多元微積分中方向?qū)?shù)不同定義的分析與探討

劉雄偉

(國防科技大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙 410073)

方向?qū)?shù)在實際生活和理論、方法研究中有著十分廣泛的應(yīng)用。由于在不同的教材和參考書中出現(xiàn)有不同的定義形式和描述形式，很容易讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生困惑。因此，在實際的課堂教學(xué)過程中，應(yīng)該加強(qiáng)不同定義和描述形式的討論與分析，同時加強(qiáng)前后教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與考慮實際應(yīng)用的需求，這樣才能讓學(xué)生真正、有效地理解和掌握相關(guān)的理論與方法，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探索數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的積極性和主動性，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

1 方向?qū)?shù)的不同定義

定義1［1］設(shè)二元函數(shù)f(x，y) 在點(x0，y0)的某鄰域內(nèi)有定義，向量u 對應(yīng)的單位向量為u°= {cosα，cosβ }，其中α，β 為向量u 的方向角。定義函數(shù)f(x，y) 在點(x0，y0) 沿方向u 的方向?qū)?shù)為：

其中，ρ 可正可負(fù)。ρ＞0 時，表示自變量從(x0，y0) 沿著方向u 移動的距離，ρ＜0 表示自變量沿方向u 反向移動的距離。

定義2［2］在前提條件與定義1 相同的情況下，定義方向?qū)?shù)為：

其中，ρ 表示自變量從(x0，y0) 沿著方向u 移動的距離。

定義3［3］設(shè)二元函數(shù)f(x，y) 在點(x0，y0)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，單位向量u=(a，b) ，定義方向?qū)?shù)為：

以上定義很容易推廣得到n(n≥3) 元函數(shù)的方向?qū)?shù)定義。

2 方向?qū)?shù)不同定義的對比與分析

方向?qū)?shù)研究和討論的初衷是為了解和分析多元函數(shù)沿著某個方向的變化率，即為了度量事物按照不同變化因素的發(fā)展趨勢。一般來說，就二元函數(shù)而言，如果表示的曲面是平滑曲面，則利用三個定義都可以得到函數(shù)沿著指定方向u 的變化率。

根據(jù)三個定義式，它們的極限值反映的都只是函數(shù)沿著方向u 的變化率。雖然定義1和定義3 從數(shù)學(xué)的角度上，從定義形式上可以很容易地和偏導(dǎo)數(shù)的定義聯(lián)系起來，可以認(rèn)為是偏導(dǎo)數(shù)定義的一種推廣，偏導(dǎo)數(shù)只是函數(shù)沿著兩個特定方向的方向?qū)?shù)。但是，在現(xiàn)實問題中，比如在分析某個有斷崖或者沿著某個方向不平滑過渡的地勢時，這兩個定義會導(dǎo)致問題無法解決，而定義2 則能很好的進(jìn)行解釋。如要討論表示上錐面的二元函數(shù)：

在原點(0，0)沿著不同方向的變化率。利用定義1 和定義3，該二元函數(shù)f(x，y)沿著任何方向的方向?qū)?shù)都不存在。但是對于對應(yīng)現(xiàn)實問題來說，對于連續(xù)的曲面，結(jié)論顯然是不對的。而根據(jù)定義2，則問題可以得到很好解決。在原點位置，沿著任何方向函數(shù)的變化率都可以求出，并且都等于1。只是該定義不能和偏導(dǎo)數(shù)的定義很好的結(jié)合起來，但是與偏導(dǎo)數(shù)只是反應(yīng)了函數(shù)沿著坐標(biāo)軸正方向的變化率的結(jié)論是一致的，而且在現(xiàn)實問題中具有更大的實用價值。因此，就學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是用來解決現(xiàn)實問題的目標(biāo)之一來說，定義2更具有實用價值和符合教學(xué)與學(xué)習(xí)應(yīng)該貼近生活的認(rèn)知規(guī)律。因此，下面的討論也是基于定義2進(jìn)行的。

3 方向?qū)?shù)計算的注意事項

在不同的教材中都以定理的形式給出了多元函數(shù)方向?qū)?shù)存在的充分條件與快速計算方法。以二元函數(shù)為例，如果函數(shù)f(x，y)在(x，y)處可微，則函數(shù)在該點處沿著任意方向u 的方向?qū)?shù)存在，并且有：

其中cosα，cosβ 為向量u 的方向余弦。

值得注意的是，使用該公式計算函數(shù)的方向?qū)?shù)的前提條件是函數(shù)可微。然而，函數(shù)即使不可微，甚至兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在時，函數(shù)的方向?qū)?shù)都可能存在，這個時候方向?qū)?shù)的計算則應(yīng)該使用定義式進(jìn)行計算。如二元函數(shù)(1)，在原點(0，0)處不可微，兩個偏導(dǎo)數(shù)也不存在，但根據(jù)定義2 容易驗證該函數(shù)在原點處沿著任意方向的方向?qū)?shù)都存在，并且都為1。而函數(shù)只要沿某一方向的方向?qū)?shù)不存在，函數(shù)就不可微。當(dāng)然函數(shù)不可微，對于方向?qū)?shù)的計算有時候也可以使用(2)來進(jìn)行計算，如函數(shù)［4］：

但該函數(shù)在原點處不可微。

函數(shù)在某點處沿著任意方向的方向?qū)?shù)存在，函數(shù)在該點處不一定連續(xù)。如函數(shù)：

在原點(0，0)處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，但通過取兩條不同的路徑，如y=0 和x=y3時，可以判斷該函數(shù)當(dāng)(x，y)→(0，0)的極限不存在，所以函數(shù)在原點處不連續(xù)；而函數(shù)連續(xù)，函數(shù)沿任何方向的方向?qū)?shù)也未必存在。如函數(shù)：

在原點(0，0)處連續(xù)，但在原點處除了y=-x 線上外，沿任何方向的方向?qū)?shù)都不存在。

偏導(dǎo)數(shù)存在只能得出函數(shù)沿著坐標(biāo)軸方向(正方向的方向?qū)?shù)為對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，而負(fù)方向為對應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù))的方向?qū)?shù)存在，而不能推出其它方向的方向?qū)?shù)存在，如函數(shù)：

除了坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)存在外，沿著其他方向的方向?qū)?shù)都不存在。由該例也可以知道，即使函數(shù)在某點處兩個方向?qū)?shù)都存在，也不能使用公式(2)來計算沿著其他方向的方向?qū)?shù)。

［1］朱健民，李建平.高等數(shù)學(xué)：下冊［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊［M］.5 版.北京：高等教育出版社，2002.

［3］凱勒姆(McCallum，W.G.).多元微積分［M］.董達(dá)英，等，譯.北京：高等教育出版社，2003.

［4］孫家永.方向?qū)?shù)與可微的關(guān)系及可微之充要條件［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15(1)：6－7.