提防三角函數中“美麗的陷阱”

邢印忠

摘 要：在江蘇高考考試說明中，三角函數部分涵蓋了八個知識點，其中兩角和（差）的正弦、余弦和正切為C級點，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質及幾個三角恒等式為A級點，其余均為B級點，高考中一般以基礎題為主，難度基本為容易題或中檔題，涉及的問題主要有三個方面——三角函數的圖象與性質、三角變換和解三角形.在解題中，常需對角的范圍及三角函數值的符號情況進行討論，對公式進行靈活使用.若審題不嚴不細，很容易出錯，要三思而后行，形成審慎思維的習慣.就學生在解三角函數題型中常見錯誤的原因進行剖析.

關鍵詞：定義內涵；函數定義域；有界性；變換法則；復合函數

一、忽視字母的范圍，對定義的內涵沒有理解到位

例1.已知角？琢的終邊上有一點A（4t，-3t）（t≠0），求2sin？琢+cos？琢的值.

誤解：由條件r=■=5t知sin？琢=■=■=-■，cos？琢=■=■=■

故2sin？琢+cos？琢的值為-■.

簡析：由于字母t的范圍不定，從而r的值不能保證恒為非負值，故要討論t的范圍：當t>0時，r=■=5t，2sin？琢+cos？琢的值為-■；

當t<0時，r=■=-5t，2sin？琢+cos？琢的值為■.

二、忽視函數的定義域，沒有進行等價變形

例2.已知函數f（x）滿足f（cos？茲）=cos2？茲-6cos？茲，求f（2sin？茲）的最小值.

誤解：由f（cos？茲）=cos2？茲-6cos？茲=2cos2？茲-6cos？茲-1，令x=cos？茲，

所以f（x）=2x2-6x-1，則f（2sin？茲）=8sin2？茲-12sin？茲-1=8（sin？茲-■）2-■，

當sin？茲=■時，f（2sin？茲）的最小值為-■.

簡析：由-1≤cos？茲≤1知-1≤x≤1，故-1≤2sin？茲≤1？圯sin？茲∈[-■，■]，

從而當sin？茲=■時，f（2sin？茲）取最小值，最小值為-5.

三、忽視三角函數的有界性

例3.已知3sin2？琢+2sin2？茁=2sin？琢，求sin2？琢+sin2？茁的最大值和最小值.

誤解：由sin2？茁=■得，sin2？琢+sin2？茁=sin2？琢+■（2sin？琢-3sin2？琢）=-■sin2？琢+sin？琢=-■（sin？琢-1）2+■，

因為-1≤sin？琢≤1，

所以當sin？琢=1時，sin2？琢+sin2？茁有最大值■，當sin？琢=-1時，sin2？琢+sin2？茁有最小值-■.

簡析：由sin2？茁=■可得0≤■≤1，即0≤sin？琢≤■.

當sin？琢=■時，sin2？琢+sin2？茁有最大值■，當sin？琢=0時，sin2？琢+sin2？茁有最小值0.

四、沒有縮小角的范圍，形成思維定式，考慮不周密

例4.已知sin？琢-sin？茁=-■，cos？琢-cos？茁=■，其中？琢，？茁∈（0，■），求tan（？琢-？茁）的值.

誤解：∵sin？琢-sin？茁=-■ （1）cos？琢-cos？茁=■ （2）

由（1）2+（2）2并整理得cos（？琢-？茁）=■

∵？琢，？茁∈（0，■），∴-■<？琢-？茁<■

∴sin（？琢-？茁）=±■=±■

∴tan（？琢-？茁）=■=±■

簡析：因為受定式思維的慣性影響，？琢，？茁∈（0，■）得-■<？琢-？茁<■，沒有顧及條件（1）中？琢<？茁從而有-■<？琢-？茁<0，

∴sin（？琢-？茁）=-■=-■

∴tan（？琢-？茁）=■=-■

五、忽視題目隱含條件

例5.設方程x2+4ax+3a+1=0（a>0）的兩根為x1，x2，記x1=tanα，x2=tanβ，0<α<■，0<β<■，求tan■.

誤解：由韋達定理可得x1+x2=-4a，x1x2=3a+1，又x1=tanα，x2=tanβ

故tan（？琢+？茁）=■=■=■

由tan（？琢+？茁）=■=■，解得tan■=-2或■.

簡析：忽視韋達定理隱含條件，由a>0時知x1+x2<0及x1x2>0

從而x1<0，x2<0，故？琢，？茁∈（-■，0），從而有？琢+？茁∈（-π，0），■∈（-■，0），故tan■=-2.

六、對三角函數中的變換法則理解不到位

例6.將函數y=sin（2x+■）的圖像向右平移■個單位得到函數y=f（x）的圖像，再將函數y=f（x）圖像上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍得到y=g（x）的圖像，求y=g（x）的表達式.

誤解：將y=sin（2x+■）圖像右移■個單位得到函數y=f（x）=sin（2x+■-■）=sin2x，橫坐標變為原來的2倍得到y=g（x）=sin2×2x=sin4x.

簡析：相位變換只是對自變量x而言的，與x的系數及符號無關；周期變換是將自變量x的系數變為原來的■倍.應為將y=sin（2x+■）圖像右移■個單位得到函數y=f（x）=sin[（2（x+■）-■]=sin（2x-■），橫坐標變為原來的2倍得到y=g（x）=sin（2×■x-■）=sin（x-■）.

七、忽視復合函數的性質

例7.求函數y=2sin（■-2x）的遞增區間.

誤解：令u=■-2x，則y=sinμ在[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上是增函數，

即2kπ-■≤■-2x≤2kπ+■，解得kπ-■≤x≤kπ+■（k∈Z），

于是函數y=2sin（■-2x）在區間[kπ-■，kπ+■]上是增函數.

簡析：忽視復合函數的單調性，由u=■-2x是減函數，而y=sinμ在[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z）上是增函數

于是y=2sin（■-2x）在區間[kπ-■，kπ+■]（k∈Z）上是減函數

應為y=2sin（■-2x）=-2sin（2x-■），令u=2x-■

由2kπ+■≤u≤2kπ+■，即2kπ+■≤2x-■≤2kπ+■

∴kπ+■≤x≤kπ+■

∴函數y=2sin（■-2x）的單調遞增區間是[kπ+■，kπ+■]（k∈Z）

八、沒有認真審題，忽視三角形的性質

例8.在△ABC中，已知a=2，b=2■，C=15°，求A.

誤解：由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos15°=4+8-2×2×2■×■=8-4■

∴c=■-■.

又由正弦定理，得sinA=■=■而0°

簡析：由題意b>a，∴B>A，又0°

九、忽視三角函數的性質，三角變換生疏

例9.在△ABC中，若■=■，試判斷△ABC的形狀.

誤解：由正弦定理，得■=■

即■=■·■，∵sinA>0，sinB>0

∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.

∴2A=2B，即A=B.故△ABC是等腰三角形.

簡析：由sin2A=sin2B，∴2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B（k∈Z）.

∵0

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.

從以上所剖析的三角函數解題中的常見錯誤可以看出，透徹理解三角函數的定義是正確解題的基礎；確定角的范圍既是解題中的重點，又是一個難點，也是學生在解題中常常出現的易錯點，它限制三角函數的符號與取值范圍；正確確定三角函數的符號，使用和挖掘三角公式及法則中的內涵是正確解題的關鍵，只有突破這一解題的關鍵點，才能順利地解答好三角函數題，達到舉一反三、觸類旁通的目的.

（作者單位 江蘇省南京市南京實驗國際學校）

？誗編輯 陳鮮艷