基于灰色模型的導彈水中段橫向載荷計算

王浩宇 王 軍 張 濤

1.海軍裝備部, 北京 100841 2.中國人民解放軍91868部隊, 三亞 572016 3.海軍裝備研究院, 北京 100073

潛射導彈由于其天然的隱蔽性優勢，是目前導彈發射的主要方式之一。導彈水中段(本文定義導彈從離開發射管到完全脫離水面的行程為水中段)由于受到海水液態介質的影響，其橫向載荷相對于在大氣層中的空氣介質的影響更大。另外，由于受到發射深度、發射平臺的運動狀態、洋流、洋面風力、波浪等因素的存在，使得導彈在水中段受到隨機干擾，其橫向載荷難以進行精確的數學解析建模，無法獲得準確數據。橫向載荷過大將直接導致導彈折斷的嚴重后果。這對彈體結構強度的設計提出了嚴峻的挑戰，而設計需要數據的支持。

針對水中段橫向載荷對彈體結構設計的要求，目前國際上一般采取模擬水下發射環境，在導彈上安裝傳感器，通過試驗獲得導彈水中段的橫向受力情況。此種方式存在如下缺點：一方面，模擬的水下發射環境難以對所有發射海況進行模擬；另一方面，受到經費、時間、試驗條件等的制約，其試驗次數也是有限的。因此，獲得的試驗數據必然是有限的，不全面的。通過這些有限的數據進行導彈結構強度的設計顯然存在一定的風險。還有一種方式就是針對水中段彈體的受力進行力學建模，通過受力分析來設計彈體結構強度。這種方式的突出問題是水中段的隨機干擾造成橫向載荷難以進行精確的數學解析建模，因而無法獲得設計所需的精確數據。

灰色系統理論的研究對象是“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統，通過對部分已知信息的探索，實現對事物的確切認識[1]。顯然，導彈水中段橫向載荷的計算具有灰色系統的顯著特點，適合采用灰色系統理論思想進行建模和計算。

1 灰色系統相關理論

采用灰色系統理論進行建模分析一般經歷思想開發、因素分析、量化、動態化及優化5個步驟[2]。這其中，第4步動態化最為關鍵。主要是利用各環節的輸入和輸出數據建立數據序列，建立動態GM(Grey Model)模型，即動態模型。下面就本算法所涉及的灰色系統理論的相關概念和理論進行闡述。

1.1 序列算子

設X為系統行為數據系列

X=(x(1),x(2),…,x(n))

(1)

D為作用于X的算子，X經過算子D作用后所得序列記為

XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)

(2)

稱D為序列算子，XD為一階算子作用序列。序列算子可以多次作用，相應的稱為二階、三階等序列算子。若

(3)

則稱D為X的一次累加算子。相應的m階算子Dm稱為X的m次累加算子，記為“r-AGO”(Accumulating Generation Operator)。

若如下關系式成立

Z(k)=0.5x(k)+0.5x(k+1),k=1，2,…,n

(4)

則Z是X的緊鄰均值生成序列。

1.2 序列光滑性檢驗

序列X的光滑比ρ(k)定義如下

(5)

若序列X滿足

(6)

則稱X為準光滑序列。

1.3 序列的準指數規律檢驗

如公式(1)所示序列X，稱

(7)

為序列X的級比。若σ<0.5，則稱X具有準指數規律。

1.4 GM(1，1)模型

令：

(8)

稱

x(0)(k)+ax(1)(k)=b

(9)

為GM(1，1)模型的原始形式，第1個“1”表示“一階方程”，第二個“1”表示“1個變量”。

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(10)

為GM(1，1)模型的基本形式。令

(11)

(12)

參數-a表示發展系數，b為灰色作用量。

方程

(13)

為公式GM(1，1)模型公式(10)的白化方程。

運用GM(1，1)模型時，需要考慮以下條件的限制[3]：

1)|a|≥2時，GM(1，1)模型無意義；

2 仿真建模及檢驗

仿真建模的目的是在有限試驗數據的基礎上，建立導彈水中段橫向載荷的預測模型，以此對不同發射環境下的橫向載荷進行預測，從而為彈體結構強度設計及彈道計算提供支撐。

2.1 仿真建模及檢驗思路

試驗時一般獲得不同發射條件下的數據，首先根據發射條件的惡劣程度，比如海浪的大小，進行數據分類，按照升序或者降序排列；然后針對試驗數據建立恰當的灰色模型；模型有效性檢驗；最后針對檢驗結果決定是否對模型參數進行修正，直到得到滿意的模型為止。具體思路如圖1所示。

圖1 仿真建模及檢驗思路

2.2 仿真建模

依據上述建模思路，針對某型導彈水中段的最大橫向載荷試驗數據進行整理后排序如下：2.874，3.278，3.337，3.390，3.679，3.7576，選取前5個(最后1個用于數據預測檢驗)整理成如下序列

X0=(x0(1),x0(2),…,x0(5))

=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

(14)

Step1：對X0進行一次累加算子1-AGO

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(5))

=(2.874,6.152,9.489,12.879,16.558)

(15)

Step2：對X0進行光滑性檢驗

由公式(6)得

(16)

滿足光滑性條件。

Step3：對X1準指數規律檢驗：

由公式(7)得，

(17)

滿足準指數規律，可對X1進行GM(1,1)建模。

Step4：生成X1的緊鄰均值生成序列：

由公式(4)得，

Z(1)=(4.513,7.820,11.184,14.718)

(18)

由公式(11)得，

(19)

Step5：確定參數及模型

由公式(12)得，

(20)

因此，由公式(13)得GM(1，1)模型的白化方程為：

(21)

由x(1)(0)=x(0)(0)，則此微分方程解(時間響應式[4])可寫為：

=85.276151e0.0372k-1-82.402151

(22)

2.3 模型檢驗

檢驗思路如下：針對公式(21)及(22)建立的GM(1，1)模型，計算出原始序列的還原值，然后比較此還原值和原始序列，進而檢驗模型的可信度。

由公式(22)得，

=(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)

(23)

由一次累加算子1-AGO的定義有，

(24)

因此，

=(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)

(25)

綜合上述數據，整理可得如下計算結果，如表1所示，誤差計算公式如下：

(26)

表1 模型檢驗結果

可見，GM(1，1)模型的計算公式(22)在所利用的數據范圍內(原始數據的前5個，即公式(14)所示序列)具有較好的模擬精度。下面針對模型的數據預測精度進行檢驗。以原始數據的最后1個：3.7576，進行檢驗。

由公式(22)及(24)得，

(27)

殘差為3.7576-3.7482=0.094；相對誤差為：0.094÷3.7576=2.50%。顯然，所建立的模型對于未經采用數據的模擬同樣具有較高的精度。

3 結束語

由于受到發射深度、發射平臺的運動狀態、洋流、洋面風力、波浪等因素的影響，使得導彈在水中段受到隨機干擾，其橫向載荷難以進行精確的數學解析建模，從而無法獲得精確數據。而試驗又受費用、環境等因素制約，不可能獲取全部發射條件下的數據。本文針對“小樣本”、“貧信息”的特點，采用灰色系統理論思想對導彈水中段的橫向載荷進行建模和計算。通過分析已知數據的特點，建立了GM(1,1)結構形式的計算模型。數據檢驗表明:所建立的計算模型不但能夠有效的模擬建模使用過的原始數據，而且對于未使用過的數據的模擬同樣具有很好的精度。

[1] 鄧聚龍.灰色系統理論教程[M].武漢：華中理工大學出版社，1990.

[2] 劉思峰，黨耀國鄧.灰色系統理論及其應用[M].北京：科學出版社，2004.

[3] Lin Changrong & Deng Julong.On Grey Prediction of Gas Pool[M].武漢：華中理工大學出版社，1996.

[4] 王學萌，張繼忠，王榮.灰色系統分析及實用計算程序[M].武漢：華中科技大學出版社，2001.