圍及相似比的數(shù)值均減小;分形維數(shù)與相似比線性相關(guān)，且相似比較容易統(tǒng)計得到，計算過程相對簡單，因此相似比可以代替分形維數(shù)來表征體系的混沌性質(zhì)。

4 結(jié)論

(1)通過對RIKEN介觀器件腔中粒子逃逸曲線的研究，發(fā)現(xiàn)了自相似結(jié)構(gòu)及其所存在的無標(biāo)度區(qū)，證明了同一無標(biāo)度區(qū)內(nèi)相似比存在恒定性。

(2)隨著器件腔長增加，逃逸曲線的無標(biāo)度區(qū)范圍減小，無標(biāo)度區(qū)內(nèi)自相似結(jié)構(gòu)的相似比減小。

(3)逃逸曲線的分形維數(shù)與其相似比線性相關(guān)，分形維數(shù)越大相似比越小，體系的混沌性質(zhì)越強(qiáng)。

(4)相似比比分形維數(shù)更容易測量和計算，對于混沌體系的統(tǒng)計規(guī)律以及混沌性質(zhì)的定量表征有重要意義。

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