巧用數(shù)學(xué)方法 求解物理問(wèn)題

金錦

俗話說(shuō)“數(shù)理不分家”，數(shù)學(xué)和物理是具有密切聯(lián)系的兩門(mén)學(xué)科。數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透和貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中，為物理概念、定律、原理的表述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為物理學(xué)的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力的工具，為研究物理問(wèn)題進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法。數(shù)學(xué)方法在中學(xué)物理教學(xué)中有著重要的作用，特別是在求解一些物理問(wèn)題時(shí)，如果能巧妙借助數(shù)學(xué)中的某些方法，會(huì)給我們帶來(lái)很多方便。下面筆者就初中物理中的幾個(gè)例子，與大家一起探討一下它們的數(shù)學(xué)解法。

一、利用函數(shù)求解物理問(wèn)題

例1.有一支溫度計(jì)的刻度均勻但不準(zhǔn)確，將它放入冰水混合物中，示數(shù)是5℃；放入標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的沸水中，示數(shù)是95℃。若放在空氣中示數(shù)是32℃，那么室內(nèi)實(shí)際溫度是_________℃。

解析：這支溫度計(jì)的刻度是不準(zhǔn)確的，但卻是均勻的，因此這些刻度與真實(shí)的刻度之間存在著線性的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即一次函數(shù)關(guān)系。這里可以把不準(zhǔn)的刻度作為自變量x，真實(shí)的刻度作為因變量y（倒過(guò)來(lái)也可以），設(shè)兩者滿足關(guān)系式y(tǒng)=kx+b①，根據(jù)題意可知當(dāng)x=5時(shí)，y=0；當(dāng)x=95時(shí)，y=100（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下冰水混合物的溫度為0℃，沸水的溫度為100℃），代入①式，可求得k=■，b=-■，因此有y=■x-■②。再把x=32代入②式，可求得y=30，所以當(dāng)它的示數(shù)為32℃時(shí)，室內(nèi)的實(shí)際溫度為30℃。

例2.某課外興趣小組，將塑料小桶中分別裝滿已知密度的四種液體后，用彈簧測(cè)力計(jì)稱(chēng)出它們的重力，記錄了下表中的數(shù)據(jù)。

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若小桶中盛滿密度未知的某種液體時(shí)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為2.3 N，該液體的密度是___________。

解析：根據(jù)二力平衡知識(shí)可知，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)等于液體的重力加上空桶的重力，即：F=G液+G桶。而液體的重力等于液體的質(zhì)量乘以g，即：G液=m液g。液體的質(zhì)量又等于液體的密度乘以它的體積，即：m液=ρ液V液。因此F=ρ液V液g+G桶①。由于小桶中的液體每次都裝滿，故液體的體積V液是一個(gè)定值，空桶的重力G桶及g也都是定值。令k=V液g（因V液和g都是定值，故它們的乘積也為定值），b=G桶。因此①式變?yōu)镕=kρ液+b②，此式為F關(guān)于ρ液的一次函數(shù)。任取表格中的兩組數(shù)據(jù)（如：第二組和第三組）代入②式，可解得k=1，b=0.8。因此有F=ρ液+0.8③。最后把F=2.3代入③式，可求得ρ液=1.5 g/cm3。

點(diǎn)評(píng)：上述兩題的解法巧妙借助了數(shù)學(xué)中的函數(shù)模型。在兩個(gè)量之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系。然后根據(jù)條件求出函數(shù)表達(dá)式，最后通過(guò)求解出的函數(shù)表達(dá)式算出結(jié)果。此方法避開(kāi)了傳統(tǒng)方法中的具體分析，直接利用了數(shù)學(xué)中函數(shù)這個(gè)工具進(jìn)行求解，較為方便。

二、利用極值法求解物理問(wèn)題

例3.在如圖所示的電路中，電阻R1=8 Ω，R2=10 Ω，電源電壓及定值電阻R的阻值未知。當(dāng)開(kāi)關(guān)S接位置1時(shí)，電流表示數(shù)為0.2 A。當(dāng)開(kāi)關(guān)S接位置2時(shí)，電流表示數(shù)的可能值在 A到 A之間。

解析：要求開(kāi)關(guān)在位置2時(shí)的電流范圍，只要把電流用式子表達(dá)出來(lái)，然后再求解該式子的最值即可。根據(jù)歐姆定律，開(kāi)關(guān)在位置2時(shí)的電流等于總電壓去除以此時(shí)的總電阻（可用R2+R表達(dá)），而總電壓（即電源電壓）是保持不變的，它等于開(kāi)關(guān)在位置1時(shí)的電流乘以此時(shí)的總電阻，即U=I1（R1+R），因此，當(dāng)開(kāi)關(guān)在位置2時(shí)，電流可表達(dá)為I2=■=■，把條件代入，可得I2=■，由于此式子的分子分母都在變，因此不好直接求它的最值。此處，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以先將分子變?yōu)槌?shù)，即：I2=■=■=■-■=0.2-■，此時(shí)我們可求解出該表達(dá)式的最值。由于該表達(dá)式中I2隨著R的增大而增大，考慮到實(shí)際情況，電阻R的值最小為0（取不到），最大為無(wú)窮大（要多大就有多大）。因此，當(dāng)R=0時(shí)，I2取最小值，為0.16 A，當(dāng)R=無(wú)窮大時(shí)，I2取最大值，為0.2 A。故電流表示數(shù)的可能值在0.16 A到0.2 A之間。

點(diǎn)評(píng)：此題的解法借助了數(shù)學(xué)中的極值法。先把要求的物理量用含有數(shù)字和字母的式子表達(dá)出來(lái)。然后將該表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)變換，根據(jù)自變量的范圍，求出變換后表達(dá)式的最大值和最小值。此方法在求解時(shí)較為嚴(yán)密，不過(guò)需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

三、利用數(shù)學(xué)推導(dǎo)求解物理問(wèn)題

例4.水平地面上豎直放有一實(shí)心銅圓柱體，它對(duì)水平地面的壓強(qiáng)為p1，在它底部中央開(kāi)孔后，它對(duì)水平地面的壓強(qiáng)為p2。孔的形狀和大小如圖甲所示，其中EFGH為底部孔口。孔的形狀和大小與按圖乙所示對(duì)稱(chēng)切割正方體形成的幾何體的形狀和大小一樣（具體方法是沿四邊形ABFE所在平面和四邊形DCGH所在平面將正方體對(duì)稱(chēng)截去兩塊）。已知正方體中線段AB的長(zhǎng)度為圓柱體高的一半，AB=EF=2EH，關(guān)于p1與p2大小的判斷，正確的是 （ ）

A.p1

C.p1>p2 D.以上三種情況都有可能

解析：設(shè)該實(shí)心圓柱體的密度為ρ，高為2a，底面積為S；

則它對(duì)水平地面的壓強(qiáng)p1=ρg2a=2ρga；

由題意可知，圖乙中，正方體的體積V正=a3；

又由于圖乙中截去的兩塊恰好可拼成一長(zhǎng)方體，其體積V切=a·a·■=■；

則圖甲的體積（即挖去部分的體積）V挖=V正-V切=a3-■=■；

于是圓柱體被挖去之后剩余部分對(duì)地面的壓力F剩=G柱-G挖=2ρSag-ρ■g=2ρga（S-■）；

圓柱體被挖去之后剩余部分的底面積S剩=S-■；

所以p2=■=■=■>2ρga；

即：p1

點(diǎn)評(píng)：此題的解法直接利用了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，把要比較的兩個(gè)物理量各自表達(dá)出來(lái)。此題在表達(dá)挖去孔后的圓柱體對(duì)地面的壓強(qiáng)時(shí)有一定難度，把它表達(dá)出來(lái)后，再對(duì)它適當(dāng)變換，最后進(jìn)行比較得出結(jié)果。

以上就是初中物理中一些具體實(shí)例的數(shù)學(xué)解法，有建立函數(shù)模型的方法、求函數(shù)極值的方法、數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法。這些數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，在解決物理問(wèn)題時(shí)起到了很重要的作用。當(dāng)然，對(duì)于上面的例子，還可以用其他方法，筆者在此著重討論它們的數(shù)學(xué)解法，希望能對(duì)廣大讀者有所幫助。

（作者單位 江蘇省昆山市婁江實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

？誗編輯 陳鮮艷