高考試卷中常見推理與證明綜合題

■甘肅省禮縣職業中等專業學校 楊 虎

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高考試卷中常見推理與證明綜合題

■甘肅省禮縣職業中等專業學校 楊 虎

推理與證明是高考中的重點知識，在高考中,推理主要考查歸納推理與演繹推理，一般先由已知條件歸納出一個結論，并加以證明，或以推理作為題目的已知條件，給出猜測的結論。同學們在處理問題的過程中，需要用到各種推理和證明方法，它們之間相互作用、互為補充，共同推動著思維向縱深發展。下面以近幾年的高考試題為例進行解析，希望對同學們的學習有所幫助。

例1 【2015年福建卷理科數學】一個二元碼是由0和1組成的數字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發生碼元錯誤(即碼元由0變為1，或者由1變為0)。

其中定義⊕的運算法則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0。

已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于____。

解析：由題意得相同數字經過運算后結果為0，不同數字經過運算后結果為1。由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可推斷后四個數字出錯，由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可以推斷后兩個數字是正確的，所以出錯的是第4個數或第5個數。又由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可以推斷出錯的是第5個數。由以上推理知第5位碼元發生錯誤。故k的值為5。

點評：本題主要考查了推理證明和新定義的應用。本題首先定義了一種新的運算⊕，其運算法則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，在此基礎上通過對校驗方程組進行合情推理，推斷出第5位碼元發生錯誤。

例2 【2015年陜西卷文科數學】請觀察下列等式：

……

據此規律，第n個等式可寫為____。

其中主要使用的定理為，已知集合U={u1,u2,…,un}，V={u1,u2,…,um},能夠發現其中對于確定的模糊影射f：U→F(V)，u1→f(u1)=r=(ri1,ri2…rin)其中r∈F(V),m=1,2,···,n,能夠發現，其中惟一確定模糊關系矩陣為

例3 【2014年陜西卷理科數學】 觀察分析下表中的數據：

多面體面數(F)頂點數(V)棱數(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812

猜想一般凸多面體中，F，V，E所滿足的等式是____。

解析：由上表數據可得：①三棱柱，F=5,V=6,E=9,F+V-E=2；②五棱錐，F=6,V=6,E=10,F+V-E=2；③立方體，F=6,V=8,E=12,F+V-E=2。進一步猜想在一般凸多面體中，F，V，E所滿足的等式是F+V-E=2。

點評：通過對三棱柱，五棱錐，以及立方體的三類圖形的面數(F)、頂點數(V)、棱數(E)之間關系的觀察，發現其規律是面數(F)+頂點數(V)-棱數(E)=2,故歸納猜想多面體中，F，V，E所滿足的等式是F+V-E=2。

由此可判斷乙去過的城市為____。

解析：根據丙說：我們三個去過同一城市，可以推斷乙至少去過A，B中的某一個城市。根據甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市知甲去過A、C。分析可知乙只去過一個城市，且沒有去過C城市，所以乙只去過A城市。

點評：對三位同學所說的三句話進行分析與推理，環環相扣，其突破口是乙說：我沒去過C城市,再結合甲、丙所說的話便可判斷乙去過的城市為A城市。

例5 【2015年廣東卷理科數學】若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數n的取值( )。

A．大于5 B.等于5

C.至多等于4 D.至多等于3

解析：顯然正三角形和正四面體的頂點是兩兩距離相等的，即n=3或n=4時命題成立，由此可排除A、B、D，故選C。

點評：本題主要考查同學們的空間想象能力，推理求解能力。本題含有量詞命題真假的判斷，如果直接正面解答比較困難，考慮到它是選擇題，可以結合選項信息根據平時所積累的平面幾何、空間幾何知識進行排除。由于n=3時，易知正三角形的三個頂點是兩兩距離相等的，從而可以排除A、B。又當n=4時，易知正四面體的四個頂點也是兩兩距離相等，從而可以排除D，不難得出正確答案為C。

例6 【2014年北京卷理科數學】學生的語文、數學成績查分為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”。若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙的，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”。如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有( )。

A．2人 B．3人 C．4人 D．5人

解析：可以用a,b,c分別代表優秀，及格與不及格，根據題意a,b,c中都最多只有一個元素，故只有ac,bb,ca滿足題目條件，所以選B。

點評：本題考查了合情推理，意在考查同學們的分析問題能力和推理判斷能力。

練一練：

參考答案：C。

(責任編輯 徐利杰)