淡化解題特殊技巧，熟練掌握通性通法

俞春明

摘 要：基礎知識，基本技能，基本方法俗稱“三基”，每次課堂上強調三基訓練，可是特殊方法有時被強化了，記住了特殊解題方法卻忽視了通性通法，丟了西瓜撿了芝麻，闡述了一些通性通法在解高考題中發揮的作用以及平時需要注意的學習策略。

關鍵詞：通性通法；雙基；類比

近幾年江蘇高考數學試題題量穩定，結構穩定，題型變化不大，考查的是基礎知識和基本技能，強調的是通性通法。學生要拿高分，基礎題目得先拿穩，所以在我們的復習課中要以一題覆蓋一類題目，觸類旁通，有章可循，這樣會在復習時起到事半功倍的效果。

在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的數學基本性質；“通法”就是概念所蘊含的思想方法。概念中道出了基本技能和思想方法—重雙基。解題教學中，注重基礎知識及其蘊含的數學思想方法，才是數學教學的硬道理。這就要求我們努力提高對所教內容的理解水平，增強辨別和判斷能力，分清主次，把握知識的重難點，培養學生聯系基礎、洞察本質的能力，這樣才能落實數學課程的育人功能，使學生真正從通性通法中得到好處。

一、尋根溯源，重視課本知識

要根據教學大綱的要求進行教學，而最基本的知識點和思想方法幾乎都是從課本中的概念、法則、性質、定理、公理、公式出發，在相應的例題中涵蓋數學知識和思想方法。高考題的出處也是來源于書本又不拘泥于書本知識，可以在書本中找到影子。我們知道書本是專家們共同編寫的，覆蓋了高中的知識點與思想方法。每一個例題都有它自身的價值，具有普遍指導意義的通性、通法，一定的代表性，做到“練例題，學一法，會一類，通一片”，才是十分重要的學習策略，也是符合素質教育要求的。

在必修5中講完等差數列和等比數列的時候，會留給我們很多思考，比如會存在等和數列an+an+1=d與等積數列anan+1=q嗎？如果有，它們會有些什么性質呢？結果證實，確實存在，并具有相應的an通項公式和前n項和Sn的公式。

同樣在課本中橢圓的定義是平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于F1，F2）的點的軌跡是橢圓。雙曲線的定義是平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于F1，F2的正數）的點的軌跡叫做雙曲線。能否類比這些性質，猜想平面內到兩個定點F1，F2的距離的比等于常數？姿（？姿>0且？姿≠1）的點的軌跡是什么呢？推導發現是個圓（命名為阿波羅尼斯圓）。

例1.【江蘇2013年14分】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4。設圓的半徑為1，圓心在l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍。

利用阿波羅尼斯圓的定義就可以知道第（2）問中MA=2MO可得到點M的軌跡方程x02+（y0+1）2=4，于是題目就轉化為圓C與圓M的位置關系了，從而問題得以解決。

可以看出課本知識與高考題的密切聯系，不僅讓學生知道書本的重要性而且要學會思考，舉一反三，類比推理，歸納總結出一些重要的結論和知識點，尤其在高考復習中需要重視書本的再學習。

二、通過思維訓練，形成探究意識

學生思維的靈活性、深刻性和發散性都不是一時養成的，需要平時對思維的訓練，那么對數學學科而言是最好的思維訓練平臺。思維變通往往需要幾種變通（改編題目、變式練習、一題多解等）的綜合，尤其是題目變通和方法變通，能很好地活躍學生的思維，養成很好的思維習慣，并在好奇心和求知欲的驅使下，讓學生對數學產生興趣。

譬如，用數學語言描述等差數列的定義：an-an-1=d（n≥2），那么就可以得到通項公式an=a1+（n-1）d。猜想如果把常數d變成函數f（n），即an-an-1=f（n），若f（n）=2n，那么該數列的通項會是什么呢？經過探討發現可以用累加法得到：an=a1+■f（i），既而又可探討f（n）的表達式子，怎樣才能順利化簡■f（i）。于是猜想f（n）的表達式，可以是關于n的一元一次方程如f（n）=（2n-1），用等差數列求和公式處理■f（i）；可以是指數形式給出f（n）=2n用等比數列求和來求解；可以構造能裂項相消的式子如f（n）=■；也可以是錯位相減的差比數列如f（n）=n·2n等一系列的f（n）模型出現。

通過上面的推理，我們也可以猜想等比數列公比不是常數而是函數模型f（n）是否也有這樣的結論呢？由■=q（q≠1，0）知數列an是等比數列并通項是an=a1qn-1，那么給出式子■=f（n）。那么數列an的通項怎么求呢？結論是用累乘法得an=a1■f（i），同時又可猜想f（n）是怎樣的表達式求和部分可化成一個式子。于是可以構造能約分或者能合并的式子如f（n）=1-■，cos2n等。

通過用數學的思想分析問題、解決問題來訓練學生的思維，培養探究創新以及靈活多變的思維能力。在變式探究過程中，學生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因變化的奧妙精彩而推向高潮。教學的關鍵不是記住結論，而是經歷探究的過程，感受數學的研究方法，提高數學的解題能力，只有在運用通性通法進行不斷變式演練中，才能提高解題能力。通過變式教學，有意識、有目的地引導學生從“不變”的本質中探究“變”的規律，使思維在所學知識中游刃有余，順暢自如。

三、歸納各種題型的思想方法，體會解決問題的數學思想

所謂基本思想方法，包含兩層含義：一是主要的四類數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化（化歸）思想；二是常用的數學方法，可分為三類：第一類是邏輯學中的方法，如分析法、綜合法、反證法、類比法、歸納法、窮舉法等；第二類是中學數學的一般方法，如代入法、圖象法、比較法和數學歸納法等；第三類是中學數學的特殊方法，主要是配方法、換元法、待定系數法、參數法及向量法等。而這些基本思想方法是蘊含在具體的題目中的，需不斷地通過這些例題和習題進行“提煉”和“概括”，仔細體會，認真思考，在不斷的思考體會中把這些思想方法進行內化，轉換為自己的能力，反過來用這些思想方法指導解題，在不斷的反復中把數學知識和數學思想方法融為一體，使自己的能力達到一個新的高度。

從高考數學試題里知道高考重視對基礎知識、基本技能和通性通法的考查。通法的思想順應一般思維規律，為多數學生所掌握，便于理解和操作。在教學中應注意講清通性通法的概括過程，并通過啟發和引導，向學生提示每種通法產生的過程，這樣更有利于學生對通法本質、對數學思想的理解。所以在系統復習基礎的時候，僅僅有知識的積累還不夠，還要注意歸納方法，掌握常見的、使用頻率較高的解題方法，研究通性通法，體會其中所蘊涵的數學思想方法。

在圓錐曲線試題中，經常會用到“坐標法轉移法”“消元法”“判別式法”“韋達定理法”“解析法”等常用方法來解決直線直線與直線、直線與曲線、曲線與曲線間的關系。

在研究空間幾何時，涉及線面位置關系時，一般是三步驟（線線，線面，面面）之間的轉化。涉及距離問題，無非是點、線、面之間的6個距離，注重之間的轉化，可能會用到等積法，向量投影法以及點、線、面之間的等價轉化。在求空間角時把握住總體思想：先把空間角轉化為平面角，再通過解三角形來求角的值。作出對應的平面角是關鍵，求平面角的通法有“定義法”“平移法”“垂線法”“垂面法”“向量法”。

又如，在三角恒等變換中，注重將不同名三角函數化成同名三角函數，將不同角函數化同角函數，遇到正切、正弦、余弦并存時注意切化弦思想的應用。在解三角中，特別是“正（余）弦定理”的應用，同一個問題，涉及好幾個知識板塊的核心內容，我們就要結合典型題目分析每種方法的特點，弄清楚其適用條件，注重轉化思想，活用“邊化角”或者“角化邊”的思想，在“熟”和“透”方面下工夫，看到一個問題就能聯想到相應的知識、方法，把搜尋的范圍縮小在可控范圍內，方法明確實用，平時訓練有素，以此提高解題速度和準確性。

四、平時注重做題訓練，學會思考，總結思想方法

每道高考真題和高考模擬試題都會有一定的數學思想，做題時要用心體會其中的思想方法以及相互之間的滲透。抓住核心的本質，做到心中有數，遇到題目時才會有章可循，不但在解題中達到爐火純青，至少也能有瞎子吃餛飩——心中有數。當然學是為了不學，要學會學習的本領，所以在平時還需要我們能學后而思，思后而學，學思相結合的良好數學品質。不在一題多解上下工夫，而在符合學生認知規律中下工夫，能學會能操作，能把分數裝進自己的口袋中那就是勝利者。換言之，只要能救命的即使是稻草也管用，不會的或者不常使用略顯生疏的方法再好也是無濟于事。因此在平時就需要多練習一些常用的思想方法和技巧，體現通性通法的使用性。

總之，通性通法是解題的根本，知識是基礎，方法是手段，思想是深化，提高學生數學素質還得從提高學生對數學思想方法的認識和應用出發，逐漸培養學生良好的思維品質。

參考文獻：

[1]胡章柱.等和數列與等積數列的研究[J].中學數學研究，2007（02）.

[2]付海峰.在層次教學中培養學生的思維能力[J].中學數學教學參考，1997（10）.

（作者單位 江蘇省蘇州市藍纓學校）

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