數形結合思想在高中數學教學中的應用

賀云昊

主要說明數形結合思想是高中數學的重要思想之一，數形結合方法是重要的一種解題方法。主要介紹數形結合思想在解決函數、方程、不等式、解析幾何等問題的應用。

數形結合思想函數不等式方程解析幾何數形結合是數學的本質特征，我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！睌敌谓Y合是根據數的結構特征，構造出與之相適應的幾何圖形，并利用圖形的特征和規律，解決數的問題，或將圖形信息部分或全部轉化成代數信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問題轉化為數量關系的討論。

數形結合思想是采用了代數方法和幾何方法的最好方面：幾何圖形形象直觀，便于理解；代數方法的一般性，解題過程的程序化，可操作性強，數形結合的思想方法是學好中學數學的重要思想方法之一。因此，研究數形結合思想是相當必要的。數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結合的思想可以解決以下問題。

一、數形結合思想解決函數值域

例1.求函數f（x）=sinxcosx-2（0≤x≤π） 的值域

分析：觀察函數的形式，可將其轉化成求斜率范圍問題。

如圖所示，設動點P（cosx，sinx），定點A（2，0），則直線PA的斜率為所求。即-3，0

小結：形如f（x）=ax2+bcx2+d（a，c 均不為零）、f（x）=amx+bcmx+d （a，c均不為零） 等函數求值域問題均可。

二、數形結合思想解決方程問題

三、數形結合思想解決不等式問題

例3.設f（x）=x2–2ax+2，當x∈[–1，+∞）時，f（x）>a恒成立，求a的取值范圍.

解法一：由f（x）>a在x∈[–1，+∞）上恒成立x2–2ax+2–a>0在x∈[–1，+∞）上恒成立。因此考查函數g（x）=x2–2ax+2–a的圖象在x∈[–1，+∞）時位于x軸上方.如圖兩種情況：

不等式的成立條件是：（1）Δ=4a2–4（2–a）<0a∈（–2，1）

（2）Δ≥0

a<-1

g（-1）>0 a∈（–3，–2]，綜上所述a∈（–3，1）.

四、數形結合思想解決比較大小問題

例4.設方程2x+x=0的實根為a，方程log2x+x=0的實根為b，方程log2x-1x=0的實根為c，則（）

A、a

C、b

分析：將函數f（x）=2x，f（x）=log2x，f（x）=1x，f（x）=-x的圖像畫在同一坐標系中，即得A

五、數形結合思想解決證明問題

例5.已知acosα+bsinα=c， acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α–β≠kπ， k∈Z）求證：cos2α-β2=c2a2+b2.

分析：解決此題的關鍵在于發現條件的幾何意義，由條件式的結構聯想到直線方程，進而由A、B兩點坐標特點知其在單位圓上，從而才能巧用數形結合方法完成解題.

證明：在平面直角坐標系中，點A（cosα，sinα）與點B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖.

從而：|AB|2=（cosα–cosβ）2+（sinα–sinβ）2

=2–2cos（α–β）

又∵單位圓的圓心到直線l的距離d=|c|a2+b2由平面幾何知識知|OA|2–（12|AB|）2=d2即

1-2-2cos（α-β）4=d2=c2a2+b

∴cos2α-β2=c2a2+b2.

總之，在教學過程中對“數”與“形”關系的揭示與轉化，有利于啟發學生深刻認識數學問題的實質——數學知識的精髓，才能讓學生能靈活運用數形結合思想解決數學問題，從而提升能力。

參考文獻：

[1]學習方法報，語數教研周刊.2011，（8）.

[2]數學學習與研究，教研版.2009，（8）.