m維具時滯反饋非線性差分系統解的長時間狀態

侯新華 鄧新春

摘要 在一類m元離散時滯差分方程神經網絡模型中引入了具有明顯實際意義的非線性不連續信號傳輸函數，并利用離散系統的解半環分析這一強有力工具，通過引入一個輔助系統，證明了該模型的每個解或者是最終周期的或者是無界的這一有趣的動力學性質

關鍵詞 離散神經網絡；時滯；最終周期性；周期解

中圖分類號O175.7 文獻標識碼A

1引言

近年來，國際上掀起了一股人工神經網絡的研究熱潮，人工神經網絡獨特的結構和處理信息的方法，使得它們在諸如信號處理、模式識別、優化計算等許多領域具有廣泛的應用前景在數學上，通常采用微分方程和差分方程式來描述神經網絡中各個神經元的活動狀態，通過對這些網絡模型的分析來了解其相應的動力學狀態迄今為止，國內外人工神經網絡研究工作者已提出很多有應用背景的神經網絡模型，如著名的Hopfield模型、細胞神經網絡（CNN）模型、Grossberg神經網絡模型等，建立了許多具備不同信息處理能力的神經網絡模型，但是這些模型的動力學行為至今仍未得到充分的揭示本文將在著名的廣義Hopfield神經網絡模型[1，2]基礎上提出新的神經網絡模型：

解的最終周期行為，其中，模型中的信號傳輸函數f為

其中k為給定正整數，m（m>0）為給定奇數，σ為給定常數，該系統描述了具興奮反應的m個同樣的神經元的離散型神經網絡系統的發展，k為信號傳輸滯量

最近幾年，有大量的文獻是關于神經網絡動力學方面的研究[1-10]，例如：神經網絡的穩定性、周期解、混沌等方面特別地，當輸入輸出函數取一些特殊函數尤其是不連續函數的離散神經網絡的周期性問題也得到了一些研究[8]Yuan[7]和Dai等[9]分別研究了兩類二元離散神經網絡模型的周期性和收斂性：

本文從數學理論上探討當系統（1）中的信號函數f為McCullochpitts型不連續非線性函數時，該模型解的最終周期行為，并按m為奇數來給出主要結果，為這類網絡模型的應用提供了重要的數學理論基礎

2輔助系統及準備工作

為了研究系統（1）和（2）的有界解的周期性，引入一個輔助系統，即在方程（2）中令σ=0，可得到輔助系統：

因為（S）是無界的，所以由結論1-3即可推出定理結論成立

參考文獻

[1]J J HOPFIELD. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities[J]. Proc Natl Acad Sci USA， 1982， 79： 2554-2558

[2]J J HOPFIELD. Neurons with graded response have collective computational properties like those of twostate neurons[J]. Proc Natl Acad Sci USA， 1984， 81：3088-3092

[3]S BUSENBERG， K L COOKE. Models of vertically transmitted diseases with sequentialcontinuous dynamics[C]//V LAKSHMIKANTHAN Nonlinear Phenomena in Mathematical Science. New York： Academic Press， 1982， 179-187

[4]K L COOKE， J WIENER. Retarded differential equations with piecewise constant delays[J]. J Math Anal Appl， 1984， 99： 265-297

[5]S M SHAH， J WIENER. Advanced differential equations with piecewise constant argument deviations[J]. Internat J Math Math Sci， 1983， 6： 671-703

[6]J WU. Introduction to neural dynamics and signal transmission delay[M]. Berlin： De Gruyter，2001.

[7]Z H YUAN， L H HUANG， Y CHEN. Convergence and periodicity of solutions for a discretetime network model of two neurons[J]. Math Comput Model， 2002，35： 941-950

[8]T S YI， Z ZHOU. Periodic solutions of difference equations[J]. J Math Anal Appl， 2003， 286： 220-229

[9]B X DAI， L H HUANG， X Z QIAN. Largetime dynamics of discretetime neural networks with McCullochPitts nonlinearity[J]. Electronic J Diff Eqn， 2003， 45：1-8

[10]Y CHEN. Unboundedness and periodicity of a system of delay difference equations[J].Mitt Math Sem Giessen， 2002， 248： 1-19

[11]Y CHEN. All solutions of a class of difference equations are truncated periodic[J].Appl Math Lett， 2002， 15： 975-979

[12]Z J WEI J，L H HUANG， Y M MENG. Unboundedness and periodicity of solutions for a discretetime network model of three neurons[J]. Applied Mathematical Modelling， 2008， 32： 1463-1474