淺談函數的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關系應用

胡艷杰

摘 要：函數是中職教育教學的重要學科，也是中職數學學科中較為難的部分，不僅函數邏輯性強，而且內容枯燥，理解難度大，更是讓很多中職學生對函數學習產生乏味心理，特別是函數奇偶性、周期性與圖象的對稱性是函數的基本性質，更是把握好函數學習的基礎。為此，本文對函數的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關系應用進行系列分析，加強對中職數學教學的學術研究，促進中職數學課程能夠更好的傳授給學生。

關鍵詞：函數 奇偶性 周期性 對稱性

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）03（b）-0094-01

隨著我國教育改革制度的不斷發展，中職學校的教育課程改革也要隨之不斷的創新，要適時的優化教學課程，進一步提高中職學校的教學質量。為此，中職學校就要從教學課程內容改革著手，數學是歷來較難的教學學科，對學生來說更是及其厭煩學習的科目，其中函數的奇偶性、周期性與圖象的對稱性更是邏輯性強，復習資料少，更是成為了教學難點之一，為此，函數是現階段中職教學研究的學術重點。只有對函數的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關系進行深入剖析，簡化較難懂的邏輯關系，才能更好的服務于教學，培養學生對數學的探索能力和創新意識，激發中職學生對數學學科的學習興趣。

1 函數的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的定義

（1）函數的周期性定義：若函數對定義域中任意x均有f（x+T）=f（x）（其中T是不等于0的常數），則f（x）是周期函數。這也是函數基礎性質之一。

f（x）是T=2a的周期函數的充要條件是f（x+2a）=f（x-2a）

證明：當是必要條件時

∵T=2a是周期函數，

∴f（x）=f（x+2a），t=x+a

∴f（t-a）=f（t+a）

∴f（x-a）=f（x+a）

當是充分條件時

∵f（x）=f（x+a），t=x-a

∴f（t+2a）=f（t）

∴f（x）是T=2a的周期函數。

推論若f（x+a）=-f（x），則f（x）的周期T=2a

推論若f（x+a）=1/f（x），則f（x）的周期T=2a

（2）函數的奇偶性定義：如果對于函數f（x）定義域內的任意一個x，都有f（x）=f（-x）或f（x）/f（-x）=1，關于y軸對稱，f（-x）=f（x），函數f（x）就叫做偶函數。關于原點對稱，-f（x）=f（-x）就叫做奇函數。如圖1所示。

f（x）為奇函數，在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。

（3）圖象的對稱性定義：函數對稱性包括軸對稱和中心對稱兩種，其中軸對稱：如果函數f（x）滿足f（a-x）=f（x+a），那么f（x）的圖像就是關于x=a對稱；中心對稱：如果函數f（x）滿足f（x+a）=-f（a-x），那么f（x）的圖像就是關于（a，o）對稱。

2 函數的奇偶性、周期性與圖象的對稱性之間的關系

2.1 通過函數對稱性和奇偶性可以推出函數周期性

如果f（x）為奇函數，圖像關于x=a對稱，那么f（x）是以T=2a為周期的周期函數。

證明：

∵f（x）圖像關于x=a對稱

∴f（x）=f（a-x），f（-x）=f（a+x）

∴又奇函數

f（x）=f（-x），f（x）=f（2a+x）

∴f（x）是T=2a的周期函數。

2.2 函數的對稱性和周期性還能推出函數對稱性和奇偶性

設f（x）的圖像關于x=a對稱，且T=b的周期函數，那么f（x）的圖像關于x=a+b對稱。

證明：

∵f（x）圖像關于x=a對稱

∴f（x）=f（2a-x）

∵T=b的周期函數

∴f（x）=f（2b+x）

∴f（2a-x）=f（2b+x）

∴f（x）的圖像關于x=a+b對稱

同時設f（x）的圖像關于x=a對稱，且T=2a是周期函數，則f（x）是偶函數。

證明：

∵f（x）圖像關于x=a對稱

∴f（a+x）=f（a-x）

∵T=2a是周期函數

∴f（a+x）=f（x-a）

∴f（a-x）=f（x-a），令a-x=t

∴f（t）=f（-t）

∴f（x）是偶函數。

2.3 函數周期性和奇偶性也可以推出函數對稱性

設函數f（x）為偶函數，且T=2a（a>0），那么f（x）的圖像關于x=a對稱。

證明：

∵f（x）為偶函數

∴f（x）=f（-x）

∵T=2a是周期函數

∴f（x）=f（x+2a），f（-x）=f（2a-x）

∴f（x）=f（2a-x）

∴f（x）的圖像關于x=a對稱。

于此同理還可以推斷出函數f（x）為奇函數，且-f（x）=f（x+2a），那么f（x）的圖像關于x=a對稱。

3 結語

在中職數學教學中，教師的對學術研究的程度直接影響到教學的效果。通過以上對函數的奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關系應用的分析，可以看出，對于函數并非是難懂部分，關鍵要激發學生在函數學習上的發散思維模式，要讓學生帶著問題加強對函數基礎知識的研究，同時教師要及時糾正學生的研究偏差，加強學生對函數奇偶性、周期性與圖象的對稱性的關系的認識，打好函數學習的基礎，為中職數學教學卻得良好的教學效果。

參考文獻

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