集合綜合性問題探究

吳志峰

2013年高考剛剛結(jié)束，但是高考帶給我們的思考和啟發(fā)卻剛剛開始.在高中數(shù)學(xué)中，集合是高中數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最基本的概念之一.這幾年的高考對集合的考查主要有兩種形式：一是直接考查集合的概念及運算，以基礎(chǔ)題為主，多在選擇題的前幾題，如今年廣東文理科的第一道選擇題.二是以集合為工具考查集合語言和集合思想的綜合運用，常與函數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系，考查數(shù)學(xué)思想方法和能力，綜合應(yīng)用意識較強，小題綜合化是一種主要形式，而這一類問題往往作為選擇題或者填空的壓軸題，令很多考生望而生畏，其實只要能夠認真理解題意，掌握解決問題的方法和規(guī)律，這一類問題是可以攻克的.讓我們先來看看今年廣東高考理科卷的第8題和第13題.

例1.（2013年高考廣東理8）設(shè)整數(shù)n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三條件x

若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，則下列選項正確的是（ ）

A. （y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，

C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S，

D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S，

【解析】答案B.

解法一（直接法）：因為（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以x

解法二（特殊值法）：

由于集合S中的元素要滿足的條件是：x，y，z∈X且三條件x

點評：本題設(shè)計比較有新意，巧妙地借用集合的語言，結(jié)合不等式描述三個數(shù)的大小關(guān)系，主要考查對集合的含義，不等式等相關(guān)知識點，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.對集合中元素的理解成為解題的關(guān)鍵，本題中集合元素是（x，y，z），對這三個數(shù)要求“x，y，z∈X且三個條件x

例2.（2013年高考廣東理13）給定區(qū)域D：x+4y≥4，x+y≤4，x≥0，令點集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定______條不同的直線.

【解析】答案6.

畫出可行域如圖所示，其中z=x+y取得最小值時的整點為（0，1），取得最大值時（x，y）落在直線x+y=4上，故取最大值時整點為（0，4）、（1，3）、（2，2）、（3，1）及（4，0）共5個整點.故可確定5+1=6條不同的直線.

點評：這是一個綜合性較高的填空題，將集合的知識融入到線性規(guī)劃中，再結(jié)合平面幾何的內(nèi)容考察計數(shù)原理等知識點，考察數(shù)形結(jié)合的思想方法.對集合T中元素的理解也是解題的關(guān)鍵步驟.本題中是集合T中的元素是點（x0，y0），其本質(zhì)線性目標(biāo)函數(shù)z=x+y在區(qū)域D內(nèi)的最優(yōu)解.要求考生熟練掌握線性規(guī)劃的求解方法的相關(guān)概念.最后以T中的點共確定幾條不同的直線，考察平面幾何和計數(shù)原理相關(guān)知識，由于點數(shù)不多，可以直接畫圖找到答案.

變式1. （2013年高考湖南理16節(jié)選）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+bx-cx，其中c>a>0，c>b>0記集合M={（a，b，c）|a，b，c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且a=b}，則（a，b，c）∈M所對應(yīng)的f（x）的零點的取值集合為____.

【解析】答案：{x|0

分析題目，對集合M中元素的理解也是解題的關(guān)鍵部分之一，我們會想到“a，b，c能夠成三角形”等價于“a+b>c且a+c>b且b+c>a”；那么條件“a，b，c不能夠成三角形”等價于“a+b≤c或a+c≤b或b+c≤a”，因此由集合M中元素的條件可知a+b≤c即2a≤c即 ≥2.函數(shù)f（x）=2ax-cx，令f（x）=0得x=log 2= ≤1，所以f（x）的零點的取值集合為{x|0

點評：本題主要考查集合，函數(shù)零點及不等式等知識點，利用集合M巧妙構(gòu)造a，b，c三者之間的大小關(guān)系，抓住元素特點理解集合M的含義，從而得到結(jié)果2a≤c是解決這一個問題的關(guān)鍵突破口.

變式2.（2013年高考重慶理22節(jié)選）對正整數(shù)n，記In={1，2，3，…，n}，Pn={ |m∈In，k∈In}.（1）求集合P7中元素的個數(shù).

【解析】答案：46.

由于集合中元素 的條件是m∈In，k∈In，根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有7×7=49個數(shù)，但是由于集合中元素的互異性，所以還要排除重復(fù)的情況.當(dāng)k=1，2，3，5，6，7時，都沒有重復(fù)出現(xiàn)，只有當(dāng)k=4時，有3個數(shù)與的k=1時的數(shù)重復(fù)，分別是 =1， =2， =3，因此P7中的元素個數(shù)為49-3=46個.

點評：本題考查集合概念的理解和計數(shù)原理的應(yīng)用，理解集合Pn中的元素性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.解題過程中容易忽略集合中元素的互異性而出現(xiàn)錯解49個.所以理解集合中元素的屬性時不要忘了集合中元素的三個特性，即確定性、無序性、互異性.只有抓住這些特點，才能夠在解題中避免出錯.本題也可以用列舉法解決.

總結(jié)：通過對2013年廣東及全國各地高考中對集合綜合性題型的研究，大家應(yīng)該可以感受到，集合在高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性地位，它可以充分融入到其它數(shù)學(xué)分支中，例如：例1中的不等式，例2中的線性規(guī)劃，變式1中的函數(shù)等，在知識的交匯點命題，形成問題的呈現(xiàn)，著重考查數(shù)學(xué)思想方法和能力.解決此類問題的關(guān)鍵是集合中的元素，用集合的語言和思想去思考問題，只要抓住了集合中的元素及其屬性就抓住了集合的本質(zhì)，那么對集合的含義理解和集合關(guān)系的判定問題就會迎刃而解了.

（作者單位：佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅