求解非線性Black睸choles模型的自適應小波精細積分法

摘要

針對非線性BlackScholes方程，基于quasiShannon小波函數給出了一種求解非線性偏微分方程的自適應多尺度小波精細積分法.該方法首先利用插值小波理論構造了用于逼近連續函數的多尺度小波插值算子，利用該算子可以將非線性BlackScholes方程自適應離散為非線性常微分方程組；然后將用于求解常微分方程組的精細積分法和小波變換的動態過程相結合，并利用非線性處理技術（如同倫分析技術）可有效求解非線性BlackScholes方程.數值結果表明了該方法在數值精度和計算效率方面的優越性.

關鍵詞非線性BlackScholes方程；插值小波算子；精細積分法

中圖分類號O211.63 文獻標識碼A

1引言

期權又稱為選擇權，是在期貨的基礎上產生的一種衍生性金融工具.就期權其本身而言，它并不是某一獨立的證券，但它通常又是由證券衍生而來，依附于某一證券且以其為標的資產，因而常稱衍生證券或金融衍生產品[1].因此，期權定價和標的資產（股票、有價證券等）價格密切相關，而標的資產價格往往遵循某種隨機過程.期權定價理論的研究具有一定的挑戰性，是持續近50年的研究熱點.1973年，Black和Scholes在有效市場和股票價格遵循幾何布朗運動等一系列的假設下，運用連續交易保值策略推導出了著名的BlackScholes期權定價模型，并建立了看漲期權定價公式[2].與此同時，Merton也發表了類似的期權定價公式[3].該成果是金融衍生證券發展史上的里程碑，為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎.該定價模型和公式的創新之處在于期權的價格不依賴于投資人的個人偏好，把所有投資人引向同一個以無風險利率作為投資回報率的風險中性世界.但BlackScholes模型設置了太多的假設，很多假設并不符合實際情況，如無稅收和交易成本，無套利機會等[4，5].因此，近20年來非線性BlackScholes模型一直是學術界研究的重點.在非線性BlackScholes模型中可以將很多實際因素如交易費用[6，7]、無保護組合投資風險等影響股票價格、波動率、漂移率和期權價格本身的因素考慮進去[8-10].一般很難導出非線性BlackScholes方程的精確解析解[11].

已有的數值求解方法通常先將非線性期權定價模型變形為拋物型偏微分方程，然后采用有限差分法進行求解[11，12].事實上，非線性BlackScholes方程變形后得到的拋物型偏微分方程的解具有明顯的激波存在.因此，相對于其他方法，自適應多尺度方法更有利于求解該非線性偏微分方程.文獻[13]給出了一種多尺度插值小波方法，論文給出的數值結果體現了這種方法的優越性.近年來，筆者構造了多尺度小波插值算子，結合求解常微分方程組的精細積分法導出了求解非線性偏微分方程的小波精細積分法.本文的目的是將小波精細積分法應用于求解非線性BlackScholes方程的求解中.

2非線性BlackScholes方程

2.1模型描述

歐式看漲期權持有者有權在在期權到期日（T）以執行價格K購買指定數量的標的資產S（t），期權售賣者也有義務按照執行價格賣出標的資產.因此，期權到期后的價值可表示為：V（S，T）=（S-K）+.相反，看跌期權則是期權持有者有權將標的資產按照執行價格賣給期權售賣者，因此，看跌期權到期后的價值可表示為：V（S，T）=（K-S）+.歐式期權只能在到期日進行交易，而美式期權可以在到期日前的任意一天進行交易.這就導致美式期權和歐式期權的定價公式有很大區別.

BlackScholes模型的提出使得期權定價理論獲得突破.線性BlackScholes 模型的解可表示為偏微分方程：

市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

股票資產在期權有效期內不支付紅利及其他所得（該假設可以被放棄）；

金融市場不存在無風險套利機會；

金融資產的交易可以是連續進行的；

可以運用全部的金融資產所得進行賣空操作.

在以上假設條件下，任何資產均可用市場上的其他資產的投資組合進行復制.通過將線性BlackScholes模型變形為熱傳導方程可以得到期權價格的解析解.

顯然，這些嚴格的假設并不符合實際情況.如果考慮交易費用，該模型將變為強非線性問題，如退化對流擴散方程，漂移率和波動率同時和時間、標的資產價格S以及期權價格V自身相關.本研究將線性BlackScholes模型推廣為考慮交易費用的歐式期權和美式期權的非線性模型，在這些模型中漂移率為常數而波動率為

如果不支付紅利且波動率為常數，美式看漲期權和歐式看漲期權的價格相等，因此式（1）不適合用來描述美式期權的價格.式（2）中的波動率是的函數，將需要支付的紅利考慮進去，便可得到美式期權定價方程

數值求解結果如圖2所示.由此可見，自適應小波數值方法可有效捕捉看漲期權價格演化過程中梯度變換加大的位置，在激波處自適應增加配點數.由于只是在局部增加配點，既保證了解函數在出現激波的位置處的逼近精度，也避免了非自適應方法全局增加配點所帶來的計算量的增加.

此外，為驗證該方法在分析期權定價方面的有效性，將Leland模型的小波精細積分法求解結果和線性BlackScholes方程的精確結果進行了對比，其誤差如圖3所示.兩種模型得到的期權價格差異主要體現在執行價格附近，隨著在執行價格附近交易量的增大，交易費用所帶來的期權價格波動率的增大也體現出來.其直接結果是非線性BlackScholes模型計算得到的期權價格在執行價格附近更符合實際結果.這也從另外一個角度驗證了本文所給出的方法的有效性.

計算結果如圖4所示，該圖只繪制了非線性模型和線性模型得到的計算結果的差異由該模型得到的結果相對于其他模型和線性模型得到的結果差值更小一些

3）風險調整定價方法

該模型試圖尋找兩次相鄰交易時間間隔的最優值，使交易費和無保護組合的風險率降到最低.這種情況下的波動率可采用以下形式

計算結果如圖5所示，該圖只繪制了非線性模型和線性模型得到的計算結果的差異.由該模型得到的結果和Leland模型相差不大.

4.2計算精度和效率對比

4.2.1小波精細積分法和有限差分法

線性BlackScholes模型具有精確解析解，因此，通過對線性模型進行求解可以對比小波精細積分法和有限差分法的數值精度和計算效率.線性BlackScholes模型具有精確解析解可表示為

其中y是分紅率分別用有限差分法和自適應小波數值方法對線性BlackScholes模型進行求解，結果如圖6所示由圖6可見，盡管兩種方法在執行價格附近的波動都較大，但有限差分法在其他點處的誤差明顯較大有限差分法采用空間均勻離散方法，總離散點數為4 096個；自適應小波數值方法的離散點數則在211-242之間動態變化，計算量大大低于有限差分法，充分體現了小波數值方法的優越性

看漲期權和線性看漲期權的差異

小波和RungeKutta方法組合也是求解非線性偏微分方程的常用方法，為說明小波精細積分方法求解非線性常微分方程的有效性，下面對小波自適應精細積分法和小波自適應四階RungeKutta方法的數值結果進行對比.

采用小波精細積分法求解，誤差只出現在解的梯度較大執行價格附近，其它位置的誤差幾乎為0，而RungeKutta法的誤差在其它位置也比較明顯，尤其在邊界附近比較明顯.另外注意到，即使采用精度較高的多步法，如AdamsBashforthMoulton方法，在邊界附近產生的誤差也非常明顯.表2給出了這三種方法的數值結果在不同時刻的最大誤差，從中可以看出，小波精細積分方法的計算精度優于另外兩種方法.

表2Leland方程數值結果的最大誤差

5結束語

BlackScholes模型不但在期權定價方面得到廣泛應用，在其他金融衍生產品如期貨、風險投資等領域也得到越來越多的應用，隨之而來的是不同的非線性期權定價模型不斷被提出.因此，高效的數值求解方法或近似解析方法具有非常重要的理論意義和實用價值.小波數值方法其實屬于一種半解析方法，充分利用了小波變換的自適應性和精細積分方法的高精度特性.但同時注意到，非線性BlackScholes模型相對于時間參數是弱非線性方程，將弱非線性方程的處理方法（如攝動法）引入本文方法有望進一步提高方法的計算效率.

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