例談初中數學思想方法的歸納與滲透

馬富饒

初中數學中蘊涵了豐富的數學思想、方法的內容。如字母表示數的思想，數形結合的思想、函數思想、統計思想、分類思想（包括等價轉化思想與化歸思想）、等量思想、不等量思想等大量數學思想。數學方法有理論形成的方法、觀察法、實驗法、類比法、一般化方法和抽象化方法；解決具體數學問題的方法有代入法、消元法、降次法、配方法、待定系數法、分析法、綜合法、坐標法、變換法等。數學知識、思想、方法、技能密不可分，相互聯系，相互依存，協同發展，只要在課堂教學法中認真把握，把它們融于一體、就能使學生在學習過程中潛移默化，不知不覺地獲得這些思想方法。下面是自己在教學中的一些做法和體會。

一、鉆研教材，充分挖掘教材中蘊涵的數學思想方法

新教材的彈性很大，其選擇的材料是精心組織、合理安排的，表達了一定的思想、方法和目的，但是教師怎樣設計數學情景？學生應形成怎樣的數學思想和方法，教材只做了簡短的說明。但是基本的數學思想、方法確如靈魂一樣支配著整個教材。因此，教師在教學過程中一定要研究大綱，吃透教材，把教材中蘊涵的數學思想、方法精心設計到教案中去。例如初一代數第一冊（上）的核心是字母表示數，正是因為有了字母表示數，我們才能總結一般公式和用字母表示定律，才形成了代數學科，這冊教材以字母表示數為主線貫穿始終，列代數式是用字母表示已知數，列方程是用字母表示未知數，同時本章通過求代數式的值滲透了對應的思想，用數軸把數和形緊密聯系起來，通過數形結合來鞏固具有相反意義的量的概念、了解相反數及絕對值、研究有理數加、減法和乘法的意義等，通過有理數、整式概念的教學，滲透了分類思想，教師只有這樣去把握教材的思想體系，才能在教學中合理地滲透數學思想和方法。

二、注重在知識介紹與展示過程中滲透數學思想和方法

概念、公式、法則、性質、定理等數學結論的導出過程，不是簡單的再現，教師要創設一定的問題情景，提供豐富的感知材料，使學生的思維經歷數學結論的發生、發展、形成的全過程，并在這一過程中通過嘗試、觀察、猜想、歸納、概括、類比、假設、檢驗等自我接受數學思想、方法的滲透。教師要抓住各種時機，引導學生透過問題表面理解問題本質，總結出教學思想方法上的一些規律性的內容。如：學習整式的加、減、乘、除運算時，用數的運算性質去探索式的同類運算也具有這樣的性質，實現數--式的轉化，也是由特殊到一般，由具體到抽象的關系。

三、點滴孕伏，不斷再現，逐漸強化

數學思想、方法不可能經歷一次就能正確認識并遷移，需要在長期的教學中，點點滴滴地孕伏，斷斷續續的再現，若隱若明的引導，日積月累的強化，使學生達到掌握的程度。例如學習因式分解時可給下列題組：（1）x2-11x+24 （2）x4-11 x2+24 （3）（x+y）2-11（x+y）+24 （4）（x2+2x）2-11（x2+2x）+24 （5）（x2+2x-3）（x2+2x-8）+36 （6）（x-1）（x-2）（x+3）（x+4）-36由（1）題過渡到（2）（3）（4）滲透了換元的思想，（5）（6）滲透了化歸思想。通過解一元二次方程、一次方程組、分式方程和無理方程，使學生的轉化認識、消元降次、化歸的思想方法日趨成熟。再如對一元一次方程和一元一次不等式的解法進行類比，使學生了解它們的聯系與區別，讓學生學會了用類比思想解決問題的方法，在初二學分式及其運算時，學生運用類比的思想由分數的性質和運算可以自主展開對分式的研究。

四、把基本數學思想、方法、知識、技能融于一體

教師在課堂中要把基本的數學思想、方法與知識、技能融于一體，使學生在學習知識、技能的同時，也悟到一定的數學思想方法，在運用思想方法的同時，也鞏固了知識、技能。這樣，思想方法有載體，知識、技能有靈魂，才能真正提高學生的數學素養。例如證明勾股定理或乘法公式時，經常由圖形面積的等積變形來實現，這是把數量關系問題轉化為圖形問題來解決的典型例子。與此相反，證明兩直線垂直時，可通過勾股定理的逆定理來證明或由角的數量關系來證明，這是把圖形關系問題轉化為數量關系問題的典型例子。通過這兩種轉化方法的不斷訓練，學生才能不斷體會到數形結合的精妙之處，才能把數學思想、方法、知識、技能融于一體，才能真正領悟數形結合的思想方法。

五、有計劃、有目的、有組織地上好思想方法訓練課

小結課、復習課是系統知識，深化知識，使知識內化的最佳課型，也是滲透數學思想方法的最佳時機，通過對所學知識系統整理，挖掘提煉解題指導思想，歸納總結上升到思想方法的高度，掌握本質，揭示規律。初中數學中有許多體現“分類討論”思想的知識和技能。如：1、實數的分類；2、按角的大小和邊的關系對三角形進行分類；3、求任意實數的絕對值分大于零、等于零、小于零三種情況討論；4、把兩個三角形的形狀、大小關系揭示得較為清楚的方法，是把兩個三角形分為相似與不相似兩大類；…，所有這些，充分體現了分類討論的思想方法，有利于學生認識物質世界事物之間的聯系與區別。

六、運用多媒體手段使數學思想方法形象化

現代教育技術手段在課堂教學中應用越來越廣泛，教師要學會利用各種媒體工具，使學習信息呈現的形式多樣化，擴展教育和學習的空間，如：①課本上的附圖，看上去是靜止的，但教學過程中，借教具分解、組合、畫出圖形的過程是運動的；②研究等腰三角形的性質時，添加輔助線，是十分典型的運動、變化、轉化的過程；③借助于折疊、測量、檢驗等手段，認識、掌握兩個圖形是否具有軸對稱的特性，這個過程是運動、變化的；④引導學生，用位似變換的方法，將一個已知圖形放大（或縮小）若干倍，這個過程更是自然地運動、變化的；……所有這些，都在向學生充分展示著“運動”，“變化”，“矛盾轉化”等哲學思想。

教學實踐證明，加強數學思想方法的教學對于提高教學質量，改變重結論、輕過程，重知識、輕思想的現狀，培養高素質人才有著深遠而重大的現實意義。