關于Diophantine方程x2+y2n=z3的可解性

劉紅艷

(西安理工大學理學院,陜西西安 710054)

關于Diophantine方程x2+y2n=z3的可解性

劉紅艷

(西安理工大學理學院,陜西西安 710054)

運用有關三元Diophantine方程的新近結果,證明了一類Diophantine方程沒有適合特定條件的正整數解,得到了更一般的結論,推廣了相關文獻的結果.

高次Diophantine方程;三元Diophantine方程;廣義Fermat猜想

1 引言

設Z,N分別是全體整數和正整數的集合.眾所周知,自從A.Wiles成功解決了著名的Fermat猜想之后,廣義Fermat猜想已成為數論中有關Diophantine方程的重要研究課題,文獻[1-5]給出了一些研究結論,該猜想可表述為:

這是一個迄今遠未解決的難題,目前只證實了一些極特殊的情況.本文將討論猜想A在r=2,2|s且t=3時的情況,此時該猜想可表述為:

對此,文獻[6]證明了:當n是適合5＜n＜107以及n/=31的奇素數時,方程(1.2)無解.最近,在文獻[7]中S.R.Dahmen解決了3|n,n∈{5,31}以及n是適合n≡-1(mod 6)的奇素數時的情況.本文對于一般的n證明了以下結果:

定理方程(1.2)沒有滿足條件n≥4以及2|y的解(x,y,z,n).

2 若干引理

3 定理的證明

參考文獻

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On the solvability of the Diophantine equation x2+y2n=z3

Liu Hongyan

(School of Scince,Xi′an University of technology,Xi′an710054,China)

Using recent results of ternary diophantine equations,we prove that the equation has no positive integer solution with certain conditions,give a general conclusion and extend the results of related literature.

higher diophantine equation,ternary diophantine equation,generalized Fermat conjecture

O156.4

A

1008-5513(2013)06-0572-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.06.004

2013-09-07.

國家自然科學基金(11071194).

劉紅艷(1974-),碩士,副教授,研究方向：數論及其應用.

2010 MSC:11B83