空射運載火箭點火姿態對運載能力影響的研究

高云逸 康永來

北京宇航系統工程研究所，北京 100076

空射運載火箭具有發射地點機動靈活，不需要地面發射場，運載能力高于地面發射等突出優勢，是小型衛星發射，特別是應急發射的優良運載工具。載機的速度和高度可提高火箭飛行的初始高度和速度，對提高運載能力有明顯作用。運載火箭在釋放時具有與載機基本相同的高度和速度，經過分離運動過程后，運載火箭點火，點火時的位置、速度和姿態對火箭的彈道和運載能力有重要影響。因此，有必要針對點火姿態對飛行彈道和運載能力的影響進行研究。

空射運載火箭的彈-機組合方式可分為外掛式、內裝式、背馱式、拖曳式4種，后2種方式目前仍有很多難以解決的問題，故現有空射運載火箭方案多應用前2種組合方式。外掛式空射運載火箭的典型例子是當前唯一在役的空射火箭—飛馬座運載火箭，外掛式空射火箭的點火姿態多接近于水平。而世界上首次實現的火箭空中發射(1975年美國從C-5A運輸機上發射民兵-1導彈)則采用了內裝式組合方式，這種方式發射的火箭點火時俯仰角較大，接近于垂直。

本文將點火俯仰角作為設計變量，在一定的程序角模式下，采用序列二次規劃法(Sequential Quadratic Programming, SQP)進行彈道優化，從而得到不同點火俯仰角下，同一火箭對同一目標軌道發射的最優彈道和運載能力，并據此分析了點火俯仰角對火箭飛行過程的影響。

1 空射運載箭-機組合方式及分離特點

1.1 外掛式

運載火箭發射前由載機外部固定裝置掛載的箭機組合方式稱為外掛式。外掛式空射運載火箭點火時姿態接近水平，這種初始姿態要求火箭在一級飛行段作大攻角的爬升飛行。

1.2 內裝式

運載火箭在發射前裝載在載機艙內的箭機組合方式稱為內裝式。內裝式空射運載火箭與載機分離后，姿態變化較大。點火時間的選擇不同，火箭的俯仰角和速度傾角變化很大。不同的點火狀態對火箭運載能力有一定的影響。

2 彈道模型

考慮一枚三級固體運載火箭，三級固體發動機連續工作。火箭飛行的俯仰程序角如圖1所示。點火后，先經過一段定軸飛行，之后開始攻角轉彎；根據點火俯仰角的大小，可能是正攻角的爬升，也可能是負攻角的下壓；到達一定的速度傾角后，攻角變為0，開始重力轉彎，一二級分離；二級工作后段開始下壓，滿足入軌速度傾角約束；三級為定軸飛行段。

圖1 俯仰程序角示意圖

彈道計算中，地球模型采用不旋轉的均質圓球形大地，火箭采用三自由度質點模型，火箭在重力G、推力P、氣動力A作用下飛行：

在計算中，假設載機在不同傾角的爬升飛行狀態下釋放火箭，火箭點火時攻角均為0°，點火俯仰角等于速度傾角。

火箭三級均采用耗盡關機，入軌速度依靠入軌質量進行調節，入軌質量越大，火箭的運載能力也越大。

在彈道計算完成后，本文采用速度損失的方法分析點火俯仰角對火箭飛行性能的影響。

式中，ΔVg為重力損失，彈道越高陡，重力損失越大；ΔVd為阻力損失，ΔVp為噴口壓力損失，彈道越低平，阻力損失和噴口壓力損失越大；ΔVα為攻角損失，推力方向偏離速度方向越大，攻角損失越大；g為當地重力加速度；Θ為當地速度傾角；CdqSM為氣動阻力；Sep為當地噴口大氣壓力；P為發動機真空推力；α為攻角。

3 彈道優化

在每個固定的點火俯仰角下，對飛行程序進行優化，得到最大入軌質量和最優彈道，供分析比較。在此基礎上，再將點火俯仰角作為優化變量之一，得到最優點火俯仰角。

3.1 優化模型

優化的目標為入軌質量最大，因此選擇目標函數為

minJ(u)=-mt

式中，mt為三級關機時的質量。

優化變量是程序角的關鍵參數：

u=[tturn,αm,tαEnd,tgEnd,tdStart,tdEnd,Kd,φ0]T

式中，tturn為程序轉彎開始時間，αm為最大轉彎攻角，tαEnd為攻角轉彎結束時間，tgEnd為重力轉彎結束時間，tdStart為下壓開始時間，tdEnd為下壓結束時間，Kd為下壓斜率，φ0為點火俯仰角。

約束條件主要包括終端約束和優化變量范圍約束，終端約束即入軌點高度、速度和傾角，每個優化變量根據工程實際也有一定的取值范圍。

3.2 優化方法

SQP算法的基本思想是在當前點處通過求解一個二次規劃子問題得到更好的迭代點，通過在一系列的點上進行這樣的二次規劃求解，逐步逼近最優點。對于一個含等式約束和不等式約束的非線性規劃問題：

在迭代點xk處，對應的二次規劃子問題可表示為

式中 ，d為搜索方向；▽f(xk),▽g(xk),▽h(xk)為函數在xk處的梯度，Bk矩陣為Lagrange函數的Hessian矩陣的良好近似[1]。

4 仿真算例及結果分析

本文主要針對如下4個問題進行仿真分析：不同點火傾角下最優彈道的特征；不同點火傾角下速度損失分析；點火傾角的優化；攻角誤差的影響。

算例中，目標軌道為低地球軌道，入軌點高度199km，速度7793m/s。由于入軌點很低，采用三級連續工作方案。空中發射，初始速度200m/s，高度10000m。

4.1 點火傾角對彈道的影響

分別對0°到90°范圍內的10個狀態進行彈道優化，結果表明，不同的初始彈道傾角的影響主要體現在攻角轉彎段：水平點火時，需要長時間大正攻角的爬升；垂直點火時，需要大負攻角的下壓，這都會導致較大的攻角損失和阻力損失，故存在一個最優的點火俯仰角，使入軌質量最大。

圖2顯示了不同初始姿態下攻角的變化歷程，由上向下，點火俯仰角從0°變化到90°。

圖2 攻角隨點火俯仰角的變化

優化中，最大攻角的絕對值限制為20°[2]，當點火俯仰角在30°以下或80°以上時，最大攻角均達到20°。在60°與70°的點火俯仰角之間，可能存在不需要攻角轉彎的“純重力轉彎彈道” 。

圖3顯示了不同初始姿態下速度傾角的變化歷程。由下向上，點火俯仰角從0°變化到90°。

圖3 速度傾角隨點火俯仰角的變化

雖然初始速度傾角不同，但經過一段攻角轉彎之后，速度傾角趨于一致。

由于轉彎攻角和轉彎時間的差異，火箭的運載能力也隨之發生變化，與水平點火狀態相比，入軌質量的增加量記為Δm。圖4顯示了Δm與點火俯仰角的關系。點火俯仰角為60°時，入軌質量最大，比水平起飛時大69.89kg。點火俯仰角為50°時的入軌質量略小于60°。點火俯仰角偏離50°～60°的范圍越遠，入軌質量越小。

圖4 入軌質量隨點火俯仰角的變化

初始姿態和速度的變化，不只對運載能力有影響，水平點火時的低高度大攻角爬升，還明顯地增大了最大qα值，使火箭載荷增大，結構質量增加。圖5為各條彈道最大qα值的變化，點火俯仰角60°時qα值最小，僅為水平點火時的1/50。點火俯仰角大于60°時，最大qα值隨俯仰角的增大而增大。

圖5 最大qα隨點火俯仰角的變化

4.2 點火傾角對速度損失的影響

速度損失可以直觀地反映各因素對火箭運載能力的影響，是評價彈道性能的實用方法。針對不同點火俯仰角下的最優彈道，計算出的各項速度損失如圖6所示。

圖6 不同點火俯仰角下的分項速度損失

每個柱體從下至上的4種色塊分別代表重力損失、阻力損失、噴口壓力損失和攻角損失。柱體的總高度代表總速度損失。由于末端速度相同，總速度損失越小，理想速度就越小，表明運載能力越大。

重力損失在總速度損失中占據最主要地位，點火俯仰角越大，重力損失越大，這與地面發射運載火箭彈道越高，重力損失越大的規律相同。由于在高空發射，各狀態的重力損失均比地面發射小。

阻力損失在地面發射彈道中通常是第2個大的速度損失因素。而空中發射提高了發射點，同等條件下，阻力損失將減小。點火俯仰角較大的彈道確實體現了這一現象。但對于水平發射和接近水平發射的彈道，由于有長時間的大攻角爬升，引起了比地面發射更大的速度損失。

噴口壓力損失在各因素中占比最小，點火俯仰角越大，噴口壓力損失越小。

攻角損失來自于攻角轉彎、下壓等飛行動作，接近于純重力轉彎的點火俯仰角為60°，70°的彈道攻角損失最小。水平發射時，攻角損失較大。

4.3 最優點火俯角

將點火俯仰角作為優化變量加入優化計算，可以得到最優點火俯仰角為55.7°，對應的運載能力比50°和60°時提高約0.7kg。可見在最優點火俯仰角附近，入軌質量曲線較平。這個特性允許放大對姿態控制的誤差要求，對姿控設計有利。

最優點火俯仰角接近于“純重力轉彎”的角度，這反映出運載能力主要受轉彎引起的速度損失影響。最優點火俯仰角低于純重力轉彎的角度，從圖6中分析，主要原因是純重力轉彎時，彈道比較高陡，重力損失較大。

4.4 有攻角誤差時的分析

上面的分析是在點火攻角為0°的假設下進行的。而實際飛行中，由于點火前自由飛行段誤差的作用，可能無法保證以零攻角的狀態點火。

采用固定點火速度傾角的方法研究有攻角時點火的情況。在一定的點火速度傾角下，進行彈道優化，即可得到有攻角時最優點火俯仰角和最大入軌質量，結果如表1所示。

表1 有攻角時的優化結果

可見在有攻角的情況下，最優點火俯仰角仍在50°～55°間，相對無攻角時，入軌質量的變化也不大，僅為1kg左右。初始攻角對最優點火俯仰角和運載能力影響較小。

5 結論

本文在點火俯仰角可變，攻角為0°的狀態下對點火俯仰角對彈道參數的影響進行了研究。以入軌質量最大為目標，以程序角控制參數為優化變量，采用SQP方法對每個狀態進行了彈道優化，優化結果表明點火俯仰角對運載能力有一定影響，傾斜點火的方案既能避免大攻角飛行造成的載荷問題，又能提高運載能力。

[1] 洪蓓,梁欣欣,辛萬青.固體運載火箭多約束彈道優化[J].導彈與航天運載技術,2012，(3):1-5.(Hong Bei, Liang Xinxin, Xin Wanqing.Multi-constraint Trajectory Optimization for Solid Launch Vehicle[J].Missiles and Space Vehicles, 2012，(3):1-5.)

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