矩形紙片的折疊問題

徐竹芬

[摘 要] 問題起源于課本，但又高于課本，只有有價值的問題，才能深入挖掘數學的本質，才能提升學生的思維能力. 本文以圖形與幾何中的矩形紙片折疊問題為教學核心，根據“情境——問題”基本教學模式，進行問題解決策略的研究.

[關鍵詞] 問題；折疊；思維

美國數學家哈爾莫斯認為“問題是數學的心臟”，“學起于思，思源于疑”，有疑慮才能產生認知沖突，才能激發認知需求. 因此，教學中教師應設法創設問題情境，使學生不斷產生“情理之中，意料之外”“似乎已經知道，實際還不夠清楚”的心境，讓學生在不斷嘗試中主動學習、研究，進而解決問題、優化課堂教學.

下面是我在九年級復習課教學中，根據“情境—問題”基本教學模式進行的教學嘗試.

教學緣由

矩形紙片折疊問題的教學，就是解決將矩形紙片按照某種要求進行折疊的操作活動所產生的數學問題. 七年級時，學生已遇到過與折疊相關的問題，有解決折疊問題的初步經驗，在八年級上學期學習圖形的軸對稱變換知識、勾股定理時也常常碰到矩形的折疊問題，不過隨著知識的深化，問題趨于復雜化，折疊形成的問題較為抽象，需一定的空間想象能力，而這方面的能力是學生較為欠缺的，故學生遇到這類折疊問題時，往往一片茫然，不知從何下手.

本課時的教學目的：（1）通過折疊，提出問題，解決問題，讓學生對矩形的折疊問題有更系統的認識，掌握解決策略. （2）在學習過程中培養學生的探究、歸納能力.

教學設計思路：在教師的引導下，以學生自主探究為主，通過探究呈現各種情況，逐步提出問題和解決問題，最終讓學生帶著新問題課后繼續探究.

教學過程

師： 我們經常會碰到矩形紙片的折疊問題，今天就讓我們一起來好好認識它，看看它如何變身，且在不同的外表下又有怎樣的共同點. 折疊問題會讓我們產生眾多的數學思考，繼而提出一些數學問題.

【引導提問】 現有一張矩形紙片ABCD（如圖1），其中AB=4 cm，BC=6 cm，點E是BC的中點. 將矩形紙片沿直線AE對折，使點B落在梯形AECD內，記為點B′，試求B′，C兩點之間的距離.

學生分析：折疊會產生軸對稱圖形，故有△ABE≌△AB′E，又點E是BC的中點，則有BE=B′E=CE，可得△BB′C為直角三角形. 故要求B′C，只要求出BB′即可. 又由折疊可知AE垂直平分BB′，于是問題可解決.

師：剛才老師提的問題是折疊一個三角形，折疊后B′在矩形內部，同學們，你能提出什么問題？（學生折疊、思考、找題、編題，教師巡視指導）

【學生提問1】 折疊的還是一個三角形，但折疊后頂點在矩形邊上，如圖2，在矩形ABCD中，已知AB=6 cm，BC=10 cm，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，折痕為AE，你有哪些結論？

【學生提問2】 折疊后頂點在矩形外，如圖3，在矩形紙片ABCD中，AD=8，AB=4，將矩形沿直線BD折疊，你有哪些結論？

【學生提問3】折疊的不是三角形，而是一個四邊形，一個頂點落在矩形內，如圖4，情況會如何？

【學生提問4】折疊的不是三角形，而是一個四邊形，一個頂點在矩形邊上且不在頂點處，我以前碰到過一題：如圖5，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H，∠BPE=30°.

（1）求BE，QF的長；

（2）求四邊形PEFH的面積.

【學生提問5】如圖6，一張矩形紙片ABCD的長AD=10 cm，寬AB=4 cm. 現將其折疊，使點D與點B重合，求BE的長.

【學生提問6】我們還折出兩點均在矩形外，如圖7，情況又會怎樣？

【問題解決】

師：大家都很厲害，通過折紙，以前做過的題，自己編，找到了不少類型，下面我們來解決所提出的問題.

師：對于提問1，你們有哪些結論呢？

生1：△ADE≌△AFE，△CEF∽△BFA.

生2：AF=AD=10，能求出BF=8，CF=2，DE=EF，由勾股定理可求出EF，CE的長.

師：很好，從三角形的特殊關系，求出了邊的長度. 那對于提問2呢？

生3：同樣有全等和相似，△ABD≌△EBD，△BEF∽△DCF.

生4：△BDF為等腰三角形，△BEF≌△DCF.

師：那對于線段你有何結論？

生5：BF=DF，可設DF=x，則BF=x，CF=8-x，由勾股定理可以求得x=5，圖中的線段都能求出，能知道圖形的面積和周長.

師：那對于圖4，誰能提出一個問題？（生沉默）

師：你在這圖形中有哪些結論呢？

生6：只看到四邊形CDEF與四邊形C′D′EF全等.

師：若∠EFB=55°，則∠AED′等于多少度？

生7：70°，由平行以及軸對稱可得.

師：下面我們一起來看圖5，除了折疊后形成的兩個直角三角形相似外，因為位于特殊位置，也就出現了一些特殊情況.

生8：在這幅圖中有重要結論：△BPE∽△AHP∽△QHF，且△BPE，△AHP和△QHF都是含有30°角的直角三角形，由折疊知，PE=EC，PQ=CD，即可求得.

師：對于提問5，我相信大家都沒有問題，對于圖6，你還有什么結論，或者有想問的嗎？

生9：△ABE≌△C′BF，可求得線段AE，DE，BE，BF，FC，C′F，圖中還有線段EF，EF的長還沒求得.

生10：可過點E作EH垂直BC于點H，構造直角三角形.

師：老師還看到圖中ED=BE=BF，連結DF，四邊形DEBF是菱形，你能說理嗎？

生齊答：能.

師：大家剛才都很棒，都善于觀察，找到了幾個有關矩形折疊的圖形，圖7就交給大家課后再研究，看看這圖形中有沒有特殊結論，能否編個題. 另外，在折疊中，還有其他圖形，如圖8，折疊矩形紙片ABCD，使AD落在對角線BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG. 你能解決這個問題，并設計其他問題嗎？讓我們繼續探究.

師：在解決折疊問題時，應以軸對稱圖形的性質作為切入點，找出由折疊而產生的相等的線段和角，再設法把條件和結論集中到某個直角三角形中，應用勾股定理等知識解直角三角形，求得問題的解決，這是解決這類問題的通法通則.

教學反思

本節課中，貫穿“情境—問題”的教學模式，創設情境—提出問題—解決問題，做到了由淺入深，層層推進，教師始終在引導，給學生足夠的思考時間與空間，使學生的思維得到發展，能力得以提升.

問題源于課本，卻又高于課本，它促進學生的思考不斷深入、層層推進，為學生指明探究的方向，具有很強的指導意義，利于激發學生的問題意識.

對于本節課，教師引導學生通過動手折疊讓學生得出折疊的圖形有三角形和四邊形之分，折疊后其頂點所落的位置不同，于是得到各個圖形，并在各圖形中添加條件，提出問題，并解決問題. 課堂中，教師應引導學生關注折疊所產生的相等的線段和角，應用勾股定理、相似三角形等知識解決此類問題. 上述整節課以學生為主體，重視學生的歸納推理能力和邏輯思維能力的培養，以提高學生的綜合解題能力.

學生提問的質量取決于學生的基礎及思維層次，具有不可控性，這樣的課堂是動態生成的，故教師要更認真地做好課前準備，課前預設，精心挑選問題，對重點的問題要講解到位，要逐步拓寬和加深，要舍得花時間，不能匆匆而過. 折疊問題比較抽象，課堂上應恰當輔助多媒體教學，以提高課堂效率.

教師的教學設計就是對教材的再次開發，教材是教學資源，但不是唯一的教學資源. 教師要在教學設計時對諸多教學資源做到心中有數、為我所用. 探究的過程就是一個教學建模的過程. 在此過程中，學生的興趣能得到培養，應用能力能得到提高. 不過這也會給普通學生的學習帶來一定的難度，可能不利于面向全體學生，為避免這些問題，教師應在問題引導及設計上注意層次性.