高速鐵路測量中高斯平面坐標與斜軸墨卡托平面坐標的轉換

田林亞，祖力比亞·阿布都熱西提，張勇，熱比亞·依馬爾

(河海大學地球科學與工程學院，南京 210098)

近些年來，中國的高速鐵路建設得到了快速的發展。高速鐵路作為一種精密工程，對工程測量各個環節都提出了更高的要求。例如，根據《客運專線無砟軌道鐵路工程測量技術暫行規定》的技術要求，高速鐵路測量的平面坐標系應采用獨立坐標系，建立坐標系時應滿足投影的長度變形不超過10 mm/km。對于大致呈東西走向的線路來說，如果采用高斯投影方法建立獨立坐標系，就需要劃分多個投影帶進行投影才能滿足上述要求，這樣就產生了多個獨立的坐標系，產生了坐標系不統一和鄰帶坐標的換算等問題。如果采用斜軸墨卡托投影方法建立坐標系，投影時將圓柱面相切于線路中心線附近，這樣既可以保證投影的長度變形值不大于10 mm/km，且可以獲得統一的坐標系。本文主要研究高斯平面坐標向斜軸墨卡托平面坐標的轉換模型，并結合實際工程數據進行計算與分析。

1 由高斯平面坐標計算斜軸墨卡托平面坐標的模型

墨卡托投影是一種保角圓柱投影，它以圓柱作為投影面，將經緯線先投影到圓柱面上，再將圓柱面展開成平面。圓柱面與地球相切，當切線處于斜位的狀態下時便為斜軸墨卡托投影，如圖1所示。

圖1 斜軸墨卡托投影

采用斜軸墨卡托投影時，如果把地球視為橢球，計算過程將極其繁瑣與不便，在幾百千米的范圍內把地球視為半徑相同的圓球是可行的，如果線路太長，則可以采用分段處理的方法。值得注意的是，在大范圍內把地球看做圓球來處理所產生的誤差將是不容忽略的。

1.1 投影圓球體的選取

斜軸墨卡托投影中，投影圓球的定位應滿足:參考圓球體的中心位于國家空間直角坐標系的Z軸上;定向應滿足參考圓球體三維坐標系的Z軸與國家空間直角坐標系的Z軸重合，X軸和Y軸分別與國家空間直角坐標系的X軸和Y軸平行。

設線路中某個已知點在國家坐標系中的高斯平面坐標為(B，L)，由高斯投影反算公式(1)可計算該點在國家坐標系中的大地坐標(B，L)。

式中，l為經差，Bf為垂足緯度，ηf、tf分別為按 Bf值計算的相應量。

再根據式(2)，由該點的國家大地坐標(B，L，H)計算其空間直角坐標(X，Y，Z)。

現假設參考圓球體中心O'位于國家參考橢球中心O下方，如圖2所示，O'O的長度為S，那么線路上該點在以O'為原點的空間直角坐標系中的坐標為(X，Y，Z+S)。定義圓球的半徑為 R，R根據式(3)計算得到。

圖2 參考圓球體示意

根據式(3)可列出如下誤差方程式

式中，S0和 R0分別為 S和 R的初始值，R0

當線路中有2個以上已知點時，可通過最小二乘法求得dS和dR，從而計算出S和R。

1.2 計算任意一點相對于參考圓球體的大地坐標

因為地球參考圓球的定向、定位與地球參考橢球的定向、定位原理是一樣的，所以在計算任意一點位于參考圓球體上的大地坐標(φ1，λ1，H1)時，可采用式(6)計算得到。

式中，φ1為緯度，λ1為經度，H1為大地高。

1.3 計算任意一點相對于圓球體和斜軸的大地坐標

如圖3所示，假設AB為線路走向上的兩點。首先在球面上建立以A點為極點、以AP為極軸的球面坐標系，根據球面三角公式可推得式(7)，并可計算出線路上任意一點的極坐標(θ，ρ)。

圖3 斜軸投影大地坐標計算示意

其次，確定斜軸圓球。以過AB的大圓弧為中央子午線，則沿線任意一點各點在斜軸圓球上以A為極點、AB 為極軸的極坐標 θ'和 ρ'為

式中，θB為B點的 θ坐標。

最后，計算任意一點在斜軸圓球上的大地坐標。取極點A為工程獨立坐標系的原點，則極點A在斜軸圓球上的經緯度為(0，0)。根據球面三角公式可得到由極坐標計算大地坐標的計算公式:

式中，(φ2，λ2)為所求點在斜軸圓球上的經緯度。

1.4 參考圓球體的投影正算

投影正算就是根據投影條件將參考圓球面上的大地坐標(φ2，λ2)換算成投影面上的平面坐標(xm，ym)。基于斜軸圓球體的投影正算與高斯投影正算類似，等角投影的條件是

式中，r為平行圈半徑，M為卯酉圈半徑。當投影球體為圓球時，其條件式可表達為

參考高斯投影正算公式，由于 xm是經度差λ2的偶函數，ym是λ2的奇函數，可假設

其中，a0、a1、a2、a3…為只包含 φ2的函數，且 φ2、λ2應化為弧度形式，對式(12)求偏導得

將式(12)、式(13)分別代入式(10)中，由于在起點處有λ2=0，則點(0，φ2)投影后的平面坐標為(R·φ2，0)，即 xm=a0=R·φ2，因此解得各個系數為

式中，(φ2，λ2)為所求點在斜軸圓球上的經緯度，R為圓球半徑。將上述系數代入式(11)，便可求得任意一點的斜軸墨卡托平面坐標(xm，ym)。

2 實例計算與分析

如圖4所示，設某條高速鐵路線路長400 km，寬15 km，大致呈東西走向，首級平面控制網中的6個控制點采用GPS測量，并將測量成果轉換為北京54坐標系中的平面坐標，為了控制投影的長度變形值不大于10 mm/km，分成6個高斯投影帶進行投影，其高斯平面坐標及投影變形見表1。

圖4 線路及控制點略圖

表1 高斯平面坐標及投影變形

從表1數據可以看出，將線路首級平面控制網分成6個投影帶進行投影和平差計算，每個控制點到相應投影帶中央子午線的投影長度變形都小于10 mm/km，滿足了有關高速鐵路測量規范的要求，但是分成6個投影帶分別進行投影計算，就形成了6個獨立平面坐標系，產生了坐標系不統一的問題，在相鄰點的綜合使用過程中，不僅需要頻繁的換帶計算，還可能存在較大的投影變形。

如果采用斜軸墨卡托投影方法來建立平面坐標系，并且取點 ZX1為起點，取點 ZX6為終點，取點ZX1和點ZX6所在圓弧為斜軸墨卡托的投影中線，根據本文探討的坐標轉換方法和流程，采用C號.NET編寫相應的坐標轉換計算程序，將表1中的高斯平面坐標換算成斜軸墨卡托平面坐標，結果見表2。

表2 斜軸墨卡托平面坐標及投影變形

從表2的數據可以看出，斜軸墨卡托投影產生的長度變形遠小于高斯投影產生的長度變形。ZX5距離投影中線的距離為12 km，投影變形最大，但是遠小于10 mm/km。采用斜軸墨卡托投影，這6個控制點同屬一個坐標系，坐標系也得到了統一。

另外，對斜軸墨卡托投影進行有關計算表明:當線路長度為幾百千米時，為了使所有的投影變形小于10 mm/km，線路至投影中線的最大橫向距離應小于25 km;如果線路長度達到幾千千米或者最大橫向距離超過25 km，應該將線路分成幾段進行投影，且相鄰投影帶之間應有適當的重疊區域。

3 結論

對于呈東西走向的高速鐵路，在建立平面坐標系時應特別注意投影的長度變形問題。當線路較長時，為了控制長度投影變形，可以采用高斯分帶投影，但也因此產生了坐標系不統一問題，如果分帶過多，在控制點坐標的使用中也帶來了坐標換帶計算的麻煩。采用斜軸墨卡托投影，可有效地解決高斯分帶投影導致的一些問題。

本文對高斯平面坐標向斜軸墨卡托平面坐標的轉換模型進行了研究，詳細地闡述了坐標轉換的方法及其流程。對某條長約400 km的高速鐵路測量數據，先采用高斯分帶投影的方法進行控制點坐標及投影變形的計算，認為分6個帶投影可以滿足投影變形不大于10 mm/km的要求，但同時也產生了6個獨立坐標系。采用斜軸墨卡托投影和本文研究的坐標轉換方法，不僅顯著地減小了投影變形，也將6個高斯帶中的坐標轉換到1個斜軸墨卡托投影帶中，使6個控制點的坐標系統得到了統一。計算、分析和實際應用表明，本文研究的方法是正確的。

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