基于MATLAB等節(jié)距圓錐螺旋彈簧的剛度分析*

任晉賢

(中北大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太原 030051)

1 引言

螺旋彈簧在振動(dòng)控制、限位裝置、復(fù)位機(jī)構(gòu)中應(yīng)用十分廣泛，因?yàn)槠渚哂辛己玫娜嵝浴⑼ㄟ^(guò)吸收和釋放機(jī)械能來(lái)達(dá)到減振與緩沖的作用。在螺旋彈簧中，圓錐螺旋彈簧按結(jié)構(gòu)分為等節(jié)距型和等螺旋角型，筆者主要研究等節(jié)距圓錐螺旋壓縮彈簧。由于圓錐螺旋彈簧的載荷和變形間是非線性關(guān)系，設(shè)計(jì)變量運(yùn)算較繁瑣，所以用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)十分必要［1］。

如圖1(a)中，R2為彈簧的大圈半徑，d為簧絲直徑，H0為壓并高度［2］。如圖1(b)所示，等節(jié)距圓錐螺旋彈簧在底面上的投影為阿基米德螺旋線，θ為這種螺旋線的極角，由圖可以看出，該螺旋線的極角θ每增加2π，半徑R增加t×tanψ/2(t為彈簧節(jié)距，ψ為彈簧圓錐角)。由此可以得到等節(jié)距圓錐螺旋壓縮彈簧的半徑表達(dá)式為:

圖1 圓錐螺旋壓縮彈簧幾何參數(shù)

式中:R1為彈簧的小圈半徑。

2 等節(jié)距圓錐螺旋壓縮彈簧的剛度分析

(1)等節(jié)距圓錐壓縮彈簧開(kāi)始有彈簧圈接觸前的變形計(jì)算

由于壓縮彈簧的螺旋角比較小，當(dāng)彈簧受到軸向載荷P后，根據(jù)彈簧設(shè)計(jì)手冊(cè)得到接觸前的變形為:

式中:n為彈簧的有效圈數(shù);G為剪切模量。

(2)等節(jié)距圓錐壓縮彈簧開(kāi)始有彈簧圈接觸后的變形計(jì)算

對(duì)于等節(jié)距為t的圓錐壓縮螺旋彈簧，開(kāi)始接觸的彈簧圈為i的變形為:

彈簧的變形同樣分為彈簧圈壓并部分和未壓并部分。未壓并部分的變形由式(2)可知為F1，壓并部分的變形為F2，根據(jù)式(3)得:

從而得到等節(jié)距圓錐壓縮螺旋彈簧在彈簧圈i開(kāi)始?jí)翰r(shí)，整個(gè)彈簧的總變形為:

由式(2)、(4)可知，等節(jié)距螺旋壓縮彈簧載荷和位移的變化是一個(gè)非線性的變值。

3 結(jié)果與討論

3.1 數(shù)據(jù)處理

現(xiàn)在以某隔振器的關(guān)鍵部件錐簧為例，其參數(shù)如下:有效圈數(shù)n=4，大端半徑R2=18 mm，小端半徑R1=9 mm，節(jié)距t=3 mm，簧絲直徑d=2.3 mm，剪切模量G=78 400 N/mm2。運(yùn)行MATLAB編程，并對(duì)數(shù)據(jù)加以處理，可得圓錐彈簧的特性曲線。

由圖2可知，i表示從大端開(kāi)始第i圈開(kāi)始接觸，因?yàn)榈裙?jié)距圓錐壓縮彈簧壓并過(guò)程中，通過(guò)將i在0到4取值，當(dāng)位移Fi＜4.7 mm時(shí)，特性曲線為直線，載荷和位移表現(xiàn)為線性關(guān)系，當(dāng)Fi＞4.7 mm時(shí)，特性曲線為非線性關(guān)系，隨著接觸的彈簧圈數(shù)增加，其剛度逐漸增加，表現(xiàn)為很強(qiáng)的硬特性。當(dāng)所有彈簧圈完全壓并時(shí)，位移為10 mm，載荷為117.6 N。

圖2 算例圓錐壓縮彈簧特性曲線

3.2 數(shù)據(jù)的曲線擬合

曲線擬合又稱為函數(shù)的逼近，是一種近似求解函數(shù)的數(shù)值方法，它不要求近似函數(shù)在函數(shù)節(jié)點(diǎn)處與函數(shù)值相等，只要求盡可能地反應(yīng)函數(shù)的基本走勢(shì)［5-6］。等節(jié)距圓錐彈簧的特性曲線函數(shù)由于過(guò)于繁雜，通過(guò)運(yùn)用MATLAB應(yīng)用程序，將其特性曲線擬合成為簡(jiǎn)單的代數(shù)多項(xiàng)式。為振動(dòng)分析與隔振設(shè)計(jì)提供簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。

執(zhí)行擬合程序后，得到圖3所示的曲線圖，其中擬合三次多項(xiàng)式曲線與原函數(shù)偏差較大，而擬合五次多項(xiàng)曲線與原函數(shù)基本重合，偏差較小。可得出，擬合多項(xiàng)式次數(shù)越高，表示曲線的精度越精確，但數(shù)學(xué)模型越復(fù)雜。在振動(dòng)與隔振分析中，權(quán)衡各種因素選擇合適的數(shù)學(xué)模型。其中三階的擬合多項(xiàng)式曲線函數(shù)關(guān)系如下:

圖3 3條曲線對(duì)比圖

3.3 簧絲直徑對(duì)特性曲線的影響

當(dāng)簧絲直徑分別取2.3 mm、2.5 mm、2.7 mm、2.9 mm、3 mm時(shí)，作出的特性曲線圖4所示。

圖4 等節(jié)距錐彈簧簧絲取不同直徑時(shí)的載荷位移圖

由圖4得，隨著簧絲直徑變大，錐彈簧的硬特性表現(xiàn)就越強(qiáng)，剛度越大，開(kāi)始接觸時(shí)的載荷沒(méi)有明顯變化，但是開(kāi)始接觸時(shí)的位移變小了，壓并時(shí)的載荷增加，但壓并時(shí)的位移明顯減小。

4 結(jié)論

(1)等節(jié)距螺旋壓縮彈簧開(kāi)始接觸前的剛度曲線是直線，接觸后的剛度曲線是非線性的。而且表現(xiàn)出很強(qiáng)的硬特性。

(2)運(yùn)用MATLAB程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，可以得出圓錐彈簧的特性曲線，擬合后的多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系更為簡(jiǎn)單，為振動(dòng)分析提供了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。

(3)簧絲直徑越大，圓錐彈簧的硬特性越強(qiáng)。

［1］ 楊 銘.某型號(hào)隔振器的彈簧設(shè)計(jì)［J］.南京工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，7(1):26-27.

［2］ 程 浩.節(jié)距圓錐螺旋壓縮彈簧計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)，2009，36(5):44-46.

［3］ 成大先.機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2004.

［4］ 張英會(huì)，羅圣國(guó)，郭榮生，等.彈簧手冊(cè)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1982.

［5］ 張德豐.MATLAB數(shù)值計(jì)算方法［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

［6］ 劉國(guó)初.復(fù)合彈簧的創(chuàng)新設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械，2012(4):67-69.