廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

朱永平,吉飛宇,陳曉艷

(1.西北大學數學系,陜西西安 710127;2.西安建筑科技大學理學院,陜西西安 710055)

廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

朱永平1,吉飛宇2,陳曉艷1

(1.西北大學數學系,陜西西安 710127;2.西安建筑科技大學理學院,陜西西安 710055)

用微分形式的吳方法討論了廣義KdV-Burgers方程不同系數情況下的勢對稱,并且利用這些對稱求得了相應的不變解,這些解對進一步研究廣義KdV-Burgers方程所描述的物理現象具有重要意義.

KdV-Burgers方程;微分形式的吳方法;勢對稱;不變解

1 引言

偏微分方程的對稱理論和方法[1]是以求解線性微分方程的變量分離法,Fourier級數法及積分變換等為其特例的普適性方法,在求精確解和對稱約化方面具有廣泛的應用[23].由于古典對稱方法在構造微分方程的對稱中存在一定的局限性,因此,1981年Perk和Schultz提出了超對稱,1994年Zhdanow和Fokas以及Liu提出了廣義條件對稱等,這些均是對古典對稱的推廣.1989年,Bluman提出的勢對稱理論[4]是擴充方程(組)對稱的簡便有效方法.近期,有許多學者致力于某些重要的非線性偏微分方程的勢對稱及不變解的研究,得到了許多重要成果[5-7].

在物理學中是一類非常重要的非線性波動方程,可看作是Burgers方程及Kuramoro-Sivashinsky方程組合的一種簡單耗散模型.該類方程的很多理論結果受到了廣泛關注[911].本文采用微分形式的吳方法[12]作為輔助計算,對KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解進行了研究,將方程中系數的各種情況分類討論,獲得了與以往文獻不同的勢對稱和不變解,并且大大降低了求解確定方程組的難度.

2 廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

2.1 基本理論

假設給定方程的自變量是x,t,其中u=u(x,t)是未知函數,并且該方程可以寫成守恒形式:

引入勢變量v,得到方程(2)的輔助系統:

設輔助系統的(3)的古典對稱向量為:

2.2 廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

將方程(1)寫成守恒形式:

引入勢變量v,得到相應的輔助系統:

設方程組(6)對應的古典對稱向量為:

下面對方程組(6)的系數α,β,γ分八種情形進行討論.

情形1α/=0,β/=0,γ/=0.

用微分形式的吳方法計算得到(6)式的確定方程組為:

3 結論

本文利用微分形式的吳方法計算了廣義KdV-Burgers方程在不同系數情況下的勢對稱,并且求得了對應的不變解,獲得了與以往文獻不同的結果.這對進一步研究廣義KdVBurgers方程具有重要的意義.對于可寫成守恒形式的微分方程在什么樣的情況下允許勢對稱,有待于繼續研究.

[1]Peter J Olver.Applications of Lie Groups to Differential Equations[M].New York:Spring-Verlag,1986.

[2]王珍,吉飛宇.mKdV方程的對稱和群不變解[J].純粹數學與應用數學,2011,27(6):778-780.

[3]姬利娜,張穎.多孔介質方程的廣義條件對稱和精確解[J].純粹數學與應用數學,2011,27(3):339-342.

[4]George W Bluman,Sukeyuki Kumei.Symmetries and Integration Methods for Differential Equations[M]. New York:Spring-Verlag,1989.

[5]Gandarias M L.New potential symmetries for some evolution equations[J].Physica A,2008,387(10):2234-2242.

[6]張紅霞,鄭麗霞.Benney方程的勢對稱和不變解[J].動力與控制學報,2008,6(3):220-222.

[7]饒云高,朝魯.廣義KdV-Burgers方程新形勢下的勢對稱分類[J].內蒙古工業大學學報,2012,31(1):1-6.

[8]郭柏靈.一類更廣泛的Kdv方程的整體解[J].數學學報,1982,25(6):641-656.

[9]Ablowitz M J.Clarkson P A.Solitons,Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scatting[M].New York: Cambridge University Press,1991.

[10]Zhang S L,Wang Y,Lou S Y.Approximate generalized conditional symmetries for perturbed evolution equations[J].Commu.Theor.Phys.,2007,47(6):975-980.

[11]Zhang S L,Li J N.Initial-value problem for extended KdV-Burgers equations via generalized conditional symmetries[J].Chinese Physics Letters,2007,24(6):1433-1436.

[12]朝魯.微分方程(組)對稱向量的吳-微分特征列算法及其應用[J].數學物理學報,1999,19(3):326-332.

Potential symmetries and invariant solutions of generalized KdV-Burgers equation

Zhu Yongping1,Ji feiyu2,Chen Xiaoyan1
(1.Department of Mathematics,Northewest University,Xi′an710127,China; 2.School of Science,Xi′an University of Architecture and Technology,Xi′an710055,China)

In this paper,the symmetries of generalized KdV-Burgers equation with different coefficients are discussed with the help of Wu′s method in differential forms.And new potential symmetries are obtained. Furthermore,the corresponding invariant solutions can be obtained by using the above symmetries.The solutions have are of great importance to further researching the physical phenomena described by generalized KdVBurgers equation.

KdV-Burgers equation,Wu′s method in differential forms,potential symmetries, invariant solutions

O175.2

A

1008-5513(2013)02-0164-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.009

2012-11-22.

國家自然科學基金(10671156).

朱永平(1986-),碩士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35Q53