抓住知識核心 經歷數學建模

萬兆榮

數學建模是根據問題情景建立數學模型，并用它解決問題這一過程的簡稱，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段，是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用。下面以“兩位數加兩位數進位加法”一課教學為例，談談如何在低年級計算教學中構建數學模型。

一、數形結合，展露“1”

片段一：

師：你能猜出34+16的結果是多少嗎？

生1：是50，我是這樣想的：34加6得40，40再加10就得50。

生2：我也得50。我用30加10得到40，4加6得10，然后合起來也是50。

師：用什么方法能證明這個結果正確呢？

生1：擺小棒、撥計數器試試。

生2：列豎式再算一遍。

師：這些方法都不錯，我們先用擺小棒來試試。如果用小棒表示34加16，怎樣擺比較合適呢？和同桌商量好后再操作。

生：我先擺3捆4根，再擺1捆6根，4根加6根是10根，10根可以再捆成1捆。這樣一共有5捆，也就是50。

師：擺放的位置有什么要求呢？

生：捆對捆，根對根，就像這樣（如圖1）。

師：你這樣擺有什么好處？

生：看起來清楚、明白。

師：4根和6根合成1捆后，這一捆你們認為應該放在哪兒最合適？

生1：不清楚，隨便放吧。

生2：就在后面吧。

生3：也可以擺在下面吧。

師：能說明理由嗎？

生3：前面都是整捆的，這樣對齊好看。

師：你說的意思是這樣嗎？（出示圖2）

感悟：在一些觀摩課中我們看到，很多教師執教這段內容時常常按教材要求：“先用小棒擺一擺或用計數器撥一撥，再想想用豎式怎樣計算。”為學生準備多樣的學具，以小組合作的形式讓學生自由選擇學具隨意操作，然后全班匯報總結各種操作方法，學生很快就能得到34+16的豎式方法，問題解決看似即開放又多樣。然而，基于低年級學生好動、好玩的特點，他們一會兒擺小棒、一會兒撥算珠，再來寫豎式，試圖將所有方法都擺弄一次，這樣的自由操作過程蜻蜓點水、浮光掠影、淺嘗輒止，缺乏深入的思考，知識的獲得多數來自直接的信息傳遞。

數學家康托爾說：“數學的本質在于思考的充分自由。”沒有數學思考就沒有真正意義的數學學習。上述案例中，教師要求學生只選用擺小棒一種學具，重點突出“如何擺小棒，如何移一捆的小棒”。“擺小棒”使學生從現實生活的具體情境中抽象出數學問題（即現實問題數學化），由現實問題經過簡化抽象后建立數學模型。在數形結合中使學生具有數學“簡化”的潛意識，這恰恰是數學建模的第一步。例如：“怎樣用小棒擺34與16比較合適呢？”不僅給學生創造了積累活動經驗的寶貴機會，更重要的是讓學生借助直觀活動，“捆與捆對齊，根與根對齊”滲透數位對齊的思想方法，在無形中讓學生經歷了縝密的思考過程。再如：“4根和6根合成1捆后，這一捆你們認為應該放在哪兒最合適？”這一問題的探討，讓學生自主地去討論、思索，使學習過程更多地成為學生發現問題、研究問題、解決問題的過程，也讓學生較好地理解了兩位數加法中“滿十進一”背后的道理。

二、位值體悟，領會“1”

片段二：

師：我們通過擺小棒很快得到了正確結果是50，借助計數器你怎么驗證？

生1：我先在十位上撥3個珠子、個位上拔4個珠子，這樣就是34。如何加16，就在十位上拔1個珠子、個位上撥6個珠子。

師：個位上的10個珠子就不動啦？就像屏幕上的圖3，這時怎么讀？

生1：這樣數就不好讀，4個十，10個一。

生2：不行，一定要把個位上10個珠子進向前一位。

師：不進位行嗎？

生：不行，一定要“滿十進一”。

師：怎么撥？

生：把個位上的10個珠子去掉，在十位上再撥1個。

師：10個珠子就換1個珠子呀？

生：因為它們的位置不同，1在十位上哦，是1個十。

感悟：計數器上的算珠能清楚顯示數位，讓學生在計數器上撥算珠不單是解決問題方法的多樣化，而撥算珠比擺小棒更容易過渡到豎式計算，學生在撥珠說數的過程中，由最初抽象的幾何圖形到現在的數學表達式，恰恰體驗了數學模型的建構過程。

首先，學生要在計數器上定好數位，然后撥上34，還要加16該怎樣在計數器上表示出來。接著“這時怎么讀？”這一問題的提出，將學生的思維由矛盾沖突又一次引向深入。隨后計數器個位與十位上珠數的變化的過程，讓學生在珠、數聯結中體現“滿十進一”的迫切需要。這樣教學不僅可以讓學生直觀地看到10個一是1個十，10個十是1個百，還擴展到“哪一位上相加滿十，都要向它的前一位進1”，從而形成了“滿十進一”整數加法的數學模型。

建構主義認為：“學習是學生以原有的知識經驗為基礎的主動建構知識的過程。”容易看出，這種基于經驗的對進位加法算式的理解，有效地幫助學生直觀體會數位的意義，主動建構“位值制”，既是進一步探索筆算方法的邏輯前提，也是聯結相關教學段落的核心知識，培養了學生的建模意識。

三、算法嘗試，變臉“1”

片段三：

師：用豎式該怎樣表示呢？

生1：我是這樣想的，十位上3加1等于4，就是40，個位上的6加4等于10，這個10我把它放在心里，40加10就等于50。

生2：個位4加6得10，十位3加1得4，10和4合起來就是“410”。

師：你想的“410”其實是多少呢？

生：50呀。

師：應該用40加10才得到50哦？！這個1可以寫在哪兒呢？

（學生改寫豎式）

生1：我覺得1一定要和十位上的數對齊。

師：這個1與原來的數要有點區別，我們要讓它像“孫悟空72變”那樣變！變！變！你們覺得變大好還是變小好呢？

生1：我覺得大比較明顯。

生2：太大就和數字一樣，分不清。

生3：還是小的好，寫起來方便。

師：放在哪兒合適呢？

生1：放在十位上。

生2：放在橫線上面吧。

師：說的有道理，書上表示的方法（如圖4）和你們想的一樣嗎？（學生閱讀書本，驗證自己的想法）

感悟：通過擺小棒與撥珠的實踐活動，學生已經深刻理解“滿十進一”的計算原理。然而，由于學生首次接觸進位加法的豎式寫法，進位的“1”寫在哪兒？怎么寫？為什么這樣寫？在學生的頭腦中還未形成深刻的概念。案例中將“1”的寫法拋給學生，“是變大還是變小？”這一簡單問話引發學生在觀察、猜測、實驗、推理與交流等數學活動中，逐步形成對豎式計算格式的需要和建構，感悟豎式計算所特有的數學思維方式，引發學生對進位加法計算道理的深刻理解。

數學建模的本質在于它更突出地表現了原始問題的分析、假設、抽象的數學加工過程。學生的數學學習過程，其實就是一個不斷地建模和用模的過程。以上案例顯示，學生在經歷數學化過程中，將現實問題（擺小棒）抽象成數學問題（滿十進一），再結合（算珠）建立數學模型、通過（變大變小）修正數學模型并再建立數學模型。為此，教學中要基于學生特點，要因材施教，循序漸進，善于結合教材內容抓住數學的本質，合理設計問題促進學生的數學理解，引導學生逐漸體會構建數學模型的優勢，構建簡單的數學模型。

責任編輯：趙關榮