平面向量高考探秘

王佩其

2013年高考漸漸遠去，2014年高考的烽火已經點燃.俗活說，知彼知己，百戰不殆.平面向量作為數學高考的必考內容，它在高考中主要涉及哪些考點？讓我們從2013年高考真題中看分明.

一、平面向量的有關概念

平面向量的有關概念，包括平面向量本身的定義、以及零向量、單位向量、相等向量和共線（平行）向量等概念，還包含向量的夾角和一個向量在另一個向量方向上的投影等概念，本考點一般以小題形式出現，難度不大.

例1.（1）（2013年高考遼寧（理））已知點A（1，3），B（4，-1）.則與向量 同方向的單位向量為（ ）

A.（ ，- ） B.（ ，- ）

C.（- ， ） D.（- ， ）

（2）（2013年高考湖北卷（理））已知點A（-1，1）、 B（1，2）、C（-2，-1）、D（3，4），則向量 在 方向上的投影為（ ）

A. B.

C. - D. -

點撥：（1） =（4，-1）-（1，3）=（3，-4），故與向量 同方向的單位向量為 = =（ ，- ）；（2） =（1，2）-（-1，1）=（2，1），CD=（3，4）-（-2，-1）=（5，5），故向量 在 方向上的投影為 = = .

答案：（1）A；（2）A.

點評：準確理解向量的有關概念是解決該類問題的關鍵.如與向量平行的單位向量有兩個（a，b），它們是 和- ，向量 在向量 方向上的投影為 ，是一個數值.

二、平面向量的基本定理

所謂平面向量基本定理，即如果 ， ，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數λ1，λ2使 =λ1 +λ2 .在高考中主要考查對這個定理的理解和應用.涉及試題以小題為主，難度中等.

例2.（1）（2013年高考廣東卷（文））設 是已知的平面向量且 ≠ ，關于向量 的分解，有如下四個命題：

①給定向量 ，總存在向量 ，使 = + ；

②給定向量 和 ，總存在實數 和 ，使 = + ；

③給定單位向量 和正數 ，總存在單位向量 和實數 ，使 = + ；

④給定正數 和 ，總存在單位向量 和單位向量 ，使 = + .

上述命題中的向量 ， 和 ，和在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

（2）（2013年高考北京卷（理））向量 、 、 在正方形網格中的位置如圖所示.若 = + （λ，μ∈R），則 =_________.

點撥：（1）利用向量加法的三角形法則，易得①是對的；利用平面向量的基本定理，易得②是對的；以 的終點作長度為 的圓，這個圓必須和向量 有交點，這個不一定能滿足，③是錯的；利用向量加法的三角形法則，結合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須| |+| |= + ≥| |，所以④是假命題.綜上，本題選B.

（2）以向量 與 的交點為原點建立平面直角坐標系（如圖），則 =（-1，1）， =（6，2）， =（-1，-3），于是，由 = + 得（-1，3）= （-1，1）+ （6，2），

故有- +6 =-1， +2 =-3 =-2， =- ，則 =4.

答案：（1）B；（2）4.

點評：應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用.當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的.

三、平面向量的位置關系

在高考中，通常以坐標形式考查平面向量的兩種位置關系：平行與垂直.涉及題目以小題為主，難度不大.

例3. （1）（2013年上海春季高考））已知向量 =（1，k）， =（9，k-6）.若 ∥ ，則實數k= __________.

（2）（2013年高考山東卷（文））在平面直角坐標系xOy中，已知 =（-1，t）， =（2，2），若∠ABO=90°，則實數t的值為______.

點撥：（1）由 ∥ 得1×（k-6）-k·9=0 k=- ；

（2）由∠ABO=90°知 ⊥ ，又 = - =（3，2-t）， =（2，2），

故由3×2+（2-t）×2=0 t=5.

答案：（1）- ；（2）5 .

點評：已知兩向量 =（x1，y1）與 =（x2，y2）共線或垂直，求某些參數的取值時，（1） ∥ ？圳x1y2=x2y1；（2） ⊥ ？圳x1x2+y1y2=0.

四、平面向量的數量積運算

平面向量數量積的應用是必考內容，主要考查利用數量積解決垂直、長度、夾角等問題，題型為選擇題、填空題，難度中等.

例4.（1）（2013年高考課標Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的 中點，則 · =________.

（2）（2013年高考天津數學（理））在平行四邊形ABCD中， AD = 1，∠BAD=60° ， E為CD的中點. 若 · =1， 則AB的長為______.

點撥：此類問題一般可采用坐標法和基底法.對于（1）可建立坐標系，利用向量的坐標運算求數量積，如圖建立坐標系，則A（0，0）， E（1，2）， B（2，0），D（0，2），于是 =（1，2）， =（-2，2），故 · =1×（-2）+2×2=4.

對于（2），可以 與 為基底，將 和 用基底線性表示： = + ， = + = - ， 故 · =（ + ） - =1.

即 2+ · cos60°- 2=1，又 =1，故 = .

答案：（1）4；（2） .

點評：當向量的模或夾角不明確，且所給平面圖形方便建立直角坐標系，并容易寫出各涉及點坐標時，常常利用坐標法將向量坐標化求數量積. 當向量的模或夾角不明確，且建立直角坐標系后，相關點的坐標不易寫出，而題目已知兩條線段的長時，常常以這兩個向量作為平面上所有向量的一組基底，將要求的向量通過構造三角形，借助三角形法則，轉化為基底的和或差，從而使問題得到解決.

五、與平面向量有關的最值問題

在高考中最值問題無處不在，與平面向量有關的最值問題考查考生的綜合能力，一般也以小題為主，難度中等或中等偏上.

例5. （1） （2013年高考湖南（文））已知 ， 是單位向量， · =0. 若向量 滿足| - - |=1， 則| |的最大值為（ ）

A. -1 B.

C. +1 D. +2

（2）（2013年高考浙江卷（文））設 ， 為單位向量，非零向量 =x 1+y 2，x，y∈R.若 ， 的夾角為 ，則 的最大值等于_______.

點撥：（1）由 · =0得 ⊥ ，又 ， 是單位向量，故 + = .

由 - - =1 -（ + ）=1，當 與 + 反向時， max=1+ .

（2） 2=（x ）2+（y ）2+2xy · =x2+y2+2xycos30°=x2+y2+ xy.

而 2 = = = = ≤4，

因此 的最大值為2.

答案：（1）C；（2）2.

點評：與向量有關的最值問題一般兩種思路：或利用圖形特征，抓住向量“形”的特點，利用幾何性質來解；或抓住向量“數”的特點，通過向量的有關運算轉化為函數的最值問題.

鞏固練習：

1. 若兩個非零向量 ， ，滿足 + = - =2 ，則向量 + 與 的夾角為（ ）

A. B. C. D.

2. 在△ABC中，G是△ABC的重心，AB、AC的邊長分別為2、1，∠BAC=60°.則 · =（ ）

A. - B. -

C. D. -

3. 如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為BC中點，則 · =（ ）

A. -3 B. 0 C. -1 D. 1

4. 若 ， ， 均為單位向量，且 · =0，則 + - 的最小值為（ ）

A. -1 B. 1 C. +1 D.

答案與提示：

1. B；2.A；3.C；4.A.

1. 由 + = - ，得 2+2 · + 2= 2-2 · + 2，即 · =0.由 + =2 ，得 2+2 · + 2=4 2，即 2=3 2，所以 = ，所以（ + ）· = 2+ · = 2，所以向量 + 與 的夾角的余弦值為cos？茲= = = ，所以？茲= ，選B.

2. 由AB=2，AC=1，∠BAC=60°，所以BC= ，∠ACB=90°，將直角三角形放入直角坐標系中，則A（0，1），B（- ，0），所以重心G（- ， ），所以 =（- ，- ）， =（ ， ），所以 · =（- ，- ）·（ ， ）=- ，選A.

3. = + = + ，所以 · =（ + ）· = · + · = · cos120°+ cos60°=- ×2×2+ ×2×2+ =-1，選C.

4. + - 2= 2+ 2+ 2+2 · -2 · -2 · =3-2（ + ）· ， 因為 · =0，且 = = =1，所以 + = ，所以（ + ）· = + cos< + ， >= cos< + ， >，所以 + - 2=3-2 cos<（ + ）， >，所以當cos<（ + ）， >=1時， + - 2最小為 + - 2=3-2 =（ -1）2，所以 + - = -1，即 + - 的最小值為 -1，選A.

（作者單位 江蘇省太倉高級中學）

責任編校 徐國堅