基于參數(shù)模型的EVaR風(fēng)險度量

錢夕元 張超

摘要 針對EVaR （Expectilebased Value at Risk） 風(fēng)險度量提出了基于GARCH類和SV波動率模型的EVaR風(fēng)險度量計(jì)算方法，即EVaR計(jì)算的參數(shù)模型方法并基于模擬學(xué)生t分布時間序列數(shù)據(jù)，給出EVaR樣本外預(yù)測的失敗率檢驗(yàn)方法：Kupiec失敗率檢驗(yàn)和動態(tài)分位數(shù)（DQ）檢驗(yàn)法與采用CARE （Conditional Autoregressive Expectile）模型的EVaR計(jì)算方法進(jìn)行了對比研究，結(jié)果表明基于GARCH類模型和SV模型相對于基于CARE模型有更優(yōu)的EVaR預(yù)測效果.選取2004年1月5日到2009年12月30日的國內(nèi)外五個股票市場指數(shù)數(shù)據(jù)，針對日對數(shù)收益率進(jìn)行了EVaR風(fēng)險度量的實(shí)證研究，得出在金融危機(jī)期間，基于參數(shù)模型的EVaR預(yù)測要比基于CARE模型的EVaR預(yù)測更接近市場實(shí)際風(fēng)險.

關(guān)鍵詞 EVaR；CARE模型；GARCH類模型；SV模型

中圖分類號F224.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

1引言

在現(xiàn)代金融理論中，風(fēng)險的定義、分析和管理的理論方法占據(jù)著重要的地位.風(fēng)險度量和風(fēng)險管理已成為各大商業(yè)銀行，投資銀行，機(jī)構(gòu)投資者乃至個人投資者管理資產(chǎn)的一個必備工具.在眾多風(fēng)險度量方法中，在險價值VaR （Value At Risk）最早由J. P. Morgan提出的一種風(fēng)險度量方法，該方法以“簡單實(shí)用，適用廣泛”的特點(diǎn)廣受歡迎，并且迅速成為風(fēng)險分析中的一種主要方法.VaR的計(jì)算一般有三種方法：一是參數(shù)方法，應(yīng)用ARCH和SV模型來描述隨機(jī)波動率，進(jìn)而求得VaR的估計(jì)；二是非參數(shù)方法，包括蒙特卡洛模擬法和歷史數(shù)據(jù)模擬法；三是半?yún)?shù)方法.

為評價風(fēng)險度量方法，Artzner等提出了風(fēng)險度量的一致性公理[1].若某種風(fēng)險度量滿足平移不變性、單調(diào)性、次可加性以及正齊次性這四個條件，則稱該風(fēng)險度量為一致性風(fēng)險度量.只有一致性風(fēng)險度量才能充當(dāng)投資組合管理工具.而VaR風(fēng)險度量不滿足次可加性，從而不是一致性風(fēng)險度量，用VaR進(jìn)行風(fēng)險度量時，投資組合的風(fēng)險不一定小于各單個資產(chǎn)的風(fēng)險之和，這就違背了風(fēng)險分散化的投資準(zhǔn)則.

為了克服VaR風(fēng)險度量的上述缺陷，Rockafeller和Uryasev提出了條件在險價值CVaR（Conditional Value At Risk）風(fēng)險度量方法[2].Acerbi和Tasche的研究指出CVaR是一個一致性風(fēng)險度量[3].

不論VaR還是CVaR模型，均屬于基于分位數(shù)（quantile）的風(fēng)險度量，度量的是資產(chǎn)分布在下尾部的極值所造成的風(fēng)險，都只與資產(chǎn)收益的尾部特征有關(guān)，而沒有涉及收益的整個分布情況.Kuan等指出expectile在分布形式上比quantile更有全局的依賴性，VaR的計(jì)算只與收益分布的尾部取值的大小以及取相應(yīng)值的概率有關(guān)，從而改變一個分布的上尾形狀并不會改變VaR的取值大小，但它卻影響所有的expectile[4].基于expectile以上的優(yōu)點(diǎn)，Kuan等提出了一個基于expectile的風(fēng)險度量測度EVaR（Expectilebased Value at risk） [4].EVaR風(fēng)險度量比VaR對極值變化的反應(yīng)更加敏感，并且對資產(chǎn)收益的整個分布都是敏感的.另外，Rossi和Harvey的研究表明，當(dāng)謹(jǐn)慎性水平小于0.5時，EVaR是一致風(fēng)險度量[5].因而EVaR是比VaR具備更優(yōu)良性質(zhì)的一種風(fēng)險度量.最近，F(xiàn)abian 和Thomas[6]以及姚宏偉[7]基于expectile提出了一些新的模型.

Kuan等提出了兩類條件自回歸expectile （Conditional Autoregressive Expectile， CARE）模型來計(jì)算EVaR[4]，基于Newey和Powell提出的非對稱最小二乘（ALS）方法[8]來計(jì)算每一類模型，并做了兩類模型比較的理論研究，給出了模型選擇的判別方法.

但Kuan等提出的CARE模型[4]并沒有考慮異方差的情形，而金融數(shù)據(jù)很容易碰到異方差的情形，所以該模型在應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時并不太合適.本文基于GARCH類和SV波動率模型研究EVaR風(fēng)險度量的計(jì)算方法，即EVaR計(jì)算的參數(shù)模型方法，并基于模擬學(xué)生t分布時間序列數(shù)據(jù)，給出EVaR樣本外預(yù)測的失敗率檢驗(yàn)方法：Kupiec失敗率檢驗(yàn)和動態(tài)分位數(shù)DQ檢驗(yàn)法，與采用CARE模型的EVaR計(jì)算方法進(jìn)行對比評價，并將這些EVaR計(jì)算模型應(yīng)用到國內(nèi)外股票市場指數(shù)收益數(shù)據(jù)進(jìn)行風(fēng)險估計(jì)，以評價各類模型在估計(jì)和預(yù)測不同股票市場EVaR風(fēng)險的適用程度.

2 EVaR定義及計(jì)算模型

2.1EVaR的定義

最大化此條件似然函數(shù)即得出了參數(shù)的估計(jì)，進(jìn)而利用式（4）遞推得到波動率的估計(jì)值.類似地可以得到EGARCH模型的估計(jì).

3. 2SV模型的參數(shù)估計(jì)

SV模型的參數(shù)估計(jì)方法有偽極大似然QML （Quasi Maximum Likelihood）， 廣義矩估計(jì)GMM （Generalized Method of Moments）和馬爾可夫鏈蒙特卡洛MCMC （Markov Chain Monte Carlo）方法等.本文采用偽極大似然方法QML進(jìn)行估計(jì).

4 基于模擬數(shù)據(jù)的EVaR分析

首先生成兩組服從不同自由度的學(xué)生t分布的模擬數(shù)據(jù)，然后分別用CARE， GARCH， EGARCH和SV模型建模，并進(jìn)行模型估計(jì)，然后計(jì)算EVaR進(jìn)行風(fēng)險分析.為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)劣，給出了EVaR預(yù)測的兩種返回檢驗(yàn)方法，進(jìn)行評價研究.

4.1數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

由于金融資產(chǎn)收益的分布具有尖峰厚尾特性，本文采用自由度分別為3和5的學(xué)生t分布來生成模擬時間序列數(shù)據(jù)，各自生成的序列長度為700.如圖1所示.

4.2EVaR的計(jì)算

分別用CARE， GARCH， EGARCH和SV模型來計(jì)算服從學(xué)生t（3）和t（5）分布的模擬數(shù)據(jù)在謹(jǐn)慎性水平為1%下的EVaR.對于每個估計(jì)模型，用模擬數(shù)據(jù)的前500個數(shù)據(jù)來得到模型的參數(shù)估計(jì)，然后向后滾動預(yù)測得到200個EVaR的值.

4.2.1基于CARE模型的EVaR計(jì)算

采用Kuan等的方法 [4]，表1和表2分別列出了用CARE1模型和CARE2模型計(jì)算兩組服從學(xué)生t分布模擬數(shù)據(jù)的EVaR所得的參數(shù)估計(jì)及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差.表1和表2中的倒數(shù)第二行給出模型計(jì)算EVaR的失敗率大小，即預(yù)測的EVaR大于相應(yīng)模擬數(shù)據(jù)數(shù)值的次數(shù)在總體中所占的比例.表1和表2中的最后一行列出了學(xué)生t分布在謹(jǐn)慎性水平為1%下的EVaR對應(yīng)的VaR的顯著性水平大小，從表1和表2中可以看出，服從t（3）分布的模擬數(shù)據(jù)比t（5）分布模擬數(shù)據(jù)模型計(jì)算的失敗率更接近于理論水平.

4.2.2基于GARCH類和SV模型的EVaR估計(jì)

由模型選擇的AIC和BIC準(zhǔn)則，對于模擬數(shù)據(jù)，最終確定可以用GARCH（1，1）和EGARCH（1，1）模型來建模，為了客觀地與其他EVaR計(jì)算模型的結(jié)果相比較，假定波動率的新息序列服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.表3列出GARCH（1，1）模型估計(jì)兩條模擬時間序列的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量，從表3中數(shù)值可以看出系數(shù)β1非常顯著，說明模擬數(shù)據(jù)的ARCH效應(yīng)明顯存在，且GARCH模型預(yù)測EVaR的失敗率比CARE模型更為接近理論失敗率.

EGARCH（1，1）的波動率過程可表示為

從表4的結(jié)果可知，EGARCH的杠桿系數(shù)γ1的估計(jì)值都不為零，所以模型的杠桿效應(yīng)是顯著存在的，EGARCH模型預(yù)測EVaR的失敗率與GARCH模型預(yù)測EVaR的失敗率是相同的.

表5給出了采用SVNormal模型估計(jì)服從學(xué)生t分布模擬數(shù)據(jù)的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量.模型估計(jì)參數(shù)在5%顯著性水平下基本都顯著，且樣本外預(yù)測EVaR的失敗率與理論失敗率都比較接近.

4..3EVaR的返回檢驗(yàn)（Back Testing）

為對選用模型進(jìn)行評價比較，下面給出EVaR風(fēng)險度量的返回檢驗(yàn)方法.對于服從已知分布的模擬數(shù)據(jù)而言，每個謹(jǐn)慎性水平下的EVaR都對應(yīng)于某一置信水平下的VaR，因而可以將VaR返回檢驗(yàn)方法移植到EVaR風(fēng)險度量中，形成EVaR的返回檢驗(yàn)方法.本文將目前最常用的VaR返回檢驗(yàn)方法：Kupiec失敗率檢驗(yàn)法[11]和Engel和Managenelli的動態(tài)分位數(shù)（Dynamic Quantile， DQ）回歸檢驗(yàn)法[12]移植得到EVaR的返回檢驗(yàn).

表6列出上面四種模型的預(yù)測EVaR的Kupiec失敗率檢驗(yàn)結(jié)果，表中的P值表示拒絕原假設(shè)H0的最小的顯著性水平，P值越大，表明EVaR計(jì)算的準(zhǔn)確度越高.從表6容易得出，在99%置信水平下Kupiec失敗率檢驗(yàn)拒絕了t（5）分布的模擬數(shù)據(jù)基于CARE2模型的EVaR預(yù)測，在95%置信水平下Kupiec失敗率檢驗(yàn)拒絕了t（5）模擬數(shù)據(jù)基于CARE1模型的EVaR預(yù)測，但在95%置信水平下Kupiec失敗率檢驗(yàn)均接受了基于GARCH（1，1），EGARCH（1，1）和SVNormal模型的EVaR預(yù)測.因而對于服從自由度分別為3和5的學(xué)生t分布的模擬時間序列數(shù)據(jù)EVaR預(yù)測而言，GARCH類和SV模型比CARE模型更有優(yōu)勢.

表7列出了各模型預(yù)測EVaR的DQ檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其對應(yīng)的P值.由表7可知，在95%的置信水平下，DQ檢驗(yàn)接受了CARE1，GARCH（1，1）以及EGARCH（1，1）模型的t（3）模擬數(shù)據(jù)EVaR的預(yù)測，在99%的置信水平下，DQ檢驗(yàn)還接受了EGARCH（1，1）模型的t（5）模擬時間序列EVaR的預(yù)測，但檢驗(yàn)均拒絕了CARE2， SVNormal模型對兩個模擬時間序列的EVaR的預(yù)測.從DQ檢驗(yàn)的結(jié)果可得出，對于本文中服從t（3）和t（5）分布的模擬數(shù)據(jù)，基于GARCH類模型的EVaR預(yù)測優(yōu)于基于CARE模型的EVaR預(yù)測.

以上檢驗(yàn)結(jié)果表明，對于具有尖峰厚尾特征的模擬數(shù)據(jù)，基于參數(shù)模型的 EVaR風(fēng)險度量，GARCH類和SV模型略優(yōu)于CARE模型.考慮到實(shí)際中金融資產(chǎn)收益具有尖峰厚尾特性，采用GARCH類和SV模型來估計(jì)和預(yù)測資產(chǎn)收益的EVaR度量是較好的選擇.

5 基于EVaR的實(shí)證分析

5.1數(shù)據(jù)

選取2004年1月5日到2009年12月30日的上證綜指（SH），深圳成指（SZ），香港恒生指數(shù)（HZ），日經(jīng)225指數(shù)（Nikkei）以及納斯達(dá)克指數(shù)（Nasdaq）數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于大智慧證券分析軟件.為了便于分析的統(tǒng)一性，選取其中五個股指數(shù)據(jù)都有發(fā)布的日期，并將2004年1月5日到2007年12月28日之間的886個數(shù)據(jù)作為模型估計(jì)的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，將2008年1月2日到2009年12月30日之間的442個數(shù)據(jù)作為預(yù)測EVaR的樣本外數(shù)據(jù).

考慮如下日對數(shù)收益率：

圖2為各股指的日收盤價隨時間的變化，從圖中很容易觀察到國內(nèi)股指的波動性比美國、日本等成熟資本市場的股指的波動性要大，特別是在2008年、2009年全球金融危機(jī)時期，這表明國內(nèi)股市的風(fēng)險在這期間比成熟資本市場股市的風(fēng)險要更大.另一方面，恒生指數(shù)的走勢與大陸股市股指的走勢越來越具有一致性，日收益的相關(guān)性很高，因而它們的風(fēng)險也應(yīng)具有一定的相似性.

圖3刻畫了各股指對數(shù)收益率隨時間的變化圖.可以看出，各股指收益率的波動幅度在2008年金融危機(jī)后都明顯增強(qiáng)，這段時間股指的波動率更大.從收益率變動圖還可以看出，不論是國內(nèi)股指收益率還是國外股指收益率都呈現(xiàn)出一定的“波動率聚集”現(xiàn)象.

表8給出了各股指日對數(shù)收益率的描述統(tǒng)計(jì)量，由表可得，各股指對數(shù)收益率分布的JarqueBera正態(tài)性檢驗(yàn)的P值均為0，均在99%的置信水平下顯著，因而所有股指的收益率序列都拒絕了正態(tài)分布的原假設(shè).上證指數(shù)和深圳成指收益率序列的方差比日經(jīng)指數(shù)以及納斯達(dá)克指數(shù)收益率序列的方差要大，這說明國內(nèi)股票市場比國外股票市場的波動更為劇烈，風(fēng)險更大，盡管它們的峰度系數(shù)比國外市場的峰度系數(shù)小，但所有股指收益率序列的峰度均大于3，都呈現(xiàn)出尖峰的特征.此外，各收益率序列的偏度系數(shù)均小于0，表現(xiàn)出左偏性.

表8最后一行給出了各股指收益率序列的單位根檢驗(yàn)的結(jié)果，表明各收益率序列均為平穩(wěn)的時間序列，因而可以對它們直接進(jìn)行分析和建模.

為進(jìn)一步研究收益率序列的性質(zhì)，本文對收益率及其一階滯后項(xiàng)序列的回歸的殘差序列進(jìn)行了ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，殘差序列的滯后階數(shù)分別取1階，2階和3階.從表9的檢驗(yàn)結(jié)果來看，所有股指的收益率序列在滯后1～3階的ARCHLM檢驗(yàn)的P值均小于0.01，即在99%的的置信水平下均拒絕原假設(shè)，因而各股指收益率序列都存在顯著的高階ARCH效應(yīng)，波動率序列表現(xiàn)出較強(qiáng)的序列相關(guān)性.

5.2基于CARE模型的各股指收益率序列的

EVaR計(jì)算

首先估計(jì)謹(jǐn)慎性水平為1%條件下的各股指收益率序列的CARE模型，然后再計(jì)算樣本內(nèi)的EVaR，最后滾動預(yù)測樣本外每天股指收益的EVaR.表10給出了各股指收益率序列的CARE1模型的參數(shù)估計(jì)，括號內(nèi)給出了各參數(shù)估計(jì)所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，用來確定模型階數(shù)的顯著性水平為10%，深證成指以及日經(jīng)指數(shù)所確定的滯后階數(shù)為3，而上證指數(shù)，恒生指數(shù)以及納斯達(dá)克指數(shù)所確定的滯后階數(shù)為4，每個模型的常數(shù)項(xiàng)估計(jì)值均為負(fù)，并且在99%的置信水平下均是顯著的.同樣地，表11給出了各股指收益率序列的CARE2模型的參數(shù)估計(jì)及其對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，除了納斯達(dá)克指數(shù)外，其余4個股指收益率序列采用CARE2模型估計(jì)的最后兩個參數(shù)在90%的置信水平下是顯著的，5個模型的滯后階數(shù)均為5.

為了更好地比較CARE1和CARE2兩類模型EVaR估計(jì)的效果，表10和表11的最后兩行分別給出了兩類模型估計(jì)EVaR的樣本內(nèi)和樣本外的失敗率，在謹(jǐn)慎性水平為1%的條件下，樣本內(nèi)估計(jì)EVaR的失敗率大部分位于3%-4%之間，而樣本外預(yù)測EVaR的失敗率全部大于10%，這說明在樣本外預(yù)測EVaR時，CARE模型低估了EVaR的大小，因而CARE模型不適宜用來預(yù)測金融危機(jī)時期的股指EVaR.另一方面，日經(jīng)指數(shù)和納斯達(dá)克指數(shù)的樣本外失敗率明顯大于國內(nèi)和香港市場股指的樣本外失敗率，這表明CARE模型更適合用于預(yù)測國內(nèi)和香港市場的股指風(fēng)險.

5.3基于GARCH類和SV模型的各股指收

益序列的EVaR計(jì)算

表12列出了用GARCH（1，1）模型來估計(jì)5個股指收益率序列的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量.首先由各收益率序列的偏自相關(guān)函數(shù)來確定AR模型的階，除了Nasdaq指數(shù)收益率序列建模的AR項(xiàng)的階數(shù)為1外，其余股指收益建模的AR項(xiàng)的階數(shù)均為0，并且所有股指的收益率序列GARCH模型的參數(shù)估計(jì)在5%的顯著性水平下均是顯著的.

各模型的樣本內(nèi)EVaR估計(jì)的失敗率均在4%至5%之間，而各模型的樣本外EVaR預(yù)測的失敗率比CARE1，CARE2模型的樣本外EVaR預(yù)測的失敗率都要低，這說明GARCH模型的樣本外EVaR預(yù)測效果比CARE類模型的樣本外EVaR預(yù)測效果好.

從圖3中各股指收益率序列圖可看出，前期正負(fù)收益對當(dāng)期收益波動影響大小是不同的，因而采用EGARCH（1，1）模型對各股指收益率序列進(jìn)行建模.表13給出了5個EGARCH（1，1）模型估計(jì)的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量，各模型的新息取自自由度為10的學(xué)生t分布，其 1%下側(cè)expectile為-2.在95%的置信水平下，從樣本內(nèi)殘差的LjungBox檢驗(yàn)結(jié)果可知，除了上證綜指收益率序列的新息存在一定的相關(guān)性，其他的幾個股指收益率序列的新息均沒有自相關(guān)性存在，上證指數(shù)，深證成指以及恒生指數(shù)的收益率序列的樣本內(nèi)新息序列拒絕了服從自由度為10的學(xué)生t分布的原假設(shè)，日經(jīng)225指數(shù)以及納斯達(dá)克指數(shù)的收益率序列的樣本外序列新息拒絕了服從自由度為10的學(xué)生t分布的原假設(shè).5個EGARCH（1，1）模型的EVaR估計(jì)的樣本內(nèi)失敗率均小于對應(yīng)的GARCH（1，1）模型的失敗率，而樣本外失敗率并無很明顯的變化.

綜合以上基于CARE1，CARE2，GARCH，EGACH，SV等5種模型的EVaR預(yù)測結(jié)果，比較得到的5個股指樣本外EVaR預(yù)測的均值可知，在金融危機(jī)期間，國內(nèi)股市和香港股市的風(fēng)險明顯高于美國納斯達(dá)克指數(shù)和日本日經(jīng)225指數(shù)，其中美國納斯達(dá)克指數(shù)的風(fēng)險是最低的.

6 結(jié)論

針對EVaR風(fēng)險度量，本文提出了基于GARCH類和SV波動率模型的EVaR的計(jì)算方法，即EVaR計(jì)算的參數(shù)模型方法，給出了服從學(xué)生t分布模擬時間序列數(shù)據(jù)的EVaR樣本外預(yù)測的失敗率檢驗(yàn)方法，對5個模型進(jìn)行了比較評價，最后選取國內(nèi)外5個股票市場指數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行了EVaR風(fēng)險對比分析實(shí)證研究.

從模擬時間序列數(shù)據(jù)的EVaR樣本外預(yù)測失敗率檢驗(yàn)結(jié)果來看，在99%的置信水平下，Kupiec失敗率檢驗(yàn)接受了大部分的模型，但DQ檢驗(yàn)拒絕了兩類CARE模型以及SV模型，因而GARCH類模型對于服從學(xué)生t分布的模擬數(shù)據(jù)的EVaR預(yù)測表現(xiàn)最好，這說明用波動率模型來進(jìn)行EVaR估計(jì)和預(yù)測是可行的.

實(shí)證研究結(jié)果表明，在金融危機(jī)期間，基于CARE模型計(jì)算的EVaR低估了市場的實(shí)際風(fēng)險，而基于GARCH類模型和SV模型預(yù)測的EVaR更接近于市場實(shí)際風(fēng)險.對于上證綜指，深圳成指以及恒生指數(shù)的EVaR預(yù)測，EGARCH模型要比SV模型更合理，對于日經(jīng)225指數(shù)以及納斯達(dá)克指數(shù)的EVaR預(yù)測，SV模型要比EGARCH模型更合理.今后可以考慮將單個資產(chǎn)收益的EVaR計(jì)算推廣到投資組合收益的EVaR，進(jìn)而考慮將EVaR風(fēng)險度量應(yīng)用到更多的金融領(lǐng)域，如期貨市場，債券市場等.

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