地基沉降大變形有限元分析的幾何剛度效應

摘要：隨著技術的發展，大變形有限元法在地基沉降分析中的應用也越來越廣，幾何剛度效應作為大變形有限元分析的基本概念。在本案，筆者簡要闡釋了大變形有限元法，并基于算例分析基礎上，探析了地基沉降的幾何剛度效應。

關鍵字：地基沉降 大變形有限元法 幾何剛度效應

地基作為建筑工程的保障性工程之一，其施工質量將直接影響到上部建筑物的穩定性及使用壽命等，但因眾多建筑工程地基為土性較差的軟土地基，且因此引發沉降大變形的安全事故時有發生。地基沉降大變形勢必會對建筑物造成直接性或間接性的影響，且修補工作難度系數相當大。在對地基沉降大變形分析方面，因連續介質大變形固結理論自身存在一定復雜性，則較具可行性的分析方法就屬以有限元法為主的數值方法。在本案，筆者將從各個角度對地基沉降大變形有限元分析的幾何剛度效應進行闡釋。

一、大變形有限元方程與幾何剛度效應

應用較為普遍的大變形控制方程及大變形有限原方程均基于士力學符號推導所得，相對于其他大變形控制方程及大變形有限原方程，由士力學符號推導而來的方程式未簡化位移-應變幾何關系，這一特征在幾何剛度效應中發揮著不容忽視的作用。地基沉降大變形增量FEM函數式可表達為：

上述方程式中，——t時刻內總應力場等效節點力矢量；——有限元系統剛度矩陣； ——單元節點未知量矢量；——t+Δt時刻內面力與體力載荷等效節點力矢量；其中，滿足函數式：（、）。

上述方程式中，——大變形應變轉換矩陣；——幾何剛度矩陣；——單元剛度矩陣；D——本構矩陣； M——應力矢量S相關分量建構的應力矩陣；G——形函數梯度矩陣。

由以上分析結果可得，若選用復雜性最低的線性次彈性本構關系所得大變形FEM增量方程組式亦為非線性，造成以上結果的原因在于屬節點位移增量隱函數。對于某些忽略內非線性項的做法，其造成的誤差也不小，則可以肯定的是將內非線性項忽略等效于將大位移造成的結構剛度變化忽略，且若將其應用于地基大變形沉降問題分析上更是不可取。相對于此，本案中提及的大變形控制方程及大變形有限原方程的精確性明顯更高。

就力學意義而言，幾何剛度矩陣于大變形FEM方程組內的作用體現為大變形條件下系統結構剛度受應力水平的影響程度，即幾何剛度效應。為了使計算過程更加的簡化，筆者通過引入系數μ，并得到如下方程式：

若μ=1，則表示嚴格考慮幾何剛度效應；若μ=0，則忽略幾何剛度效應；若μ=-1，則幾何剛度矩陣取相反數。若大變形系統剛度函數表達式由士力學符號推導所得，之前存在一個“-”；而固體力學大變形系統剛度矩陣函數表達式內，之前存在一個“+”。以上現象出現的原因為應變度量及應力符號約定間存在差異性。

二、算例分析

（一）荷載-變形曲線與幾何剛度效應

下圖為壓力荷載作用下的荷載-沉降量關系圖。由圖可以得出一個規律，即壓力荷載作用下地基沉降量s隨著荷載p變化而變化。圖內SS表示小變形法的結果，FS表示為大變形法的結果。若地基土體變形小，SS與FS間差異較模糊，且μ值對大變形分析結果的影響程度也不明顯，但不同μ值隨著變形程度的加深而對大變形分析結果的影響不斷上升。若將幾何剛度矩陣μ=0忽略，則計算出的沉降量將比對幾何剛度矩陣μ=1正確考慮的計算結果更小。針對某些學者提出將自修正迭代算法應用于大變形固結方程組內進行求解，及路基沉降量在1m—2m范圍內時，幾何剛度矩陣受到的影響較小的論斷，下圖均一一對其進行了科學驗證。下圖計算結果顯示：幾何剛度矩陣應考慮全面，且幾何剛度矩陣的影響程度會隨著變形程度的加深而擴大；若將幾何剛度矩陣忽略，則地基大變形系統剛度會隨之增加，其造成的影響為實際計算結果與剛硬更加接近。

（二）大變形計算本構關系與幾何剛度效應

下圖為小變形法與大變形法計算本構關系圖：

備注：小變形法應變度量為工程應變、應力為Cauchy應力；大變形法應變度量為Green應變E11、應力為Kirchhoff應力S11。

由上圖可知，簡單的線性次彈性本構模型所對應的大變形應變與全量應變間的關系亦為非線性。通過對以上問題進行深入研究可得，本構關系曲線形態受到μ值的影響程度較小，且μ值僅對p-s曲線最終走向及應變值和應力最終大小造成影響，原因是變形量因條件不同而有所差異。

下表顯示了以有限元分析結果為依據所得的小變形法原點各線壓縮模量理論值及計算值。

由上表可得，壓縮模量相對誤差絕對值均<0.02%，則本案中筆者選用的數值計算方法及計算結果均存在可靠性。

（三）不同率型本構關系與幾何剛度效應

前文中筆者提及的大變形率型本構關系均屬于Jaumann應力率，從某種程度上講，其在實際應用中存在一定局限性。隨著技術的發展，Truesdell應力率應運而生，研究結果表明，后者的客觀性略強于強者。研究結果表明，若將領域變形忽略，Jaumann應力率可轉化為Truesdell應力率。在本案，筆者將基于前人就 Jaumann 應力率與Truesdell應力率本構關系的研究基礎上，探析Jaumann應力率及Truesdell應力率與幾何剛度效應間的關系。

下圖分別為Truesdell率型本構關系于不同μ值條件下的計算本構關系曲線圖及大變形荷載-沉降變形曲線圖。

（a）（b）

由圖（b）可得，忽略幾何剛度效應（μ=0）所引起的沉降計算結果將隨著變形程度的加深而持續增加，且其所引起的變形結果剛硬度更強；若幾何剛度效應于μ=-1條件下，其引起的計算偏差將略顯著于其他條件下的計算偏差，此時的沉降值也最小。上述結論均在Jaumann率型幾何剛度效應分析結果中得到了印證。

因幾何剛度效應對大變形條件下系統結構剛度的影響程度較為明顯，則在μ值不同、荷載水平相同的條件下，結構剛度沉降變形計算值將存在一定差異。

三、總結

就荷載-沉降曲線關系而言，若將幾何剛度效應忽略或為妥善處理好幾何剛度效應，其所引起的地基沉降計算結果將會略小于準確值，且計算結果剛硬度更強，其為實際工程中重要的不安全因素，則應得到更多的重視。Truesdell率型大變形理論所預測的最終沉降量符合Gibson理論完整解析解。Jaumann率型大變形法地基沉降預測結果比小變形法預測結果略大。需要注意的是，若沒有妥善處理好幾何剛度效應，大變形分析結構性質將因此受到很大的影響。

參考文獻：

[1] 丁洲祥.地基沉降大變形計算方法的關鍵問題研究[J].巖土力學，2009，30（7）：1920-1926.

[2] 丁洲祥，朱合華，丁文其等.地基沉降大變形有限元分析的幾何剛度效應[J].巖土力學，2009，30（5）：1275-1280.

[3] 黎莉，趙明華，劉曉明等.高填石路堤施工階段地基沉降分析方法初探[J].公路，2002，（1）：64-66.

[4] 吳健.飽和軟土復雜非線性大變形固結特性及應用研究[D].浙江大學建筑工程學院，2008.

[5] 劉祚秋，周翠英.軟粘土地基非線性一維大變形固結的有限差分法分析[J].中山大學學報（自然科學版），2005，44（3）：25-28，41.