等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比

白春雷

摘 要：類比是提出新問題和做出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉。作為高考重點知識的等差、等比數(shù)列之間有較強的相似性。從類比中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，在類比中發(fā)現(xiàn)異同點，發(fā)現(xiàn)問題的實質。

關鍵詞：類比；數(shù)列；隱含條件

鄭信教授認為應用類比的關鍵就在于如何把關于對象在某些方面一致性的含糊認識說清楚。本文通過等差數(shù)列與等比數(shù)列之間相似性的解說來明確二者清晰的相似性。

1.從熟悉的知識中尋求運算方面的相似性。

等差數(shù)列 等比數(shù)列

從以上比較可看到如下的相似性：

d→p；加法→乘法；

減法→除法；乘法→乘方。

2.答疑解惑

的除法應相似于等比的開方嗎？

解：d與q之間的相似性可通過下面的兩個例題來說明：

例題1.在等差數(shù)列{an}中，若a10=0則有等式a1+a2++an=a1+a2+…+a19-n（n<19，n∈N+），類比上述性質相應的在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有等式a1·a2…an=a1·a2…a19-n成立。

例題2.在等差數(shù)列{an}中，“d≠0”是“若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（m、n、p、qn∈N+）”成立的充要條件，類比上述性質相應的在等比數(shù)列中，命題“若am·an=ap·aq，則m+n=p+q（m、n、p、q∈N+）”成立的充要條件是“公比q≠±1”。

由此可知公差d=0，一般相似于等比數(shù)列的公比q=±1（有時d也可能相似于q=1或q=-1中的一個）。但等差數(shù)列中的“0”與等比數(shù)列中的“1”不一定只對應公差與公比。

等比數(shù)列的開方是相似于等差數(shù)列的除法。

3.突戰(zhàn)演練

類比雖是偉大的引路人，也可能產生美麗的錯誤，它的或然性與創(chuàng)造性緊密聯(lián)系在一起。“大膽地猜想，小心地求證”可防止類比“惹禍”。

（作者單位 江蘇省徐州市張集中等專業(yè)學校）