基于線性矩陣不等式的動態(tài)控制分配方法研究

臧希恒 唐 碩,2

1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072 2. 航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

控制分配在飛行控制系統(tǒng)[1-3]、艦船控制系統(tǒng)[4-5]及其他冗余控制系統(tǒng)中扮演著重要的角色。控制分配模塊給執(zhí)行機(jī)構(gòu)(如飛行器的副翼、升降舵、襟翼、方向舵和推力矢量，及艦船推進(jìn)器、舵、螺旋槳等)發(fā)送控制指令來產(chǎn)生由上級控制系統(tǒng)所輸出的需用控制輸入指令(如力、力矩、加速度等)。如何將這些虛擬的或者說是廣義的控制指令轉(zhuǎn)換為實(shí)際的執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制指令稱為控制分配問題。圖1闡明了上述控制問題的基本結(jié)構(gòu)。

圖1 控制分配問題結(jié)構(gòu)圖

基于Durham[1-3]在控制分配領(lǐng)域的研究工作，一些控制分配方法在上個世紀(jì)末得到了廣泛的研究[6-11]，現(xiàn)有的控制分配技術(shù)大多為線性控制分配，即假設(shè)虛擬控制輸入與執(zhí)行機(jī)構(gòu)的效率為線性函數(shù)，現(xiàn)有線性控制分配方法總體可分為2大類:非優(yōu)化控制分配方法和基于數(shù)值優(yōu)化的控制分配方法。非優(yōu)化控制分配方法主要有直接法、偽逆法、串式鏈法等，而基于數(shù)值優(yōu)化的控制分配方法的典型代表是有約束線性規(guī)劃，混合整數(shù)規(guī)劃，二次規(guī)劃等。現(xiàn)有的控制分配技術(shù)的綜述性研究見文獻(xiàn)[12-14]，Page 和Steinberg[13-14]對于大多數(shù)常見的線性控制分配算法進(jìn)行了大量的開閉環(huán)仿真實(shí)驗(yàn)，并總結(jié)各種控制分配算法的優(yōu)缺點(diǎn)。另一方面，Bodson[12]比較了基于數(shù)值優(yōu)化方法的有約束控制分配方法，并給出了其在實(shí)時飛行控制系統(tǒng)中可行性的建議。

一般而言，控制分配的目標(biāo)是通過產(chǎn)生合理的執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令來獲得所需的機(jī)體控制輸入，同時又必須滿足各種嚴(yán)格的約束。迄今為止,大多數(shù)的控制分配算法都傾向于忽略執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性的影響，或者分開處理執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性[6-14]。為了便于問題的處理，通常假設(shè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沒有動態(tài)性，或者是相對于飛行器來說足夠快以至于可以忽略其動態(tài)性。然而執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性的出現(xiàn)將降低整個控制系統(tǒng)的有效帶寬，甚至可以加重未建模非線性的負(fù)面影響。Oppenheimer 和Doman[15-16]已經(jīng)表明了執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性對控制分配有著重要的影響并且提出了一種補(bǔ)償執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性的方法。然而，這種方法只能適用于一階和二階執(zhí)行機(jī)構(gòu)。H?rkeg?xd[17]通過增加對執(zhí)行機(jī)構(gòu)速率的懲罰擴(kuò)展了一般的二次規(guī)劃控制分配算法，使算法具有頻率依賴的特性，實(shí)現(xiàn)了對執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬的考慮，這種控制分配方法被他命名為“動態(tài)”控制分配，然而這種方法嚴(yán)格意義上并沒有將全部的執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性信息考慮到算法中來，只能算得上是一種偽動態(tài)控制分配算法，但是其研究成果卻促進(jìn)了廣大學(xué)者對動態(tài)控制分配算法的研究。文獻(xiàn)[18-20]提出的模型預(yù)測動態(tài)控制分配方法利用執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型來預(yù)測所需的執(zhí)行機(jī)構(gòu)狀態(tài)和控制輸入軌跡，并且以最優(yōu)軌跡的跟蹤問題來決定控制分配的解。但是這種方法需要一個預(yù)測模塊來預(yù)測控制輸入指令、執(zhí)行機(jī)構(gòu)狀態(tài)和輸出軌跡，因此需要對控制指令提前預(yù)測。通常想要得到控制輸入的預(yù)測是不現(xiàn)實(shí)的，這就限制了軌跡跟蹤問題的求解。

本文將針對線性控制分配技術(shù)展開研究，提出一種系統(tǒng)地處理動態(tài)控制分配問題的新方法，采用基于數(shù)值優(yōu)化的方法來解決控制分配問題，將基于有約束二次規(guī)劃的靜態(tài)控制分配加入全部的執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性信息，并將問題轉(zhuǎn)化為基于線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)的目標(biāo)函數(shù)最小化問題，最后給定一組變頻率三通道控制輸入指令，對文中的動態(tài)控制分配方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并將其與經(jīng)典的基于線性規(guī)劃(LP)的靜態(tài)控制分配方法進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明本文提出的動態(tài)控制分配算法顯著提高了控制輸入跟蹤的魯棒性、精確性與有效性。

1 控制分配問題描述

控制分配在冗余系統(tǒng)中扮演著重要的角色，特別是在執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在飽和限制、效率差異性以及動態(tài)性時，其作用更是舉足輕重。同時，當(dāng)控制分配與控制器分開設(shè)計時，可以實(shí)現(xiàn)執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障下的重構(gòu)控制，而不用重新設(shè)計系統(tǒng)的控制器。圖2為一般采用控制分配的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，同時也是靜態(tài)控制分配的結(jié)構(gòu)圖。r(t)為參考輸入指令即為飛行控制系統(tǒng)中的制導(dǎo)指令，所需控制力矩udes由控制器給出，用來跟蹤r(t)，而udes由執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令偏轉(zhuǎn)δcmd產(chǎn)生，uact為由執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)際偏轉(zhuǎn)δact產(chǎn)生的實(shí)際控制力矩，直接作用于機(jī)體。本文假設(shè)控制力矩與執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏轉(zhuǎn)之間呈線性關(guān)系，即所謂線性控制分配問題，其形式如式(1)所述

udes=Beffδcmd

(1)

給定所需的控制力矩udes，控制效率矩陣Beff求解執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令偏轉(zhuǎn)δcmd即為控制分配問題，同時執(zhí)行機(jī)構(gòu)還需滿足下列位置和速率約束：

執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置約束

δmin≤δact≤δmax

(2)

執(zhí)行機(jī)構(gòu)速率約束

(3)

現(xiàn)代飛行器一般采用數(shù)字控制系統(tǒng)，飛行控制律為采樣周期T的離散時間系統(tǒng)，可以將上述位置和速率約束合并為下面的組合時變位置約束

(4)

其中

(5)

方程(1),(4)和(5)即構(gòu)成了控制分配問題的數(shù)學(xué)模型，從上述方程可見模型中并沒有包含執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動態(tài)性信息，即忽略了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動態(tài)性，因此上述控制分配問題即為經(jīng)典的靜態(tài)控制分配問題。當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶寬無限大即執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性為1時，δact=δcmd，相應(yīng)的uact=udes，系統(tǒng)可以完成對參考輸入的準(zhǔn)確跟蹤；相反地，當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在有限帶寬時，執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏轉(zhuǎn)指令必然受到執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性的削弱，即δact≠δcmd，這就導(dǎo)致uact≠udes。只有uact=udes時系統(tǒng)才能完成對參考輸入的準(zhǔn)確跟蹤，因此忽略執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性會降低系統(tǒng)對參考輸入跟蹤的準(zhǔn)確性，甚至無法完成對參考輸入指令的跟蹤。

2 基于LMI的動態(tài)控制分配

2.1 執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性

假設(shè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)系統(tǒng)有m個具有線性動態(tài)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，第j個執(zhí)行機(jī)構(gòu)的階數(shù)為nj，j=1,2,…,m。

假設(shè)1：執(zhí)行機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動態(tài)性是已知、時不變并且完全解耦的，即每兩個執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間是獨(dú)立互不影響的，則整個執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為

δact=Cactxact

(6)

其中，狀態(tài)為xact∈RN，輸入為δcmd∈Rm，輸出為δact∈Rm，狀態(tài)矩陣為Aact∈RN×N，輸入矩陣為Bact∈RN×m，輸出矩陣為Cact∈Rm×N，并且

(7)

通過假設(shè)1可知，其中Aact，Bact，Cact均具有塊對角結(jié)構(gòu)，即

Aact=diag([Aact,1,Aact,2,…,Aact,m])

Bact=diag([Bact,1,Bact,2,…,Bact,m])

Cact=diag([Cact,1,Cact,2,…,Cact,m])

將方程(6)進(jìn)行離散化，可得等價的離散執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)系統(tǒng)為

xact(k+1)=Axact(k)+Bδcmd(k)

δact(k)=Cxact(k)

(8)

其中A，B和C為具有合適維數(shù)的采樣時間T對應(yīng)的離散域執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)矩陣。

假設(shè)2：(A,B)是可控的并且對于任意k≥0，(A,C)是可觀測的。

假設(shè)3：對于執(zhí)行機(jī)構(gòu)離散時間模型，矩陣CB是非奇異的，因此對于輸入δcmd(k)的響應(yīng)反映在輸出δact(k+1)上。

2.2 動態(tài)控制分配問題描述

顧名思義，動態(tài)控制分配即為考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性的控制分配算法，即當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在有限帶寬時，仍存在uact=udes，可以實(shí)現(xiàn)參考輸入指令的準(zhǔn)確跟蹤，現(xiàn)將第一節(jié)中描述的靜態(tài)控制分配問題進(jìn)行擴(kuò)展，可得下列動態(tài)控制分配的數(shù)學(xué)模型

udes=Beff(k+1)δact(k+1)

(9)

xact(k+1)=Axact(k)+Bδcmd(k)

δact(k)=Cxact(k)

(10)

其中

(11)

方程(9)和(10)的物理意義即為在滿足執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏轉(zhuǎn)約束和動態(tài)性的前提下，求解執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令偏轉(zhuǎn)δcmd(k)，值得一提的是雖然方程(9)中執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏轉(zhuǎn)為實(shí)際偏轉(zhuǎn)，但是動態(tài)控制分配問題仍然是為了求解指令舵偏δcmd(k)，上述動態(tài)控制分配原理見圖2,由圖中可見動態(tài)控制分配模塊中已經(jīng)包含了全部的執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性信息，因此不需要對指令舵偏δcmd(k)進(jìn)行二次處理便可以完成力矩指令的精確跟蹤。相應(yīng)的靜態(tài)控制分配結(jié)構(gòu)圖見圖3。

圖2 動態(tài)控制分配結(jié)構(gòu)圖

圖3 靜態(tài)控制分配結(jié)構(gòu)圖

2.3 LMI初步

F(x)=F0+x1F1+…+xmFm0

(12)

定理1 對于給定的對稱矩陣

(13)

其中F11(x)是方陣。以下3個條件是等價的：

1)F(x)0；

2)F11(x)0,且

F22(x)-F21(x)[F11(x)]-1F12(x)0；

3)F22(x)0,且

F11(x)-F12(x)[F22(x)]-1F21(x)0。

其中2)和3)表示的不等式即為x的非線性約束。利用這個定理可以將形如2)和3)的非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，這個定理非常重要，下一節(jié)通過定理1將執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動態(tài)控制分配問題轉(zhuǎn)化為基于線性矩陣不等式的目標(biāo)函數(shù)最小化問題。

2.4 動態(tài)控制分配的LMI描述

基于有限帶寬執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動態(tài)控制分配問題可以轉(zhuǎn)化為具有下述二次性能指標(biāo)的優(yōu)化問題，亦即二次規(guī)劃問題，

Beff(k+1)δact(k+1)]

(14)

其中Wδ=diag([wδ,1,wδ,2,wδ,3,…,wδ,m])為正定對稱矩陣，wδ,i指定了第i個執(zhí)行機(jī)構(gòu)相對權(quán)重。Wu=diag([wu,1,wu,2,wu,3,…,wu,p])為正定對稱矩陣，wu,j指定了第j個方向力矩誤差的相對權(quán)重，對于飛行器姿態(tài)控制，p=3分別代表滾動、俯仰、偏航三個通道力矩誤差。方程(14)中第1項(xiàng)代表了最小凈執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏轉(zhuǎn)控制，而第2項(xiàng)則代表了最小力矩誤差控制，顯而易見應(yīng)該首先保證力矩指令的準(zhǔn)確跟蹤，因此權(quán)重矩陣Wu應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)比矩陣Wδ要大，第1項(xiàng)相當(dāng)于是第2性能指標(biāo)，目的是為了確保在第2項(xiàng)的解不唯一時規(guī)劃問題仍然可以收斂到唯一解。

這里引入一個松弛變量γ>0，令目標(biāo)函數(shù)的最小值小于γ，

γ-J>0

(15)

即

Beffδact(k+1)]>0

(16)

顯而易見方程(16)為一個凸非線性矩陣不等式，依據(jù)定理1可以將其轉(zhuǎn)化為一個線性矩陣不等式，見方程(17)。

(17)

為了便于線性矩陣不等式優(yōu)化問題的求解，實(shí)際的執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏轉(zhuǎn)約束可以改寫為式(18)形式，

eiδact(k+1)-eiδ(k+1)>0,i=1,2,…,m

(18)

其中ei和ej為沿著δact,i和δact,j的單位矢量。聯(lián)立方程(8)、(17)和(18)的動態(tài)控制分配問題轉(zhuǎn)化為方程(19)所示的具有線性矩陣不等式約束的目標(biāo)函數(shù)最小化問題。

γ>0

eiδact(k+1)-eiδ(k+1)>0,i=1,2,…,m

其中

xact(k+1)=Axact(k)+Bδcmd(k)

δact(k)=Cxact(k)

(19)

方程(19)所述LMI優(yōu)化問題利用標(biāo)準(zhǔn)的算法很容易求解。根據(jù)當(dāng)前的控制輸入力矩即可求解執(zhí)行機(jī)構(gòu)偏轉(zhuǎn)指令。對于飛行控制系統(tǒng)來說，在線實(shí)時求解方程(19)有些困難，優(yōu)化問題的求解是迭代的。然而方程(19)構(gòu)成了一個凸優(yōu)化問題，可行解存在時收斂性可以得到保證。隨著計算技術(shù)的發(fā)展，方程(19)作為飛行控制系統(tǒng)在線控制分配可能成為現(xiàn)實(shí)。下一節(jié)中將結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行仿真，并通過本算法分別與帶執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性補(bǔ)償和不帶執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性補(bǔ)償?shù)幕诰€性規(guī)劃的靜態(tài)控制分配方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證基于LMI動態(tài)控制分配算法的有效性。基于線性規(guī)劃的靜態(tài)控制分配方法詳見文獻(xiàn)[12]。

3 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)將針對飛行器的氣動舵面控制分配問題展開研究，并分別采用靜態(tài)控制分配方法和本文提出的動態(tài)控制分配方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。假設(shè)飛行器具有4個氣動舵面，選取4個氣動舵面主要是為了讓氣動舵面控制存在冗余，舵面1和舵面2為具有零點(diǎn)的二階線性模型，舵面3為經(jīng)典的二階振蕩環(huán)節(jié)，舵面4為一階慣性模型。氣動舵面的動態(tài)性如下：

(20)

氣動舵面效率矩陣對于所有的k均為時不變的。

(21)

氣動效率的單位為rad/s2/(°)。每一個氣動舵面都具有位置和速率飽和約束：

(22)

選擇這樣的約束是為了使至少一個舵面的位置或速率在仿真的過程中達(dá)到飽和。這樣做的目的是為了驗(yàn)證當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)出現(xiàn)飽和時本文提出的動態(tài)控制分配算法依然有效。控制指令信號包含了滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航三通道的幅值為0.15,0.3,0.15的連續(xù)變頻信號，在10s的時間間隔里頻率范圍為0.5Hz到2Hz。

(23)

分別采用基于LP的靜態(tài)控制分配方法和基于LMI的動態(tài)控制分配方法進(jìn)行仿真，圖4和5為基于LP的靜態(tài)控制分配方法在考慮舵面動態(tài)性時的仿真結(jié)果，其中圖4為控制指令的跟蹤響應(yīng)曲線，得到了幾乎理想的跟蹤精度，圖5為其舵面實(shí)際偏轉(zhuǎn)指令，可見隨著所需控制輸入指令頻率的增大，舵面3和舵面4逐漸趨于速率飽和。圖6和圖7為基于LP的靜態(tài)控制分配方法考慮舵面動態(tài)性時的仿真結(jié)果，從圖6的控制輸入跟蹤結(jié)果可見控制分配方法完全失去其有效性，隨著控制輸入指令頻率的增大，實(shí)際舵偏產(chǎn)生的實(shí)際控制輸入無法快速響應(yīng)并跟蹤所需控制輸入指令。圖7給出了舵面指令舵偏與實(shí)際舵偏的差異，這是由于舵面存在動態(tài)性，對指令舵偏信號造成了削弱，從而直接導(dǎo)致了實(shí)際舵偏無法跟蹤振蕩多變所需控制輸入udes。圖8～10給出了基于LMI的動態(tài)控制分配方法在考慮舵面動態(tài)性的仿真結(jié)果，圖8顯示該方法得到了與圖4媲美的跟蹤精度，圖9給出了指令舵偏與實(shí)際舵偏的對比曲線，從圖中可以看出指令舵偏都較實(shí)際舵偏大得多，這主要是由于控制分配方法內(nèi)部包含了全部舵面的動態(tài)性信息，使其可以“預(yù)知”舵面動態(tài)性對指令舵偏的削弱效果，因此基于LMI的動態(tài)控制分配方法給出的指令舵偏在經(jīng)過舵面動態(tài)性環(huán)節(jié)后產(chǎn)生的實(shí)際舵面偏轉(zhuǎn)指令仍然可以實(shí)現(xiàn)對所需控制輸入指令的精確跟蹤。圖10給出了實(shí)際舵偏的放大圖，對比圖10與圖5可以看到基于LMI的動態(tài)控制分配方法在考慮舵面動態(tài)性時的實(shí)際舵偏指令與基于LP的靜態(tài)控制分配方法不考慮舵面動態(tài)性的實(shí)際舵偏有驚人的相似之處，這就進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提出的動態(tài)控制分配方法的有效性。總而言之，圖4～10顯示了傳統(tǒng)的靜態(tài)控制分配方法在忽略執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性時可能會造成跟蹤性能的下將并降低系統(tǒng)的魯棒性，同時也驗(yàn)證了基于LMI的動態(tài)控制分配方法提高了系統(tǒng)的魯棒性、精度和有效性。

圖4 控制指令跟蹤：靜態(tài)LP(不考慮舵面動態(tài)性)

圖5 實(shí)際舵面位置：靜態(tài)LP(不考慮舵面動態(tài)性)

圖6 控制指令跟蹤：靜態(tài)LP(考慮舵面動態(tài)性)

圖7 指令舵面位置和實(shí)際舵面位置：靜態(tài)LP(考慮舵面動態(tài)性)

圖8 控制指令跟蹤：動態(tài)LMI(考慮舵面動態(tài)性)

圖9 指令舵面位置和實(shí)際舵面位置：動態(tài)LMI(考慮舵面動態(tài)性)

圖10 實(shí)際舵面指令：動態(tài)LMI(考慮舵面動態(tài)性)

4 結(jié)論

在設(shè)計控制分配方法時不考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性可能會導(dǎo)致系統(tǒng)性能的急劇下降，減小系統(tǒng)的有效帶寬。文中提出了一種新的基于LMI的動態(tài)控制分配方法，消除了執(zhí)行機(jī)構(gòu)動態(tài)性對控制分配模塊潛在的不良影響，并顯著提高了控制系統(tǒng)的精度。

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