一種高精度的Rife算法

龔岳洲，周新力，孫小東，孟慶萍

(海軍航空工程學院，山東煙臺264001)

0 引言

在無線通信中，由于不可避免地受到多普勒頻移和本地載波誤差的影響，接收端的本地載波頻率會發生偏移，致使接收信號的載波和發送端的載波存在一定的誤差，如果不消除這種誤差，將會嚴重影響通信系統相干解調，使通信系統的性能退化，所以接收機必須對頻偏進行補償達到載波同步[1]。

文獻[2]給出了在高斯白噪聲中對正弦波信號頻率進行最大似然估計算法(Maximum Likelihood Estimation，MLE)，估計誤差的方差達到了克拉美羅限，因此是最優估計。由于MLE算法計算量大，難以實時進行處理。因此提出了很多基于最大似然估計的簡化算法，Kay在1989年提出了經典的Kay算法[3]，Kay算法相對于最大似然估計(MLE)算法在計算復雜度有了很大簡化，但是存在較高的信噪比門限(6 dB)，當接收端信噪比小于該門限時，性能急劇惡化，沒有達到工程應用的要求。而針對Kay算法高信噪比門限的缺點，文獻[4]提出了L＆R算法，L＆R算法也是基于最大似然算法的簡化算法，具有很低信噪比門限(－10 dB)，完全能滿足工程應用要求，但頻偏估計范圍過窄，也不適合運用于工程上。文獻[5]提出了M＆M算法，M＆M算法既具有低的信噪比門限，又能估計很大的頻偏，但是復雜度太高，同步過慢，不利于實時處理。

基于最大似然估計的算法一個共有的缺陷就是計算復雜，同步速度慢，而基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)的譜估計方法，由于在實際中可通過快速傅里葉(Fast Fourier Transform，FFT)實現，運算量小，得到廣泛應用，但由于該算法存在柵欄效應和能量泄漏，在樣本長度較小時估計誤差較大，為了提高準確性，必須需要長的樣本數量N，這就局限了DFT算法的應用。針對DFT算法估計誤差較大的缺陷，文獻[6]提出了Rife算法，先對接收信號進行FFT變換，利用最大譜線和次大譜線來確定真實的頻率位置，Rife算法相對于DFT算法性能得到了改善，且復雜度不高，易于硬件實現，但是對小頻偏不敏感，精度不高，存在短的數據長度N精度不高，長的數據長度N復雜度太高的問題，在實際工程中并不適用，針對此問題，文獻[7，8]提出了許多有效的改進方法，但是復雜度都偏高，提出了一種改進算法。本文充分利用自相關函數法在小頻偏下估計精度高、算法復雜度小的優點，通過Rife算法粗估計，自相關函數法精估計的方法提高了Rife算法的精度，具有低的信噪比門限，同時保持了其估計范圍廣、復雜度低特點，適用于突發通信。

1 信號模型

本算法采用MPSK(M－ary Phase Shift Keying)調制方式，在高斯白噪聲信道下進行傳輸，高斯白噪聲的雙邊譜密度為N0/2，采樣時滿足Nyquist準則，已經完成信道均衡，消除了碼間干擾。并假定接收端進行載波同步之前已經進行精確的定時同步，不存在定時偏差。假設接收端的載波頻率相對于發送端的載波頻率有feHz的頻率偏差，則接收端基帶信號表達式如下:

式中，ak為所要接受的信號，對于MPSK信號，可以表示為:

式中，T為符號周期;θ0為載波相位，θ0在觀測數據長度N內，是確定的未知量;fe為需要估計的載波頻偏;Nk為加性高斯白噪聲，其均值為零且方差為σ2[10]。實際上由于ak1表示ak的復數共軛)，于是可以定義xk，得到

式中，N'k=a*kNk在統計上是與Nk等價的;A為幅度噪聲;θk為相位噪聲。因此bk可以看成高斯白噪聲下的單音正弦信號。

2 Rife算法分析

當噪聲為零時bk=ej(2πkfeT+θ0)，對bk做離散傅里葉變換(DFT)得到:

式中，n=0，1…N－1。式(4)可以寫成以下形式:

式中，

對式(5)進行變換得到:

由式(6)可知，vn中包含了fe的信息。

由奎斯特采樣定理可以知道，只要有一定的采樣數率，就可以通過序列bk得到－1/2T～1/2T的全部頻率信息，對接收信號做離散傅里葉變換，并進行功率譜密度估計，可以載頻域上精確地得到頻偏的功率譜，從而精確地估計頻偏。但是DFT法準確的前提是信號頻率是頻偏的整數倍，而實際中很多情況是信號頻率不能整除頻偏的，最大譜線應該在2個采樣點的中間，這就是DFT法的柵欄效應，導致了該算法估計精度不高。

文獻[2]以此提出了Rife算法，通過利用DFT算法進行粗估計，并利用最大譜線和相鄰的此最大譜線，得到精確的頻偏估計值。為了提高頻率估計精度，定義剩余頻差Δf=fe－=δ/( )NT，剩余頻差表示信號實際頻率值與估值頻率值之間的偏差，當被估計的信號頻率不是頻偏的整數倍時，其頻譜的最大譜線和相鄰的次最大譜線的幅度比值隨δ的變化而不同，Rife算法正是通過對最大譜線和相鄰的次最大譜線進行插值來估計δ。對接收信號做N點離散傅里葉變換，得到頻譜中的最大譜線值為代表著次最大譜線在最大譜線的左邊還是右邊，r=－1時，次大譜線值在最大譜線值的左側;r=1時，次大譜線值在最大譜線值的右側。

將r=±1代入，可得如下譜線值:

則次大譜線值與最大譜線值的比值可表示為:

Rife算法是在沒有噪聲的條件下推導出來的，而在噪聲存在的情況下仍然適用，優點在于算法復雜度小，頻偏估計范圍廣，能達到1/(2T)，但是對小頻偏不敏感，精度不高，存在短的數據長度N精度不高，長的數據長度N復雜度太高的問題，在實際工程中并不適用，針對此問題，本文提出了一種改進算法。

3 改進算法分析

對去調制信號bk做自相關得到自相關函數R()k，滿足:

實際上R(k)可以寫成:

可得:

η()k表示復噪聲γ()k在相位上的噪聲。定義argR()( )k為R()k的相位，則

于是可以通過求自相關函數的輻角來估計頻偏f，得到估計值滿足:

ee

用MATLAB進行蒙托卡羅仿真，仿真條件:8psk調制，數據長度N=128，歸一化頻偏feT=0.001，信噪比Es/N0=20 dB。

從圖1中發現L取數據長度的一半性能最好，即取L=N/2，對頻偏進行估計得:

直接利用自相關函數R(k)估計頻偏，在小頻偏高信噪比下估計精度高，但是存在估計范圍窄，理論上估計范圍只有1/(NT) ，并且存在信噪比門限的問題。本文結合Rife算法和自相關函數法的優點，提出一種基于Rife算法的改進算法。首先對接收信號進行Rife算法頻偏估計，得到頻率粗估計:

然后對接收信號進行頻移，并對頻移后的信號進行自相關函數法頻偏估計，得到精估計:

圖1 頻偏方差隨L的變化曲線

4 建模仿真與分析

通過MATLAB對本算法進行蒙托卡羅仿真，主要在信噪比門限和估計范圍2個方面與經典的L＆R算法、M＆M算法、Kay算法、Rife算法和自相關函數法進行比較。本仿真實驗采用8PSK調制方式，觀測數據長度N為128，L＆R算法和本文算法窗函數長度取觀測數據長度的一半，即64，并且用歸一化頻偏估計誤差來衡量算法的估計精度并定義為:

圖2是假定頻偏值為0.005，新算法與經典算法的歸一化頻偏估計誤差隨信噪比變化的曲線圖，反映了各算法在小頻偏下不同的信噪比情況下估計精度的變化。從圖2中可以看出，L＆R算法雖然性能最好，但是其前提條件是小頻偏，一旦超過頻偏范圍性能就急劇惡化，而且L＆R算法復雜度也較高;新算法與LR算法相比，明顯存在信噪比門限，這是由于Rife算法存在信噪比門限所導致的;新算法的信噪比門限與M＆M算法相當，精度比M＆M算法稍低，但是由于新算法里德DFT變換可以用FFT代替，復雜度上要比M＆M算法小很多;新算法與Kay算法相比門限要低得多，而且在高信噪比時精度也相當;從圖2中明顯可以看出，新算法繼承了自相關函數法的對小頻偏敏感的優點，以及繼承了Rife算法低信噪比門限的優點，具有良好的性能。

圖2 小頻偏下估計方差隨信噪比的變化曲線

假定頻偏值為0.4，新算法與經典算法的歸一化頻偏估計誤差隨信噪比變化的曲線圖如圖3所示，反映了各算法在大頻偏下不同的信噪比情況下估計精度的變化。從圖3中看出，明顯LR算法與自相關函數法在大頻偏下無法進行估計，而新算法在大頻偏下信噪比門限要比M＆M算法低3～4個dB，而性能上基本接近M＆M算法;新算法要比Kay算法信噪比門限要低得多;在大于信噪比門限的條件下，新算法明顯要比Rife算法性能要好。

圖3 大頻偏下的估計方差隨信噪比變化曲線

圖4是輸入信噪比為10 dB，歸一化頻偏值feT在0～0.5變化時，新算法與經典算法估計方差隨頻偏變化的曲線圖。由圖4可以看出，L＆R算法在小頻偏時估計精度較高，性能較好，但是L＆R算法的頻偏估計范圍非常窄，這是由于L＆R算法利用到了長時延自相關函數，而長時延自相關函數存在相位折疊，使得 L＆R算法的理論估計范圍為f＜1/T(N1+1)，通過仿真實驗得到了驗證;新算法和M＆M算法捕獲范圍能接近0.5，并且在這范圍內估計精度高，性能較好;kay算法明顯要比新算法的捕獲范圍要窄;雖然Rife算法和新算法的捕獲范圍一樣，但明顯新算法估計精度要比Rife算法要好，特別是Rife算法在小頻偏下性能很差;自相關函數法雖然在小頻偏下估計性能很好，但是估計范圍太小。圖2、圖3和圖4表明，本算法一方面保持了自相關函數法良好的估計精度，同時最大限度地擴展了頻差估計范圍，能夠達到與Rife算法的估計范圍，這與理論推導相一致。

圖4 估計方差隨頻偏的變化曲線

5 結束語

Rife算法是利用FFT的一種快速頻偏估計方法，與其他載頻偏差估計算法相比，它具有較低的復雜度，能實現快速同步，特別是Rife算法的估計范圍廣，并且信噪比門限很低。但是，該算法的估計精度不高，特別是對小頻偏不敏感，限制了它的應用。充分利用自相關函數法在小頻偏下估計精度高、算法復雜度小的優點，通過Rife算法粗估計，自相關函數法精估計的方法提高了Rife算法的精度，具有低的信噪比門限，同時保持了其估計范圍廣、復雜度低特點，適用于突發通信。

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