緊支撐樣條小波插值及其應用

高忠社,何萬生,謝保利

(天水師范學院數學與統計學院,甘肅天水 741000)

緊支撐樣條小波插值及其應用

高忠社,何萬生,謝保利

(天水師范學院數學與統計學院,甘肅天水 741000)

基于緊支撐樣條小波函數插值與定積分的思想,給出了由緊支撐樣條小波插值函數構造數值積分公式的方法.并將該方法應用于二次、三次、四次和五次緊支撐樣條小波函數,得到了相應的數值積分公式.最后,通過數值例子驗證,發現該方法得到的數值積分公式是準確的,且具有較高精度.

緊支撐樣條小波函數;插值函數;數值積分

1 緊支撐樣條小波函數

小波函數在眾多科學領域得到了廣泛的應用,如數值分析、信號處理、圖像處理、微分方程數值解、量子力學、地質勘查、計算機視覺、機械故障診斷等,小波函數在數值分析中的應用是一個重要分支.通常大多數小波函數不能寫出具體的解析表達式,而1992年文獻[1]構造的緊支撐樣條小波函數具有解析表達式,且該小波函數具有很多良好的性質,并被廣泛的應用于眾多科學領域.緊支撐樣條小波是以B-樣條函數作為尺度函數構造的.它具有很好的性質,如:有解析表達式、對稱性、單正交性和消失矩等良好的性質[1-4].文獻[4-5,7]討論了緊支撐樣條小波函數的性質,及插值函數,并證明了該插值函數具有唯一性,文獻[8-9]討論了三次緊支撐樣條小波函數的插值并得到相應的數值積分公式,文獻[10]給出了二次緊支撐樣條小波函數插值及數值積分公式.在這里將主要討論緊支撐樣條小波函數的插值問題,并討論緊支撐樣條小波函數在數值積分方面的應用問題,給出了由緊支撐樣條小波插值函數構造數值積分公式的方法,該方法為緊支撐樣條小波函數在數值分析中的應用有一定作用,而得到的數值積分公式有一定的實用價值.

緊支撐樣條小波函數ψm(x)是由m階m-1次B-樣條函數Nm(x)作為尺度函數,構造的m階m-1次緊支撐樣條小波函數ψm(x),ψm(x)函數具有解析表達式:

2 緊支撐樣條小波插值函數

3 緊支撐小波插值函數的數值積分方法

3.1 三階二次緊支撐樣條小波插值

圖1 尺度函數N3(x)的圖像.

圖2 尺度函數ψ3(x)的圖像

3.2 四階三次緊支撐樣條小波插值

圖3 尺度函數N4(x)的圖像.

圖4 尺度函數ψ4(x)的圖像

對于四階三次緊支撐樣條小波函數ψ4(x)使用上面類似的方法,構造插值函數,建立數值積分公式,即有[8]

3.3 五階四次緊支撐樣條小波插值

圖5 尺度函數N5(x)的圖像.

圖6 尺度函數ψ5(x)的圖像

3.4 六階五次緊支撐樣條小波插值

當m=6時,ψ6(x)為六階五次緊支撐樣條小波函數,以五次B-樣條N6(x)作為尺度函數構造的,其表達式為:

由于N6(x)是5次B-樣條函數,ψ6(x)是五次分段多項式,而ψ6(x)的分段區間長度是N6(x)的一半,并且supp ψ6(x)=[0,11].尺度函數N6(x)和小波函數ψ6(x)的圖像如圖7,圖8.

圖7 尺度函數N6(x)的圖像.

圖8 尺度函數ψ6(x)的圖像

同樣的方法,可以得到更高次的緊支撐樣條小波函數的積分插值公式.只不過是次數越高,求解的方程組的階數的要求會越來越高,求解工作量也會越來越大.但是,得到公式的誤差階也會越來越高.根據定理2.2可知,

4 數值實驗

計算

以N=40利用上面得到的公式進行計算,結果見表1:

文中由m階m-1次緊支撐樣條小波函數得到的數值積分公式,當函數f(x)的次數是不超過m-1的多項式時,該數值積分公式是精確的,對于一般的函數,誤差階可達到O(hm),但不足之處是,要求具有邊界導數條件,并且數值積分公式中的系數是通過求解線性代數方程組得到的,由于緊支撐樣條小波函數具有緊支集,故方程組的系數矩陣是帶狀稀疏的,使得計算變得相對容易;在誤差方面,對于文中得到的數值積分公式,與常規的復化梯形公式和復化的辛普森公式相比較,發現文中得到的數值積分公式具有較高的精度.同時,通過數值例子說明得到的數值積分公式是正確有效的,且在數值積分中有一定的實用價值.

表1 數值積分結果

[1]Chui Charles K,Wang Jianzhong.On compactly supported spline wavelets and a duality principle[J].Trans. Amer.Math.Soc.,1992,330(2):903-915.

[2]Daubechies I.Orthogonal bases of compactly supported wavelets[J].Comm.Pure Appl.Math.,1988,41(7): 909-996.

[3]Mallat S.Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of[J].Trans.Amer.Math.Soc,1989, 315:69-87.

[4]DanaˇCern′a,V′aclav Finˇek.Cubic spline wavelets with complementary boundary conditions[J].Applied Mathematics and Computation,2012,219(4):1853-1865

[5]金堅明.小波分析[M].蘭州:蘭州大學出版社,1993.

[6]孫家昶.樣條函數與計算幾何[M].北京:科學出版社,1982.

[7]金堅明,徐應祥,薛鵬翔.最小支集樣條小波有限元[J].計算數學,2006,28(1):89-112.

[8]高忠社.數值積分的緊支撐樣條小波方法[J].徐州師范大學:自然科學版,2006,23(2):22-25.

[9]楊渭清.多尺度緊支撐向量值正交小波的構造[J].純粹數學與應用數學,2009,25(2):315-320.

[10]徐應祥.一類二次最小支集樣條小波插值及其應用[J].合肥工業大學:自然科學版,2008,31(2):291-295

[11]王剛,呂軍,袁麗霞.一類四元數小波包的構造[J].純粹數學與應用數學,2011,27(5):570-576.

[12]何永滔.緊支撐正交的二維小波[J].純粹數學與應用數學,2012,28(1):8-16.

The compactly supported spline wavelet interpolation and
its application

Gao Zhongshe,He Wansheng,Xie Baoli

(College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui741000,China)

Based on the supported spline wavelet interpolation and defnite integral idea,the method of constructing the supported spline wavelets numerical integration formula is given.And with this method,the numerical integration formulas are got for the quadratic,cubic,quartic and quintic supported spline wavelets. Finally,it is proved through an example that the obtained formulas are correct and has a higher accuracy.

compactly supported spline wavelet,interpolation function,numerical integral

O24.82

A

1008-5513(2013)06-0591-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.06.007

2013-10-01.

甘肅省教育廳科學研究基金(1108B-03).

高忠社(1979-),碩士,講師,研究方向：小波分析及微分方程數值解.

2010 MSC:42C40