兩個變系數非線性Schr?dinger 的精確解

黃彥輝，張金良，魏鵬波

(河南科技大學數學與統計學院，河南洛陽471023)

0 引言

變系數非線性Schr?dinger 方程

當考慮到色散系數、非線性參數和增益系數為z 函數時，方程(1)是光通訊中非常重要的模型。文獻［1］利用變系數F-展開法導出了方程(1)的Jacobi 橢圓函數解;文獻［2］從可積的觀點，基于Lax 對得到了Darboux 變換，借助于該變換，導出了方程(1)的精確多孤子解，并由此得到了顯式單孤子解和二孤子解。文獻［3］先預設解形式，直接代入方程(1)，得到方程的顯式精確解;文獻［4］利用變分法，得到了方程(1)的顯式解析近似解;借助于Lie 群約化方法，文獻［5］導出了方程(1)的精確解。

本文考慮的另一個變系數非線性Schr?dinger 方程為:

其中，φ(z，t)為電場的復包絡;α1(z)、α2(z)、α3(z)、α4(z)和α5(z)分別為二階色散、非線性Kerr 效應引起的自相位調制、自陡崤和自頻移參數;Γ(z)為增益參數。由于有著廣泛的應用，方程(2)已引起眾多學者的關注。文獻［6 -10］研究了方程(2)，得到了顯式亮孤子解、暗孤子解。文獻［11］利用擴展的tanh-展開法，在參數滿足一定的條件下得到了擬亮孤子解、暗孤子解。文獻［12］借助于輔助橢圓型方程，導出了方程(1)和方程(2)的精確解。

本文利用齊次平衡原則［13-16］及二階線性輔助常微分方程，求出輔助橢圓型方程的精確解，借助于輔助橢圓型方程，導出了兩個變系數非線性Schr?dinger 方程(1)和方程(2)的精確解。

1 輔助橢圓型方程的精確解

考慮

依據齊次平衡原則，設輔助橢圓型方程(3)的精確解形如下:

其中，d－1和d1為待定常數;G = G(ξ)滿足二階輔助常微分方程:

其中，μ 為待定常數。

將式(4)代入式(3)并利用式(5)，得方程(3)的精確解如下。

情形1 A ＞0，B ＜0。

情形2 A ＜0，B ＜0。

情形3 A = 0，B ＜0。

2 方程(1)和方程(2)的精確解

由文獻［12］知，方程(1)的精確解表示為:

方程(1)中的系數α(z)、β(z)和γ(z)滿足

其中，D0、D1、A 和B 為常數;φ(ξ)滿足輔助方程(3)。

借助于輔助方程(3)的解，可得方程(1)的精確解，表示為:

情形1 A ＞0，B ＜0。

情形2 A ＜0，B ＜0。

情形3 A = 0，B ＜0。

由文獻［12］知，方程(2)的精確解可分為兩種情況:(Ⅰ)α1(z)+ 3κα3(z)≠0;(Ⅱ)α1(z)+3κα3(z)= 0。

對于以上兩種情況，方程(2)的精確解可借助于輔助方程(3)的解導出，為了簡潔起見，本文不再一一列出。

3 結論與分析

本文用二階線性常微分方程導出了輔助橢圓型方程的精確解，然后，借助于該輔助橢圓型方程推導出了兩個變系數NLS 類方程的解以及相應的約束條件，和文獻［3，10］中的算法相比，本文的計算方法更簡潔、直接。

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