逆向思維在數學教學中的應用

高新宇

逆向思維是讓思維向對立面方向發展，從問題的相反面深入進行探索的方式。人們習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法，其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。在數學教學中體現出的作用是對知識、規律的深入理解，對提煉結論的應用與檢驗和學生思維能力的培養。

一、引導學生反向設計問題

基礎知識是課堂教學的主要內容，要求學生要深入理解，掌握扎實，它是學生學習數學的奠基石，各種練習題都以其為基礎進行設計。為使學生更好地理解這些知識，我們可采用反向思維的方式對其進行分析。例如：在定義域的學習中學生容易理解和掌握定義，但往往在求解上出現畏難情緒，不會解，或少解、或多解。為解決這個問題可在一定的正面練習的基礎上為定義域的結果設計一個函數解析式，使其滿足定義域，可結合知識基礎假設對數型、偶次根式型，等等。定義域的設計可采取由單向無窮至封閉區間或兩個區間并集各種形式，能極大程度地調動學生積極性，并幫助他們從深層次掌握各種定義域的限制條件，促使學生完成初步的由解題到出題的轉變。在此處知識的教學中還有一個難點——二次不等式的解，也在上一訓練中得以升華。

在學習某些數學定理以后， 指導學生思考并用清晰的語言來敘述它的逆出題目， 再去判斷或論證逆出題目的正確性，是逆向思維訓練的有效方法。能力較差的學生一般只會簡單地把定理的題設以及結論對換，難免出現語言不準確的錯誤，但由正定理反過來設計逆定理是對正定理理解的完美補充。如立體幾何中的平行、垂直等的判定與性質定理等。

二、運用反例及補集思想分析題

在解諸如填空、判斷、選擇題時，運用事例及補集思想分析題更是一種簡單易行的方法；在解題后，對解題過程和結果的檢驗，也是一種行之有效的方法；在審題時，可幫助學生找出由于種種原因而出現的錯題，以避免浪費精力和時間；在求概率問題時運用補集思想分析是較好的方法，如確定對立事件反向求概率如此，等等，不能低估了反向思維的作用。數學被譽為“思維體操”，思維的多樣性、靈活性更是其顯著特點。客觀題的解答只需合理不需過程，反向檢驗更容易快速地得出結論。比如從選項看取值范圍的差異用特殊值檢驗。又如講解對數函數的性質，由于對數函數與指數函數互為反函數，在指導學生觀察對數函數的圖像特征時，指導學生將兩種函數的圖像以及性質進行對比，學生能相應地得出對數函數的四條性質。再列出指數函數以及對數函數的一般形式，定義域以及值域，數值變化以及單調性方面的對照表，學生就能更清楚兩者之間的對稱（互逆）關系了。

三、簡易邏輯在思維中的作用

簡易邏輯的教學不僅是知識教學，對學生影響更深的是思維上的潛移默化。比如反證法，它的理論基礎應是證明非P 是假命題從而說明P命題是真命題。而并非是證明逆否命題。在條件不變的情況下通過證明非P 成立的不可能性得證。例如，學生在采用直接證法證明有些題目感到辛苦后，自然地提出一種相反的想法：與求證的結論相反的假設不能成立，從而可以確定原來求證的結論不得不成立。但初級中學階段學生對反證法的學習還是初步的，主要應使學生掌握反證法的思緒以及步驟。到高中階段，反證法在立體幾何以及代數中獲得更廣泛的應用，應讓學生進一步了解反證法的實質以及邏輯依據，明確在什么情況下運用反證法。必須充實熟悉到，反證法不僅是初等數學中一種重要的證明方法，同時也是學習高等數學所必需的。它的理論根據以及敘述形式都比較特殊，因此它是中學數學教學中的一個難點。另一種證明方法是逆否證法。證明原命題的逆否命題的真實而得到原命題成立。這種反證法及逆否證法是解決很多問題的思想方法，如證明不等式、判斷是否存在問題。

總之，對學生的逆向思維的訓練應結合實際的教學進行，以知識教學為訓練載體，把能力培養蘊涵于學生的普通學習內容中，于潛移默化中訓練逆向思維。