復(fù)共線聯(lián)立方程模型參數(shù)的修正間接嶺估計(jì)

胡俊航 彭麗

摘要 在結(jié)構(gòu)方程恰好被識別時(shí)，研究了外生變量設(shè)計(jì)矩陣X復(fù)共線時(shí)聯(lián)立方程模型的參數(shù)估計(jì)問題，提出了參數(shù)的一種修正間接嶺估計(jì)方法，并證明了這種參數(shù)估計(jì)的良好統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，最后給出了在修正間接嶺估計(jì)均方誤差最小意義下嶺參數(shù)的一種選擇方法.

關(guān)鍵詞 聯(lián)立方程；參數(shù)估計(jì)；間接嶺估計(jì)；嶺參數(shù)

中圖分類號O212文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

1引言

聯(lián)立方程模型的參數(shù)估計(jì)問題是理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，Engle 和 Kroner [1]1995年提出在不考慮異方差擾動的條件下，用二階段最小二乘（2SLS）和三階段最小二乘（3SLS）估計(jì)模型的參數(shù)；Chuanming Gao和Kajal Lahiri [2]于2001年又提出了雙-k類估計(jì)； Emma M. Iglesias 和Garry D.A. Phillips[3] 2005年對2SLS、有限信息最大似然估計(jì)（LIML ）和 3SLS 估計(jì)進(jìn)行了理論和模擬研究；還有完全信息最大似然估計(jì)（FIML）和間接最小二乘估計(jì)（ILS）[4].在結(jié)構(gòu)方程恰好識別時(shí)，間接最小二乘法（ILS估計(jì)）是估計(jì)結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的重要方法.但是當(dāng)外生變量的設(shè)計(jì)矩陣出現(xiàn)復(fù)共線時(shí)，用間接最小二乘法估計(jì)的參數(shù)性質(zhì)變得很差.本文提出一種參數(shù)的修正間接嶺估計(jì)方法，首先推導(dǎo)出參數(shù)的估計(jì)公式，然后對它進(jìn)行了修正，使其修正后的估計(jì)值具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，并證明了這些性質(zhì).最后給出了在修正的嶺估計(jì)均方誤差最小意義下的一種嶺參數(shù)的選擇方法.

2模型概述與符號表示

聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)方程的矩陣形式為

證畢

綜合定理1，定理2，和參數(shù)間接最小二乘估計(jì)相比，修正的間接嶺估計(jì)使估計(jì)參數(shù)的各分量縮小，并且使其均方誤差縮小.

5嶺參數(shù)的選擇

考慮在估計(jì)參數(shù)的均方誤差最小意義下來選擇嶺參數(shù)k，而這個(gè)均方誤差是聯(lián)立方程中所有方程的估計(jì)參數(shù)的均方誤差，記作F（k）.由定理2可知

要在F（k）最小的意義直接推導(dǎo)出嶺參數(shù)k是比較困難的，為此，可以考慮利用均方誤差F（k）的曲線[5]（以嶺參數(shù)k為橫坐標(biāo)，均方誤差F（k）為縱坐標(biāo)），通過觀察均方誤差曲線，選擇使F（k）最小的嶺參數(shù)k（一般選擇使F（k）取得極小值的最小的k或者使F（k）穩(wěn)定的最小的k）.不過在上式的F（k）中還含有未知的Var（Yi）=σ2iIn和各個(gè)方程的系數(shù)真值Qi，這可以用各方程系數(shù)的最小二乘估計(jì)il來代替Qi，再把計(jì)算出的il代入第i個(gè)方程求出2i 來代替σ2i.這樣，上式F（k）的右邊只有一個(gè)變量k了，就可以根據(jù)均方誤差曲線按前面所說的方法來選擇嶺參數(shù)k.若il與Qi差異很大，可以考慮用參數(shù)的第一次嶺估計(jì)（1）iak代入F（k），用上述方法再次選擇k，進(jìn)行第二次嶺估計(jì)，這樣迭代下去，直到連續(xù)兩次嶺估計(jì)的差異很小，停止迭代，得到參數(shù)的嶺估計(jì).

6數(shù)值模擬

構(gòu)建恰好識別的聯(lián)立方程模型

用（12）對Y1，Y2進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)值如表1所示，從圖1可以看出用間接最小二乘估計(jì)的模型擬合效果很好，擬合線幾乎完全重合.

下面用修正的間接嶺估計(jì)公式（7）重新對模型（11）進(jìn)行估計(jì)首先利用模型參數(shù)的均方誤差曲線F（k）選擇嶺參數(shù)k， 從圖2的均方誤差曲線F（k）可以看出，從k=0.1開始，F(xiàn)（k）下降的趨勢平緩，參數(shù)的均方誤差很小。不妨取嶺參數(shù)k=0.1，用修正的間接嶺估計(jì)方法（7）估計(jì)模型（11），得模型中的參數(shù)分別為

從圖3上觀察第一個(gè)模型的擬合效果沒有模型（12）的第一個(gè)模型擬合效果好難道修正的間接嶺估計(jì)方法沒有間接最小二乘估計(jì)方法優(yōu)越嗎？肯定不是，如果把模型（12）和模型（13）的參數(shù)與模型參數(shù)的真值進(jìn)行比較就會發(fā)現(xiàn)，用修正的間接嶺估計(jì)

的模型參數(shù)比用間接最小二乘估計(jì)估計(jì)的模型參數(shù)更接近模型參數(shù)的真實(shí)值，這一點(diǎn)在圖2中也能清楚看到，參數(shù)間接最小二乘估計(jì)的均方誤差遠(yuǎn)大于參數(shù)修正間接嶺估計(jì)的均方誤差.可見當(dāng)聯(lián)立方程模型外生變量的設(shè)計(jì)矩陣復(fù)共線時(shí)，參數(shù)的修正的間接嶺估計(jì)優(yōu)于參數(shù)間接最小二乘估計(jì).

6結(jié)束語

從以上分析可以看出，文章對外生變量設(shè)計(jì)矩陣X復(fù)共線的聯(lián)立方程模型在方程恰好識別時(shí)提出一種參數(shù)的修正間接嶺估計(jì)方法，推導(dǎo)出了估計(jì)公式，并且這種參數(shù)估計(jì)是間接最小二乘估計(jì)的一種壓縮估計(jì)，其均方誤差也比間接最小二乘估計(jì)的均方誤差小，通過數(shù)值模擬也驗(yàn)證了上述結(jié)論，參數(shù)估計(jì)效果優(yōu)于間接最小二乘估計(jì).

參考文獻(xiàn)

[1]Robert F ENGLE ， Kenneth F KRONER. Multivariate simultaneous generalised ARCH[J]. Econometric Theory，1995， 11（1）：122-150.

[2]Chuanming GAO， Kajal LAHIRI. A note on the double kclass estimator in simultaneous equations[J]. Journal of Econometrics， 2001， 108 （1）：101-111.

[3]Garry D A PHILLIPS， Emma M IGLESIAS. Simultaneous equations and the validity of instrumental variables under conditionally heteroscedastic disturbances[M]. London ：ESWC ， 2005.

[4]童恒慶.理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M] .北京：科技出版社，2005：373-403.

[5]童恒慶.經(jīng)濟(jì)回歸模型及計(jì)算[M].湖北：科學(xué)技術(shù)出版社，1997.