耀眼的函數圖象

陳虹

摘 要：函數圖象是研究函數性質、方程、不等式的重要武器，也是高考的重要命題內容.

關鍵詞：函數；圖象；高考題

函數圖象是高中數學的“重頭戲”，是研究函數性質、方程、不等式的重要武器，已成為每年高考的一個熱點和亮點.

亮點1 識別函數的圖象

例1.（2012江西）如右圖，已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1，點E是側棱SC上一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x（0

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A B C D

思索：本題直接排除法難度較大，意在考查考生如何求出解析式，正面求函數圖象.

破解：（1）當0

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由SC與該截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF=EI=SEtan60°=■x，SI=2SE=2x，IH=FG=BI=1-2x，FI=GH=■AH=2■x，∴五邊形EFGHI的面積S=FG×GH+■FI×■=2■x-3■x2，

∴V（x）=VC-EFGHI+2VI-BHC=■（2■x-3■x2）×CE+2×■×■×1×（1-2x）×■（1-2x）=■x3-■x2+■，其圖象不可能是一條線段，故排除C、D.

（2）當■≤x<1時，過E點的截面為三角形，如圖2，設此三角形為△EFG，則EG=EF=ECtan60°=■（1-x），CG=CF=2CE=2（1-x），三棱錐E-FGC底面FGC上的高h=ECsin45°=■（1-x），∴V（x）=■×■CG·CF·h=■（1-x）3，∴V′（x）=-■（1-x）2，

又顯然V′（x）=-■（1-x）2在區間（■，1）上單調遞增，V′（x）<0（x∈（■，1）），

∴函數V（x）=■（1-x）3在區間（■，1）上單調遞減，且遞減的速率越來越慢，故排除B，應選A.

亮點2 方程、不等式常用圖象

例2.（2013新課標全國卷Ⅰ）已知函數f（x）=-x2+2x，x≤0lnx（x+1），x>0，若f（x）≥ax，則a的取值范圍是（ ）

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

思索：本題考查的并非分離參數法解參數范圍問題.不等式兩邊的函數圖象均為初等函數的圖象，通過數形結合的思想方法解決問題是本題的關鍵.

破解：畫出函數y=f（x）的圖象，觀察到函數在（-∞，0）時單調遞減，在（0，+∞）時單調遞增且f（0）=0，又y=ax圖象過原點，當 變化時不難觀察到A答案成立.

亮點3 函數的性質巧用圖象

例3.已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時，都有■>0，給出下列命題：①f（3）=0；②直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；③函數x=f（x）在[-9，-6]上為增函數；④函數x=f（x）在[-9，-9]上有兩個零點.其中正確命題的序號為 .

思索：本題考查函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、零點等，涉及幾個性質，綜合性很強，解題時要注意抓住性質畫出草圖，便可迎刃而解.

破解：因為x1≠x2時，都有■>0，所以y=f（x）在[0，3]上遞增.因為f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3有f（-3）=0，因為f（x）為偶函數，所以f（3）=0，①對.又可得f（x）周期為6，畫出示意圖（草圖）可知②正確，③④不正確，故填①②.

函數的圖象及其應用以其綜合性高成為高考考查的難點和熱點，它是培養創新意識、提升數學修養、提高數學能力的極好素材.復習時注意三點：（1）掌握基本初等函數的圖象和性質、圖象的變換，解決函數問題時要有“先畫一張圖”的意識；（2）在研究函數性質時，要注意用好其與圖象的關系、結合圖象研究；（3）在研究方程與不等式時常用數形結合的思想求解.

（作者單位 江西省玉山縣玉山一中）

？誗編輯 陳鮮艷