基于非線性濾波算法的磁偶極子跟蹤

吳志東, 周穗華, 陳志毅

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基于非線性濾波算法的磁偶極子跟蹤

吳志東, 周穗華, 陳志毅

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系, 湖北 武漢, 430033)

為了實現(xiàn)具有高度非線性特點的磁偶極子跟蹤, 將磁偶極子的位置、速度和磁矩等參數(shù)的估計歸結(jié)為動態(tài)系統(tǒng)的貝葉斯估計問題, 提出了使用遞歸方法估計其狀態(tài)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上應(yīng)用高斯混合采樣粒子濾波(GMSPPF)算法實現(xiàn)了磁偶極子跟蹤, 并通過實測試驗檢驗了算法的性能。結(jié)果表明, 與粒子濾波(PF)和Sigma點粒子濾波(SPPF)算法相比, GMSPPF算法具有更好的性能和較低的計算量。

磁偶極子跟蹤; 貝葉斯估計; 高斯混合采樣粒子濾波算法

0 引言

磁性艦船目標(biāo)跟蹤具有隱蔽性好、磁場信號穿透性強(qiáng)等優(yōu)點, 在自動觀測系統(tǒng)中有重要價值。對磁性艦船目標(biāo)進(jìn)行遠(yuǎn)距離跟蹤時, 經(jīng)常使用磁偶極子模型來描述艦船的磁場特征[1-2]。

磁偶極子跟蹤屬于被動無源跟蹤問題[3-6], 具有高度非線性的特點, 無法通過解析方法得到其最優(yōu)解。文獻(xiàn)[3]~[6]均采用了非線性濾波方法解決磁偶極子跟蹤問題。其中, 文獻(xiàn)[3]和[4]使用擴(kuò)展卡爾曼濾波(extend Kalman filter, EKF)方法和2個三分量磁傳感器實現(xiàn)了磁偶極子跟蹤, 但EKF方法需要求解觀測函數(shù)的雅克比矩陣計算量較大, 且只有1階近似精度對高階非線性問題的優(yōu)化效果不理想[7-8]。文獻(xiàn)[5]使用不敏卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)方法解決磁偶極子跟蹤問題, 但跟蹤的精度不高, 相對于EKF方法, 性能提升有限。相比文獻(xiàn)[5], 文獻(xiàn)[6]使用不敏粒子濾波(unscented particle filter, UPF)方法實現(xiàn)了曲線運動情況下的磁偶極子跟蹤, 跟蹤精度較高。該算法提高了標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波(particle filter, PF)算法的性能并可用于解決非線性、非高斯問題, 但計算量較大。Rudolph M在文獻(xiàn)[9]中提出1種高斯混合采樣粒子濾波(Gaussian-mix- ture sigma-point particle filter, GMSPPF)算法, 該算法提高了Sigma點粒子濾波(sigma-point particle filter, SPPF)算法的性能并大大降低了計算量, 可以用于解決磁偶極子跟蹤問題。

論文討論了如何通過測量磁偶極子的磁場特征來反演出偶極子的位置、速度和磁矩等參數(shù)的問題; 提出了使用高斯混合采樣粒子濾波算法跟蹤磁偶極子的方法, 將跟蹤過程視為可以用狀態(tài)圖變換來描述的動態(tài)模型, 并且利用遞歸貝葉斯估計理論和目標(biāo)狀態(tài)向量服從1階馬爾科過程的假設(shè)。論文還用狀態(tài)空間方法對跟蹤問題的離散時間事件進(jìn)行了建模, 以達(dá)到使用測量值估計出隱藏的狀態(tài)參數(shù)的目的。同時使用磁通門傳感器和磁偶極子目標(biāo)進(jìn)行實測實驗, 以檢驗算法的性能。

1 磁偶極子跟蹤的理論分析

1.1 算法原理

由于磁性偶極子觀測方程的高度非線性和自身運動方向的不確定性, 使其不能服從線性、高斯分布。對于一般的非線性、非高斯系統(tǒng), 上述濾波方法很難得到后驗概率的封閉解析式。因此, 多使用非線性濾波方法以獲取待估計問題的次優(yōu)解。現(xiàn)有的非線性濾波方法主要有EKF、高斯濾波方法、UKF和PF等[11]。但前3種方法假設(shè)后驗概率密度為高斯分布, 不適用于一些非線性、非高斯的情況。

基于序貫重要性采樣的粒子濾波方法在解決非線性、非高斯問題上已得到成功應(yīng)用。但是PF算法存在著粒子退化和貧化等缺陷, 為了解決此問題, 文獻(xiàn)[9]提出了GMSPPF用以提高PF算法的性能并降低SPPF算法的計算量。該算法利用有限高斯混合模型表征后驗概率分布情況, 可以通過基于重要性采樣加權(quán)的后驗粒子, 借助于加權(quán)的期望最大化算法替換標(biāo)準(zhǔn)重采樣步驟, 解決了粒子貧化問題。算法實現(xiàn)的主要原理如下。

1.2 磁偶極子跟蹤的狀態(tài)和觀測模型

對于磁偶極子跟蹤問題而言, 該問題的狀態(tài)變量由以下2部分組成: 描述目標(biāo)運動狀態(tài)的速度、位置參數(shù); 描述目標(biāo)磁性特征的磁矩參數(shù)。假設(shè)偶極子目標(biāo)在水平面內(nèi)勻速直線運動, 即目標(biāo)的垂直位置為常數(shù)且速度為零, 則系統(tǒng)的狀態(tài)向量是

式(3)對應(yīng)于狀態(tài)方程, 可以看出狀態(tài)方程是線性函數(shù), 式(8)對應(yīng)于觀測方程, 可以看出觀測方程是高度非線性函數(shù)。

2 實測試驗與結(jié)果分析

表1 2個傳感器的噪聲均值

試驗時, 將2個傳感器安裝在距離200 cm的同一個水平面上, 設(shè)置2個傳感器的Z軸垂直指向上, X軸平行且指向一致。則建立1個以2個傳感器中心為原點, Z軸垂直于水平面向上, X軸與傳感器X軸一致的直角坐標(biāo)系。試驗所建立的坐標(biāo)系如圖1所示。圖中, 給出了目標(biāo)運動的3條軌跡, 出于篇幅限制這里給出目標(biāo)按照軌跡2運動時的試驗結(jié)果。軌跡2的起點和終點坐標(biāo)分別是(150, 150, 23) cm, (-150, -150, 23) cm, 目標(biāo)的運動速度, 。

圖2給出了試驗的實物圖, 磁偶極子目標(biāo)被安裝在小車上并且小車按照地面所繪制的軌跡運動。另外, 2個磁通門傳感器的磁場通過電纜傳送到數(shù)據(jù)采集卡。表2給出了試驗使用的磁偶極子目標(biāo)在坐標(biāo)系中的磁矩參數(shù)。

圖2 實測試驗實物示意

表2 目標(biāo)磁偶極子的磁矩值

試驗同時使用了PF, SPPF和GMSPPF算法處理獲取的數(shù)據(jù), 以對比算法的性能。圖3是目標(biāo)按照軌跡2運動時, 2個磁通門傳感器獲取的磁場數(shù)據(jù), 圖中所示的波形是經(jīng)過濾波處理后的信號。其中, 上圖為1號傳感器第2條軌跡的測量值, 下圖為2號傳感器第2條軌跡的測量值。對數(shù)據(jù)進(jìn)行50次蒙特卡洛計算, 采用式(10)中的均方根誤差(root mean square error, RMSE)來反映估計的精度。

式中: 是實際狀態(tài)參數(shù)值; 是狀態(tài)估計參數(shù)值; 是計算數(shù)據(jù)的點數(shù)。

通過計算得到了圖4~圖11和表2所示的結(jié)果。圖4是算法估計的目標(biāo)運動軌跡和實際運動軌跡的跟蹤圖。可以看出, GMSPPF算法和SPPF算法均可準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)的運動軌跡, 但后者在軌跡的終端有些發(fā)散。圖5~圖11分別給出了系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)的跟蹤誤差圖, 誤差是由算法估計值和參數(shù)真實值做差得到的。從圖中可以看出: GMSPPF算法和SPPF算法的估計誤差均可以收斂到零值附近, 明顯優(yōu)于PF算法; SPPF算法的磁矩參數(shù)誤差大于GMSPPF算法, 并且SPPF算法的收斂速度不及GMSPPF算法; 另外, SPPF算法的執(zhí)行時間是GMSPPF算法的10倍以上, 說明后者在降低前者計算量的前提下提高了前者的性能。從誤差的數(shù)值可看出, GMSPPF算法的位置參數(shù)誤差穩(wěn)定在0.03cm左右; 速度估計誤差為0.01cm/s左右; 磁矩參數(shù)的誤差在106量級, 只有目標(biāo)實際磁矩參數(shù)的千分之一。

表3給出了GMSPPF算法估計參數(shù)的RMSE均值和方差。表中, 均值反映了算法估計的誤差大小, 而方差是算法估計誤差的波動情況。

圖4 偶極子軌跡跟蹤結(jié)果

圖5 偶極子X軸位置的跟蹤誤差曲線

圖6 偶極子Y軸位置的跟蹤誤差曲線

Fig.6 Tracking error curves of dipole-axis position

圖7 偶極子X軸速度的跟蹤誤差曲線

圖8 偶極子Y軸速度的跟蹤誤差曲線

圖9 偶極子X軸磁矩的估計誤差曲線

圖10 偶極子Y軸磁矩的估計誤差曲線

圖11 偶極子Z軸磁矩的估計誤差曲線

表3 高斯混合采樣粒子濾波算法的均方根誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差

3 結(jié)束語

論文給出了如何使用磁偶極子的磁場特征測量值來反演該磁偶極子的位置、速度和磁性參數(shù)的問題。應(yīng)用高斯混合采樣粒子濾波算法實現(xiàn)了磁偶極子目標(biāo)跟蹤。論文分析了偶極子跟蹤的理論本質(zhì)并建立了偶極子跟蹤的狀態(tài)方程模型。使用磁通門傳感器和磁偶極子目標(biāo)進(jìn)行實測試驗, 并使用了PF, SPPF, GMSPPF等算法對試驗獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。對比PF, SPPF算法的計算結(jié)果表明, GMSPPF算法提高了SPPF算法的性能并且降低了計算量; 成功實現(xiàn)了偶極子跟蹤, 其位置參數(shù)誤差小于0.03 cm、速度參數(shù)誤差小于0.01 cm/s、磁矩參數(shù)的估計誤差小于0.01%。

[1] Wahlstom N．Target Tracking Using Maxwell′s Equations [D]．Linkoping, Sweden: Linkoping University, 2010．

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[3] Wahlstrom N, Callmer J, Gustafsson F. Magnetometers for Tracking Metallic Targets[C]//Processing of 13th International Conference on Information Fusion, 2010．

[4] Wahlstom N．Target Tracking Using Maxwell′s Equations [D]．Linkoping , Sweden: Linkoping University, 2010．

[5] Birsan M．Non-linear Kalman Filters for Tracking a Magnetic Dipole[C]//Processing of InternationalConference on Maritime Electromagnetic, MARELEC, 2003.

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[8] Wynn W M．Magnetic Dipole Localization with a Gradiometer: Obtaining Unique Solutions[J]．Proceedings IEEE Symposium on Geosciences and Remote Sensing, Singapore, 1997(4): 1483-1485．

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[10] Gupta S, Gangopadhyay R, Prati G．Accurate BER Estimation of Optical DPSK Systems Using Sum of Gaussian Approximation[C]//Proceedings of the Joint International Conference on Optical Internet and Next Generation Network, South Korea, 2006: 46-48．

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Magnetic Dipole Tracking Based on Nonlinear Filtering Algorithm

WU Zhi-dong, ZHOU Sui-hua, CHEN Zhi-yi

(Department of Weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

To realize the magnetic dipole tracking with high nonlinearity characteristic, the estimation of magnetic dipole′s position, magnetic moment, and velocity is formulated as a Bayesian estimation problem for dynamic systems. A recursive approach is proposed to evaluate the state parameter of the target. Based on the proposed method, the Gaussian-mixture sigma-point particle filter(GMSPPF) is adopted to realize the magnetic dipole tracking. The performance of the proposed method is verified through experiment. The results indicate that the proposed method can achieve higher tracking performance, and GMSPPF performs better in both estimation and computational efficiency than the particle filtering and sigma-point particle filtering algorithms.

magnetic dipole tracking; Bayesian estimation; Gaussian-mixture sigma-point particle filter algorithm

TJ630.33

A

1673-1948(2013)04-0262-06

2013-03-20;

2013-04-22.

國家自然科學(xué)基金(51109215).

吳志東(1986-), 男, 在讀博士, 研究方向為磁性目標(biāo)探測與識別.

(責(zé)任編輯: 楊力軍)