非平穩信號自適應最大信噪比盲源分離方法

摘要： 為了提高時變非平穩信號的盲源分離效果，提出了自適應最大信噪比盲源分離新方法.該方法以信噪比函數作為代價函數，并基于改進的多項式系數自回歸模型，進行最優滑窗長度的自適應估計.仿真計算表明，FastICA算法需要預設源信號的概率密度函數，以選擇適宜的非線性函數近似估計源信號的非高斯性，當假設的概率密度函數與實際不符時無法正確分離源信號；累積量算法在信源的峰度相同時無法正確分離源信號.新方法與經典的FastICA算法和基于累積量的盲源分離算法比較結果表明，對于經典的FastICA算法、累積量算法無法正確分離的時變非平穩信號，新方法能夠有效地進行盲源分離，分離結果不受源信號的概率分布、信源的峰度等統計因素影響.

關鍵詞： 非平穩信號；盲源分離；自適應最大信噪比；FastICA；累積量分離算法

中圖分類號： TN911.7文獻標志碼： ABlind Sources Separation of Nonstationary Signals Based on

Adaptive Maximum SignaltoNoise Ratio MethodZHANG Jie

（School of Mechanical Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China）

Abstract：In order to improve the blind separation performance of nonstationary signals， a new blind source separation algorithm named adaptive maximum signaltonoise ratio algorithm was proposed. This algorithm uses the signal noise ratio function as the cost function parameter and an improved multinomial coefficient autoregressive model to estimate the best length of moving average window. Simulations showed that FastICA algorithm needs to assume the probability density function （PDF） of the sources to approximate their unGaussian features by choosing the appropriate nonlinear function. If the assumed PDF considerably deviates from the true one， the sources could not be separated correctly. In the case of the sources with identical kurtosis， the separation algorithm using cumulants failed to separate the sources. The comparison between the proposed method， the classical FastICA algorithm， and the separation algorithm using cumulants showed that the proposed method could retrieve the timevarying nonstationary source signals accurately， and the separation performance of the proposed method was not influenced by the PDF and the kurtosis of the source signals.

Key words：nonstationary signal； blind source separation； adaptive maximum signaltonoise ratio； FastICA； separation algorithm using cumulants

盲源分離研究始于20世紀80年代中后期， Herault和Jutten使用反饋神經網絡實現了兩個混合信號的盲源分離，揭開了信號處理領域的新篇章.近年來，盲源分離、盲波束形成、盲均衡、盲反卷積等盲信號處理理論與算法研究成為現代測試信號處理領域的熱點命題，在聲學、醫學、通信、遙感等研究領域展現了絢麗的應用前景[18].

盡管盲源分離研究發展迅速，但仍有大量的理論和實際問題需要解決，源信號非平穩[910]情況下的穩健高效分離就是亟待解決的難題之一.對于非平穩信號，既有文獻中主要采用的是基于時頻分析的盲源分離方法[1112].文獻中提出，當源信號具有不同的時頻分布時，其空間時頻分布矩陣是一個對角陣，而混合信號的空間時頻分布矩陣不是對角陣，將混合信號的空間時頻分布矩陣進行聯合對角化就可以估計出混合矩陣，進而估計出源信號.但是，由于時頻交叉項的存在，即使源信號具有不同的時頻分布，其空間時頻分布矩陣也不是對角陣，這個因素影響了既有算法的分離性能.

本文針對時變非平穩信號，提出了自適應最大信噪比盲源分離新方法.與經典方法的對比表明，新方法適用性廣，分離性能不受源信號概率分布、峰度等因素影響.1經典方法圖1是盲源分離模型簡圖，是指在獨立源信號s（t）=（s1（t），s2（t），…，sn（t））T以及傳輸通道特性A未知的情況下，根據觀測信號x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T以及關于源信號的一些先驗知識，構造分離系統W，使系統輸出y（t）=（y1（t），y2（t），…，yn（t））T逼近s（t），從而估計出源信號s（t）的各個分量.

西南交通大學學報第48卷第4期張潔：非平穩信號自適應最大信噪比盲源分離方法圖1盲源分離模型

Fig.1Blind source separation model

盲源分離實際上是一個優化問題，需要在某一衡量獨立性的判據最優的意義下尋求最佳解答.從原理上說，最根本的獨立性判據來自于統計學定義，即：混合信號y（t）的聯合概率密度函數p（y）等于各個分量yi（t）的邊緣概率密度函數p（yi）的乘積.但是，p（yi）和p（y）均是未知的，需要根據優化判據加以估計.研究者們已提出了實現盲源分離的一些方法，包括基于二階統計量的方法、基于高階統計量的方法、基于非線性函數的方法和基于神經網絡的方法，等等.1.1FastICA算法FastICA算法[13]是應用廣泛的盲源分離方法之一.根據中心極限定理，獨立隨機變量之和比任何一個原來的隨機變量更接近高斯分布，所以，非高斯性可以作為獨立源信號估計的切入點.

“熵”是一個典型的非高斯性度量，但熵的計算較為困難，所以研究者們提出了一些使用多項式近似值作為非高斯性度量判據的方法，FastICA算法就是其中有代表性的一種方法.FastICA算法基于非高斯性最大化原理，使用固定點迭代理論使輸出變量yi互不相關且非高斯性最大來實現獨立源信號的盲源分離.

下面應用FastICA算法進行非平穩信號盲源分離仿真計算.圖2所示是4個獨立源信號si（t），i=1，2，3，4.其中s1（t）、s3（t）是時變非平穩信號.

圖2源信號

Fig.2Source signals混合矩陣為

A=[111122.0012233

3.00234444.001].

圖3所示是混合觀測信號xi（t）， i=1，2，3，4.各個觀測信號的相似度很高，在實際應用中，傳感器位置接近時往往會出現這樣的情況.

圖4所示是應用FastICA算法得到的分離信號yi（t）， i=1，2，3，4.計算耗時0.297 735 s.

對比圖2與圖4，顯然，對于本例的分時非平穩信號，FastICA算法不能根據圖3所示的混合信號來分離s1（t）與s3（t），FastICA分離算法失效.圖3混合觀測信號

Fig.3Mixture of observation signals圖4應用FastICA分離的信號

Fig.4Separated signal with FastICA究其原因，FastICA算法要求預先假設源信號的概率密度函數，采用非線性函數近似估計非高斯性，只有當所選擇的函數與源信號的概率密度函數成比例時，該方法才能取得較好的效果.而任何一個近似函數都不可能對不同的概率密度分布模型取得最佳分離效果，在本例中，假設的與真實的概率密度函數之間差異較大，所以非平穩源信號不能被正確分離.1.2 基于累積量的ICA算法獨立分量盲源分離的優化算法可大致分為兩類：批處理和自適應處理.早期批處理的主要方法是Comon提出的基于成對數據逐次旋轉的Jacobi法.法國學者Cardoso對算法加以改進，提出了一種建立在“四階累積量矩陣對角化”基礎上的方法（簡稱JADE法）.在JADE法基礎上，研究者們陸續提出了其他一些批處理算法，如SHIBSS法、FOBI法等.

為了闡述此類算法原理，首先給出四階累積量矩陣的定義.令z為球化后的N通道觀測矢量z=（z1，z2，…，zn）T，M為任意N×N矩陣.定義z的四階累積量矩陣Qz（M），它的第i，j元素為

[Qz（M）]ij=∑Nk=1∑Nl=1Kijkl（z）mkl，（1）

式中：Kijkl（z）是矢量z中第i，j，k，l四個分量的四階累積量；mkl是矩陣的第（k，l）元素.

累積量陣Qz（M）可分解：

Qz（M）=λM，（2）

式中：λ=k4（sm）是信源sm的峰度；M稱為Qz（M）的特征矩陣，k4（sm）是其特征值.

所以，只要完成Qz（M）的特征值分解，就能得到它的特征矩陣M=vmvTm和特征值λ=k4（sm）.如果各信源的峰度不同，vm和λm也就各不相同，即可求解混合矩陣和各獨立分量信源.

文獻[14]中提出了一種改進的高階累積量ICA方法，同時把三階和四階累積量對角化，因此，它可以處理對稱的線性混合和偏差分布源信號，也可以處理同時含對稱和非對稱分布的信源.這種改進算法無需假設源信號的概率密度函數，可直接對獨立分量分析中的激活函數進行自適應學習.

下面考察基于高階累積量的改進ICA方法是否適用于分時非平穩信號盲源分離.

圖5所示是4個獨立源信號si（t），i=1，2，3，4.需要指出的是，s1（t）與s3（t）正弦段信號的幅值是不同的.

圖6所示是應用改進累積量算法得到的分離信號，分離效果較好.

但是，當僅僅改變源信號的幅值，如圖7所示，使s1（t）與s3（t）正弦段信號的幅值相同時，改進累積量算法完全無法分離s1（t）與s3（t），結果如圖8所示，計算耗時0.357 818 s.

究其原因，這一類分離方法要求信源的峰度各不相同，才能求解混合矩陣和各獨立分量信源.在該例中s1（t）與s3（t）部分區段信號的幅值相同，累積量分離算法失效.圖5源信號s1（t）與s3（t）幅值不同

Fig.5Different amplitudes of

source signals s1（t） and s3（t）圖6累積量算法分離效果好

Fig.6Fine separation performance with

the separation algorithm using cumulants圖7源信號s1（t）與s3（t）幅值相同

Fig.7Identical amplitudes of

source signals s1（t） and s3（t）圖8累積量算法分離效果差

Fig.8Poor separation performance with

the separation algorithm using cumulants2 自適應最大信噪比算法2 .1算法原理本文提出自適應最大信噪比盲源分離新方法，根據信號特性進行自適應濾波，使輸出部分各信號的信息冗余度減到最低.

考慮到盲源分離是根據觀測信號x尋找分離矩陣W，使輸出y成為源信號s的一個估計.將源信號與估計信號的誤差e=s-y作為噪聲信號，建立信噪比函數[15]：

R=10lgs·sTe·eT=10lgs·sT（s-y）·（s-y）T .（3）

源信號是未知的，且含有噪聲，用估計信號y的滑動平均來代替源信號，那么式（3）改寫為

R=10lgs·sTe·eT=

10lg·T（-y）·（-y）T，（4）

式中：i（n）=1p∑pj=0yi（n-j）， i=0，1，…，p-1.

為簡化后續推導，在式（4）的分子中，用y代替，得到自適應最大信噪比盲源分離算法的目標函數

F（y）=R=10lgy·T（-y）·（-y）T .（5）

注意到y=Wx，=W，為混合信號經滑動平均處理后的信號，即

i（n）=1p∑pj=0xi（n-j），

i=0，1，…，p-1，（6）

那么式（4）改寫為

F（W，x）=10lgy·T（-y）·（-y）T=

10lgWxxTWTW（-x）（-x）TWT=

10lgWCWTWC～WT=10lgVU，（7）

式中：C=xxT、C～=（-x）（-x）T為相關矩陣；V=WCWT；U=WC～WT.

根據式（7），可以推導出F關于分離矩陣W的梯度，即

FW=2WVC-2WUC～，（8）

目標函數F（W，x）的極值點就是式（8）的零點，即

WC=VUWC～.（9）

對式（9）進行求解即可得到分離矩陣，進而得到源信號的估計.

下面進行仿真計算.首先令滑動平均長度p為任意選定的整數，應用最大信噪比方法進行盲源分離.對于圖2所示的分時非平穩信號，圖9、圖10分別是滑動平均長度p等于2、80的分離結果.圖9滑動平均長度p=2的分離信號

Fig.9Separated signal with

average moving length p=2圖10滑動平均長度p=80的分離信號

Fig.10Separated signal with

average moving length p=80由圖可見，滑動平均長度p等于2或80 時，最大信噪比算法的分離效果仍然不盡如人意.為了提升盲源分離性能，本文提出自適應最大信噪比盲源分離新方法，對多項式系數自回歸模型[16]加以改進，進行最優滑動平均長度自適應估計，實現非平穩信號自適應最大信噪比盲源分離.

采用多項式系數自回歸模型[16]，觀測信號可寫為

x（n）=∑pi=1∑rj=0aijx（n-d）jx（n-i）+ε（n），（10）

式中：{x（n），n∈N}是觀測序列；p是多項式系數自回歸模型的秩，也即自適應最大信噪比算法的滑動平均長度；{ε（n），n∈N}是獨立同分布的隨機噪聲序列，{ε（n）}與{x（n）}相互獨立.

定義誤差函數：

M（aiji=1，2，…，p；j=0，1，…，r）=

∑Nn=p+1x（n）-∑pi=1∑rj=0aijx（n-d）jx（n-i）2.（11）

基于BIC信息準則[16]，引入代價函數：

Br，p，d=ln 2ε+[p（r+1）+1]ln NN，（12）

式中：2ε是{ε（n）}的均方誤差最大似然估計，即

2ε=MminN-p，（13）

式（13）中：Mmin是式（11）中定義的誤差函數M（aij）的最小值.

根據式（12）進行最優化計算，使代價函數取得最小值的p，就是最優的滑動平均長度.

總結上述思路，得到自適應最大信噪比盲源分離算法步驟：

（1） 對觀測信號數據進行零均值化，并計算自相關矩陣；

（2） 基于式（11）與式（12），進行約束優化求解，使代價函數取得最小值，即可解得最優滑動平均長度p；

（3） 將p代入式（7），求解目標函數F（W，x）的極值，即可得到分離矩陣W；

（4） 計算y（t）= Wx（t），得到源信號的估計. 2.2應用示例對于圖2所示的分時非平穩信號，仍取混合矩陣為

A=[111122.0012233

3.00234444.001].

使用本文提出的新方法，對混合信號進行盲源分離，計算得到自適應滑動平均長度p=8，分離信號如圖11所示，計算耗時0.399 265 s.對比圖2和圖11，可以看到每個源信號都很好地被分離出來，分離效果令人滿意.

下面再考察圖7所示的情況，對于用累積量算法無法有效分離的峰度相同的信源，用本文提出的新方法進行分離，結果如圖12所示，計算耗時0.385 382 s.對比圖7與圖12，新方法實現了對峰度相同的分時非平穩信號的有效分離，再次驗證了新方法的有效性、適用性.

但就計算速度而言，新方法低于經典方法，原因在于進行優化迭代計算的耗時較多，提升新方法的計算效率是下一步的改進目標.圖11新方法對圖2信源的分離結果

Fig.11Separated signals with the proposed method

for sources in figure 2圖12新方法對圖7信源的分離結果

Fig.12Separated signals with the proposed method

for sources in figure 73結論非平穩信號的盲源分離是盲信號處理研究領域亟待解決的難題之一.為了解決時變非平穩信號的盲源分離，本文基于多項式系數自回歸模型，自適應的進行最優滑動平均長度估計，提出了自適應最大信噪比盲源分離新算法.仿真示例驗證了該方法的有效性.與經典的FastICA算法以及基于累積量的盲源分離算法的對比結果表明，新算法的分離性能不受源信號概率分布、峰度等因素影響，適用性廣，能夠更好地分離分時非平穩獨立源信號.參考文獻：[1]RICARDO A， SALIDO R， RADU R， et al. EEG montage analysis in the blind source separation framework[J]. Biomedical Signal Processing and Control， 2011， 33（1）： 7784.

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