基于粒子群算法的子陣合成

劉曉莉

摘 要： 在實際應用場合中，相控陣雷達的陣列天線所包含的陣元數往往很多，使得對信號處理機的硬件結構和運算處理能力的要求非常高，針對該情況，提出了基于粒子群算法的子陣合成方法。由于均勻無重疊子陣合成存在的測角模糊，以及均勻重疊劃分帶來的硬件設備量的增加，考慮采用非均勻子陣合成結構。該方法以角度估計的克拉美羅界為適應度函數，通過粒子群算法進行子陣優化，避免了遺傳算法的選擇、交叉和變異，操作簡單，收斂速度快。計算機仿真驗證了該方法的有效性和可行性。

關鍵詞： 陣列天線； 粒子群算法； 子陣合成； 克拉美羅界； 適應度函數

中圖分類號：TN957 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2013）07-03-05

0 引言

波達方向（Direction-Of-Arrival，DOA）估計作為陣列信號處理的重要研究內容之一，越來越受到人們的廣泛關注，尤其是以MUSIC[1]和ESPRIT[2]為代表的子空間類超分辨算法。在實際工程應用中，陣列天線所包含的陣元數通常較多，帶來的問題是硬件實現的復雜度和設備量的增加及運算量的劇增。子陣合成技術無疑是較為有效的解決該問題的措施之一，不僅運算量小，收斂速度快，且所需的系統設備少[3]。子陣合成通常可分為無重疊均勻合成、部分重疊均勻合成和非均勻合成。對于無重疊均勻合成，由于合成后得到的子陣的等效相位中心間距大于半波長，從而導致測角模糊。對于部分重疊均勻合成，雖然可以通過調整重疊的陣元數來避免柵瓣的出現，但重疊共用的陣元也同時增加了硬件的復雜度。非均勻合成是通過改變各個子陣的方向圖來破壞子陣的周期性，進而避免柵瓣的出現。實際中較常用的是非均勻合成方法，互不交迭的鄰接子陣結構因沒有共享陣元而易于在微波段實現和控制，同時又克服了柵瓣效應對自適應處理的影響。由于大型陣列陣元數較多，子陣合成的數學組合方式太多，需要進行全局最優搜索，常見的有遺傳算法[4]，模擬退火算法 （Simulated Annealing，SA）[5]和粒子群算法[6]等。

遺傳算法是借鑒生物的自然選擇和“適者生存，不適者淘汰”的遺傳機制而發展的一種全局優化自適應概率搜索算法。粒子群算法模擬的是鳥群捕食行為。與遺傳算法相比，PSO算法避免了交叉、選擇和變異等基本操作，所以更為簡單，便于實現；在PSO算法中，只有個體最優解（Personal Best，Pbest）和群體最優解（Global Best， Gbest）的信息傳給了其他粒子，整個搜索過程是跟隨最優解的過程，因此，在大多數情況下具有更好的收斂性。文獻[6-8]都將粒子群算法應用到陣列天線方向圖綜合中，適應度函數均與方向圖的電平有關。文獻[9]以陣列的克拉美羅界為目標函數，固定陣列孔徑和陣元數，利用遺傳算法搜索最優的非等距線陣（Nonuniform Linear Array，NLA）陣列。本文提出了基于粒子群算法的子陣合成方法，以角度估計的CRB為適應度函數，借助PSO算法進行子陣合成優化。

1 信號模型

半波長排列的L元等距線陣，假設空間存在P個窄帶遠場信號，入射角度為θp，p=1，…，P，則陣列接收的信號模型為

L元陣列合成為M元子陣，如圖1所示，則L×M維的降維矩陣為B。由于非均勻劃分后各個子陣的方向圖不再一致，使得子陣輸出的噪聲功率不等，從而導致子陣級的自適應處理性能下降。故需要按照等噪聲功率法[3]的原則，將B進行歸一化，保證各個子陣輸出的噪聲功率相等，即

不失一般性，假設只有一個信源，當陣元間距為半波長，且陣列均勻劃分，考慮陣元級加匹配權時的子陣級導向矢量為

當空間存在多個目標時，子陣級的陣列流形記為，陣元級指向θ0，則式（10）可以進一步改寫為

2 粒子群算法

1995年，美國Kennedy博士和Eberhar博士提出一種較為新穎的優化算法[11]——粒子群優化算法。與其他進化算法相類似，該算法也是一種基于群體智能（Swarm Intelligence，SI）的優化算法，模擬的是鳥群覓食行為，通過鳥之間的相互協同和競爭使群體達到目的。在PSO中，每個優化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，稱之為粒子（Particle）。所有的粒子都有一個被優化的函數決定的適應度值（Fitness Value），每個粒子還有一個速度（Velocity）決定它們飛翔的方向和距離。PSO初始化為一群隨機粒子（隨機解），然后，粒子們就追隨當前的最優粒子在解空間中搜索找到最優解。粒子群中的粒子有記憶功能，每個粒子通過跟蹤粒子本身找到的最優解Pbest和群體找到的最優解Gbest，更新粒子的位置和速度，不斷向最優解靠近，最終達到最優解。

類似于遺傳算法，PSO算法的基本組成單位是粒子。設一個N維空間中的第n個粒子的位置和速度分別為xn（t）=[xn1（t），xn2（t），…，xnD（t）]和vn（t）=[vn1（t），vn2（t），…，vnD（t）]，其中t表示進化代數，D表示解向量的維數，則由這N個粒子構成的第t代種群為X（t）=[x1（t），x2（t），…，xN（t）]。Pn=[pn1，…，pnd，…，pnD]表示第n個粒子進化到第t代時經歷的最好位置，即有最好的適應度值，而種群中所有粒子經歷的最好位置為pg=[pg1，…，pgd，…，pgD]。粒子的速度和位置可通過如下公式進行更新：

vnd（t+1）=vnd（t）+c1r1（pnd-xnd（t））+c2r2（pgd-xnd（t）） （13）

xnd（t+1）=xnd（t）+vnd（t） （14）

其中，n=1，2，…，N，d=1，2，…，D，c1和c2為加速因子（Acceleration Factor），c1調節粒子飛向自身最好位置方向的步長，c2調節粒子向全局最好位置飛行的步長。r1和r2為分布于[0，1]之間的隨機數，即ri=rand（·），i=1，2。式（13）中第一部分為粒子的初始速度；第二部分為“認知（Cognition）部分”，表示粒子本身的思考；第三部分為“社會（Social）部分”，表示粒子間的信息共享與合作。

為了防止粒子遠離搜索空間，粒子的每一維速度都被限制在[-vdmax，vdmax]之間，vkmax太小容易陷入局部優化，太大則容易飛離最優解，通常根據優化變量搜索空間的邊界選擇速度的邊界，假設第k維變量的搜索空間為[-xdmax，xdmax]，則vdmax=axdmax，通常a=0.1～0.9。因此在對速度和位置進行更新以后，若速度或位置越界，則對粒子進行越界處理。文獻[11]給出了越界時的三種方法，包括吸取邊界、發射邊界和隱形邊界。吸收邊界是指取粒子在這一維的邊界值，反射邊界是保持粒子速度的大小不變，方向取反，而隱形邊界則不評估其適應度，也不參與下一輪的最優個體競爭。本文選用的是吸收邊界的方法。

為了更好地開發PSO算法的探測能力，Shi等人在公式中引入了慣性權重w，即線性遞減權值（linearly decreasing weight，簡稱LDW）策略：

其中wmin=0.4，wmax=0.9，T為最大進化代數。慣性權重是為了使粒子保持運動的慣性，使其有擴展搜索空間的趨勢。由式（16）可知，隨著t的增加，w逐漸減小。在進化初期，較大的w有利于進行全局搜索，避免陷入局部最優，隨著進化代數的增加，較小的w則有利于算法的收斂。如果w=0，則粒子速度只取決于它當前位置Pbest和Gbest，速度本身沒有記憶。

3 本文算法描述

在很多實際應用場合中，陣列中的陣元數可能很多，如多功能相控陣雷達中，陣元數常常達到數千甚至上萬，此時如果仍然采用陣元級處理顯然是不可行的，包括硬件的設備量和實際的運算處理能力都無法承受。針對這種情況，通常采用子陣合成結構，將若干個陣元合成為一個子陣，后接一個接收機，從而有效地降低系統成本和實現復雜度。常用的子陣合成分為三類：無重疊均勻合成、部分重疊均勻合成和非均勻合成?？紤]到測角模糊及易實現性，實際中較常用的為非均勻合成。

現有的很多算法都是從天線方向圖出發，以其主副比為適應度函數，利用遺傳算法或者PSO等優化算法進行全局搜索。本文從陣列測角精度出發，提出了以子陣合成后估計角度的CRB為適應度函數，即

其中Re（·）為取實部，diag（·）為對角化操作，S（i）=diag[s1（i），…，sp（i）]，，D=[d（β1），…，d（βp）]，σ2表示噪聲功率，可用（M-P）個小特征值的平均來估計， d（β）=da（β）/dβ是導向矢量的一階導數，。

注意到式（18）與信號的入射角度、信噪比（signal-to-noise ratio， SNR）、快拍數以及陣列流形都有關系，圖4給出了理想情況下的CRB（θ）隨這些參數的變化曲線。

顯然，式（17）的值越小越好，為了使其呈增大趨勢，且表示簡單，式（17）可改寫為

以下給出算法的基本步驟。

⑴ 初始化：設定合成的子陣數N和子陣規模，即子陣包含陣元數的范圍[1，Lsmax]，學習因子c1和c2，最大進化代數T，種群數N，粒子起始位置和速度以及速度邊界[-vdmax，vdmax]。隨機產生N個粒子，并計算其適應度值，當前自身的最優值Pbest，從初始種群中找到最優的適應度值作為全局最優值Gbest。

⑵ 更新粒子速度和位置，計算當前粒子的適應度值，并與之前的Pbest和Gbest相比較，若更優則替換。

⑶ 判斷速度和位置是否越界，若越界進行越界處理。

⑷ 判斷是否達到預設的最大進化代數T，是終止迭代，否則跳至⑵。

4 計算機仿真

仿真實驗：均勻直線陣，陣元數為N=128，陣元間距為半波長，合成為8個子陣，假設每個子陣的陣元數不超過32個，即陣元數的變化范圍為1到32之間，且所有子陣的陣元數之和為128，相當于在1到32之間變化的8個數的組合為128。空間存在兩個目標，信噪比分別為10dB和5dB，入射角度為10?和0.8??？紤]以角度估計的CRB為適應度函數，采用粒子群算法迭代100次，初始代中的粒子數為20，尋找最優的子陣合成結構。

初始速度v0不能太大，否則更新速度公式中的第一項值較大，使得更新速度的值整體偏大，產生全是為正的值，也就是說所有粒子都呈增大趨勢，這會使得總的陣元數超過固定值。故選取v0=0.1，c1=c2=2。

這里假設陣元級直接合成，即加全1的幅度權。圖5是最優粒子的收斂曲線，圖6是子陣合成的MUSIC譜，在零度方向既有深凹口，同時又有譜峰，這與前面的分析結果相吻合。圖7為圖6的局部放大圖，從圖7可以看出優化得到的子陣能很好地分辨0?～0.8?之間的目標。

5 結束語

針對實際中的大型陣列，本文提出了基于PSO算法的子陣合成方法。與現有的大多算法不同，該方法不是以方向圖的主副比為適應度函數，而是角度估計的CRB，使得優化后的子陣具有較好的角度估計精度。與遺傳算法相比，避免了選擇、交叉和變異等操作，實現更簡單，收斂速度更快。計算機仿真驗證了所提方法的有效性。

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