二次函數在中學數學教學中的應用

徐建友

摘 要：從目前的中學數學教材來看，二次函數占有極其重要的地位。無論是在代數課程中，還是在解析幾何課程中，二次函數都有其得天獨厚的優勢。例如，在浙教版的初三數學教材中，二次函數就非常的重要，它不僅是考試的重點，而且也是考試的難點。更為突出的是，二次函數當中的許多思想都可以很好地應用到人們的實際生活當中，比如說，分類討論的思想、最優化思想、數形結合思想、等價轉換思想、函數的思想等等。利用二次函數做媒介，不但能夠清晰地展示二次函數的教學思想，還能夠簡化問題，進而輕松地解決問題。結合實際問題說明了二次函數的重要性，然后深入分析了二次函數在中學數學中的應用。

關鍵詞：二次函數；中學；數學；應用

一、二次函數的重要性

函數是中學數學教材的重要內容，特別是二次函數，它幾乎貫穿于中學數學的整個教學過程。由于二次函數具有比較豐富的內涵與外延，所以二次函數有很高的研究價值，利用它可以研究函數的奇偶性、單調性、對稱性以及最大值問題，還能夠采用數形結合的方式，有效地解決數學教學過程中的諸多問題，幫助學生理解、掌握數學知識，提高教學效率。其中，二次函數的重要性主要體現在以下兩個方面。

1.有助于培養學生的數學思維能力

二次函數知識是中學數學學科知識體系的重要組成部分。在二次函數教學的實踐過程中，許多教師通過對二次函數相關概念、性質、圖像以及有關法則的講解與分析，學生在解決此類問題時，思維能力得到了有效的鍛煉和提升。例如，在浙教版初三的數學課教材中，講到“二次函數圖像的性質”這一內容的時候，教師設置這樣的問題：“某鎮一家個體戶經營一種產品，成本為每千克50元，據調查，若按照每千克60元銷售，每個月可以銷售700千克。銷售價漲高一元，每月銷售量就減少20千克，以此計算，當店主把銷售價定為每千克75元時，其月銷售量和月利潤分別是多少？”當教師設計出此問題情境時，學生能夠直接感知到問題的實質內容，使其認識到知識與生活的緊密結合，從而積極主動地去思考、解決問題，有效地激發了學生的自主性，提高了其數學思維能力。

2.有助于提高學生的自主探究能力

在中學的學習過程中，學生的自主探究能力是影響其學習能力的重要因素，而問題教學能夠指導學生進行自主探究，進而掌握正確的解決問題的方法，提高自己的學習能力。例如，在浙教版初三的數學教材中，講到“二次函數的單調性以及最大值”的時候，教師可以先引入△ABC法則，然后畫出幾組開口方向不同的二次函數圖像，引導學生進行自主探究，分別找出這幾組函數的單調性與最大值的求解方法，最后教師再針對這些方法進行歸納、總結，向學生說明解答此類問題的常用方法，從而增強了學生的有效探究能力，為其進一步的學習奠定基礎。

二、二次函數在中學數學中的應用

隨著課程的深化改革，教學的設置更加注重學生的綜合學習能力，二次函數知識具有內容多、內涵深、外延廣、關系密的特點，這為學生學習能力的培養提供了鍛煉和時間的平臺。二次函數在中學數學中的應用主要有以下幾方面。

1.利用二次函數實現最優化問題

在中學數學的教學過程中，經常會遇到一些綜合性大題，來實現問題最優化。例如，在初三浙教版中有下列問題：

某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

■

若日銷售量y是銷售價x的一次函數。

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

解：（1）設一次函數表達式為y=kx+b。

則15k+b=2520k+b=20解得k=-1b=40，

即一次函數表達式為y=-x+40。

（2）設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元

w=（x-10）y=（x-10）（-x+40）

=-x2+50x-400

=-（x-25）2+225

當x=25（元），ymax=225（元）

答：產品的銷售價應定為25元時，每日獲得最大銷售利潤為225元。

2.利用二次函數求解最大值

在生活實踐中，人們經常面對帶有“最”字的問題，如，在一定的方案中，花費最少、消耗最低、面積最大、產值最高、獲利最多等。解數學題時，我們也常常碰到求某個變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題。求最值的問題的方法歸納起來有以下幾點：（1）運用配方法求最值；（2）構造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；（3）建立函數模型求最值；（4）利用基本不等式或不等分析法求最值。

例：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個1米寬的門（木質）。花圃的長與寬如何設計才能使花圃的面積最大？

■

解：設花圃的寬為x米，面積為S平方米。

則長為：32-4x+2=34-4x（米）

則：S=x（34-4x）

=-4x2+34x

=-4（x-■）2+■

∵0<34-4x≤10

∴6≤x<■

∵■<6，∴S與x的二次函數的頂點不在自變量x的范圍內，

而當6≤x<■內，S隨x的增大而減小，

∴當x=6時，Smax=-4（6-■）2+■=60（平方米）

答：可設計成寬6米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大。

在中學的數學教材中，這些都是較常見的問題，利用二次函數就可以將原本復雜的問題簡單化，既能夠清楚地解決問題，也能夠讓學生對知識有全面的了解和掌握。

綜合以上的分析，二次函數不僅對培養學生的思維、探究能力有很大幫助，而且，還能夠觸類旁通地解決實際生活中的問題，讓學生真正感受到知識的學以致用，有效地促進中學數學教學的進步與發展。

參考文獻：

[1]李婭慶.二次函數在中學數學中的應用[J].教育戰線，2010（11）.

[2]郭利平.初中數學函數教學研究[D].碩士學位論文，2011（5）.

（作者單位 浙江省蘭溪市第八中學）