關(guān)于積分第二中值定理介值點的討論

楊大勇

（隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅慶陽745000）

關(guān)于積分第二中值定理介值點的討論

楊大勇

（隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅慶陽745000）

該文論述了第二積分中值定理中的介值點ξ在開區(qū)間(a,b)內(nèi)能夠取得的條件.

連續(xù)；可積；積分中值定理；介值點

定理1[1,2]設(shè)函數(shù)g在[a,b]上可積,此時有如下三個命題:

⑴若函數(shù)f在[a,b]上非負,遞減,則?ξ1∈[a,b],使得

⑵若函數(shù)f在[a,b]上非負,遞增,則?ξ2∈[a,b],使得

⑶若函數(shù)f在[a,b]上單調(diào),則?ξ∈[a,b].使得

那么此定理中的ξ1,ξ2,ξ能否在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得呢？假如,設(shè)

如果在定理中的⑴中加上一個非常一般化的條件,那么一定能在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得.

定理2設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上非負,遞減,f(a+0) -f(b-0)>0,函數(shù)g在[a,b]上可積,則ξ∈[a,b],

證明由定理5的⑴可知,?c∈[a,b],使得

如果c∈(a,b),取ξ=c,定理6便已獲證.

當m=M時或m

設(shè)T={x0,x1,x2,…,xn}是[a,b]的任一劃分,記

令|f(x)|≤L.(a≤x≤b),ωk為g(x)在[xk-1,xk]上的振幅,于是

由定積分存在的充要條件可知,當λ(T)→0時,

以下證明當mm,f(a+0)-f(b-0)>0,所以?b1,使得a0.

設(shè)a1與b1是T的兩個分點,并記a1=xn1,b1=xn2,由Abel變換得

這與矛盾,這表明?ξ∈(a,b),使得G(ξ)=m.

同理可證,當m

〔1〕華東師大數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.217—223.

〔2〕趙顯曾.數(shù)學分析拾遺[M].南京:東南大學出版社,2001.21—27.

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A

1673-260X（2013）01-0015-02