基于均勻圓陣的幅相誤差自校正算法

魯祖坤 高 鷹 肖 劍 石 宇

(1.空軍航空大學(xué) 長春 130022;2.總參陸航部軍事代表局 北京 100050)

1 引言

近年來，高分辨率的空間譜估計算法在雷達(dá)、聲納、移動通信等多個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，理論與實踐應(yīng)用表明，當(dāng)陣列為理想模型的情況下，空間譜估計算法的性能十分優(yōu)越，但是當(dāng)陣列存在誤差時，性能將明顯下降，甚至失效[1，2]。在實際應(yīng)用中由于生產(chǎn)工藝和施工技術(shù)等方面的影響，陣列誤差往往難以避免，而大多數(shù)陣列誤差都可歸結(jié)為幅度和相位的誤差，因此陣列幅相誤差條件下的波達(dá)方向估計算法研究具有重要的現(xiàn)實意義[3，4]。均勻圓陣與均勻線陣相比，能夠同時估計波達(dá)方向的俯仰角和方位角，具有更優(yōu)的估計性能[5]。本文利用接收數(shù)據(jù)中信號子空間與噪聲子空間正交的特點，對波達(dá)方向的角度和幅相誤差值進行初步估計，根據(jù)初始估計值，再運用迭代的方法進行精確估計，無需初始值，為空間譜估計理論的廣泛應(yīng)用提供有益參考。

2 信號模型

2.1 陣列模型

均勻圓陣共有M個各向同性的陣元分布在一個半徑為r的圓周上，在x-y-z坐標(biāo)系中，均勻圓陣的中心位于坐標(biāo)系的原點O上，信號的俯仰角和方位角分別用 φ 和 θ來表示，且 φ∈[0，π/2]，θ∈[0，2π]。在均勻圓陣中，第i個陣元和圓心之間的連線與x軸之間的夾角為2πi/M;均勻圓陣的半徑可以表示為r=λ/4sin(π/M)，那么相鄰兩個陣元之間的距離為λ/2，λ為信號的載波波長。

圖1 均勻圓陣模型

根據(jù)圖1中的均勻圓陣模型，可以得到均勻圓陣的陣元接收信號的數(shù)學(xué)模型如下:

式(1)中，X(t)表示陣列在t時刻接收的觀測數(shù)據(jù);A表示空間陣列的導(dǎo)向矢量矩陣;S(t)為信號矢量，滿足 S(t)= [s1(t)，s2(t)，…，sN(t)]T;N(t)為陣元噪聲矢量，N(t)= [n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T，ni(i=1，2，…，M)為零均值、方差為 δ2的白噪聲，且與信號源無關(guān)[6，7]。式(2)中N表示待估計的信源個數(shù);式(3)中，i=1，2，…，M。

2.2 幅相誤差模型

陣列幅相誤差對陣列流形的幅度和相位產(chǎn)生擾動，設(shè)幅度誤差對陣元i的擾動為μi，相位誤差的擾動為?i，陣元1為參考陣元，認(rèn)為無誤差存在，因此幅相誤差矢量可表示為:

幅相誤差對陣列流形的擾動，是通過標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)向矢量之前乘以幅相誤差矢量的對角陣進行建模，誤差存在時的導(dǎo)向矢量表示為:

陣列幅相誤差情況下的陣列流形矩陣可表示為:

陣列接收的快拍數(shù)據(jù)可以表示為[8～10]:

3 算法推導(dǎo)

考慮使用M個陣元的均勻圓陣(UCA)陣列天線對N個窄帶正弦非相干信號進行接收，當(dāng)陣列模型為理想情況時，接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)為K，接收數(shù)據(jù)如式(1)所示，則協(xié)方差矩陣為[11]:

在實際應(yīng)用中由于是有限次快拍，RXX不能準(zhǔn)確獲得，一般利用式(5)來近似估計:

式(6)中∑為協(xié)方差矩陣特征值所組成的對角陣，根據(jù)特征值的大小，將∑ 分解為大特征值組成的∑S和小特征值組成的∑N。US為大特征值所對應(yīng)的特征矢量所張成的信號子空間，UN則為噪聲子空間。

在理想情況下，接收數(shù)據(jù)中的信號子空間與噪聲子空間相互正交，所有信號子空間的導(dǎo)向矢量與噪聲子空間正交，可以得到:

對協(xié)方差矩陣進行特征分解可得:

在實際中由于接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長，所以用最大似然估計得到的噪聲子空間特征矢量矩陣與a(θ)并不能完全正交，故算法以最小優(yōu)化搜索實現(xiàn)[3，13]:

通過搜索式(7)的空間譜峰值，可得各個來波信號的波達(dá)方向角估計值()，這個估計值存在較大的誤差，需進一步處理。

式(8)中w=[1 0 0… 0]T，式(9)中UN表示數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RXX特征值分解的噪聲子空間，即未經(jīng)過校正的陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征分解值。對于存在幅相誤差的陣列，導(dǎo)向矢量用誤差估計值進行修正后信號子空間依然遵循與噪聲子空間的正交關(guān)系。當(dāng)待估計的波達(dá)方向角()和幅相誤差估計矢量與真實值相符時，代價函數(shù)J取得最小值。因此可以通過對最小代價函數(shù)進行搜索，使其逼近最小值，就能得到波達(dá)方向角(φ，θ)和幅相誤差估計值Г。

建立代價函數(shù):

通過迭代法求解最終的估計值:

第四步判斷式(10)代價函數(shù)J(k)是否收斂，若收斂則跳到第五步，否則k=k+1，跳到第二步，收斂條件為代價函數(shù)J(k+1)－J(k)≤T0，T0為門限值，也可以通過設(shè)置一定的迭代次數(shù)來停止迭代;

4 仿真實驗

對本文提出的算法，進行計算機仿真實驗。實驗中，假設(shè)陣列為等距均勻圓陣，陣元數(shù)L=8，陣元間距為半波長，待估計信源為遠(yuǎn)場窄帶信號，噪聲為加性高斯白噪聲，快拍數(shù)為512，幅度誤差μ為原幅度值±0.2倍范圍內(nèi)的隨機數(shù)，相位誤差?的范圍為0～1.4rad。以下仿真實驗均在同一硬件環(huán)境下運行。

實驗一:陣列幅相誤差對均勻線陣MUSIC算法的影響。

入射角度分別為(20°，20°)，(60°，70°)，(60°，80°)，信噪比SNR=15dB。圖2為無幅相誤差的空間譜估計圖，圖3為有幅相誤差的空間譜估計圖，其中(a)空間譜估計的三維圖，(b)為空間譜估計的俯瞰圖。

通過圖2和圖3的比較可知，在沒有幅相誤差的情況下，MUSIC算法能夠很好的估計出信源的波達(dá)方向，但是當(dāng)存在幅相誤差時，MUSIC算法的估計性能急劇下降，嚴(yán)重影響了波達(dá)方向的估計效果。

實驗二:幅相誤差自校正后的空間譜估計。

入射角度分別為(20°，20°)，(60°，70°)，(60°，80°)，信噪比 SNR=15dB，迭代門限值 T0=0.01，算法經(jīng)4次迭代后收斂。圖4為幅相誤差校正后的空間譜估計圖，其中(a)空間譜估計的三維圖，(b)為空間譜估計的俯瞰圖，表1為幅相誤差估計值與真實值對照表。

圖4 經(jīng)過幅相誤差校正后的空間譜估計圖

表1 幅相誤差估計值與真實值對照表

從圖4和表1可以看出，通過本文的自校正算法能夠有效的校正幅相誤差，可以得到較好的空間譜估計圖和幅相誤差估計值。

實驗三:幅相誤差校正算法的性能隨信噪比變化的影響。

入射角度為(30°，60°)，信噪比 SNR=0 ～20dB，迭代門限值T0=0.01，算法經(jīng)4次迭代后收斂，角度估計值取100次Monte Carlo實驗的平均值，分別計算校正前后俯仰角和方位角的估計值和真實值的均方根誤差，定義均方根誤差為:

圖5表示了在幅相誤差校正前后俯仰角和方位角隨信噪比的變化。

圖5 幅相誤差校正前后角度估計RMSE曲線

從圖5可以看出，通過幅相誤差校正后的角度估計誤差小于校正前的角度估計誤差。還可以看出，信噪比越大，算法的估計效果越好。

5 結(jié)束語

本文針對均勻圓陣中存在陣元幅相誤差的問題，提出了基于MUSIC算法和迭代法的幅相誤差自校正算法。先對均勻圓陣及其基礎(chǔ)上的幅相誤差建立數(shù)學(xué)模型，利用陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)特點，對波達(dá)方向角和幅相誤差進行初步估計，根據(jù)初始估計值，再運用迭代的方法對波達(dá)方向和幅相誤差值進行精確估計。仿真結(jié)果證明了本文提出算法的有效性。本文提出的算法對于解決空間譜估計的實際工程應(yīng)用，具有重要意義。

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