典型二階系統控制器設計

哈斯花

（赤峰工業職業技術學院，內蒙古赤峰024000）

典型二階系統控制器設計

哈斯花

（赤峰工業職業技術學院，內蒙古赤峰024000）

主要研究了典型二階系統控制器的設計方法.首先分析了二階系統的建模過程，然后設計了PID控制器，給出了校正后單位階躍響應圖、校正后伯德圖、Simulink仿真、最后給出了穩定性分析.經過分析可知，系統在沒有經過校正前不滿足要求，經過PID校正后系統的穩態誤差為零，調整時間縮短，反應速度快，具有較強的抗干擾性和較好的魯棒性.

二階系統數學模型；PID控制器；系統穩定性

1 建立系統的數學模型

設輸出氣壓為p(t)，輸出位移x(t),有牛頓第二定理可得：

pA-kx(t)-bv=(M+m)a

代入數據M=0.08kg，m=0.02kg，k=4N/m，b=0. 04Ns/m，A=0.002m并整理后得：

對上式做拉氏變換可求出系統的開環傳遞函數：

進一步可求的系統的閉環傳遞函數：

求系統的閉環極點:

閉環傳遞函數的特征方程：

可求出閉環極點

當輸入為單位階躍函數時即r(t)=1(t),R(s)=1/2特征值為是特征根的實部，代入數據可得σ=0.2，-σ=-0.2是特征根的虛部，稱為阻尼振蕩頻率.代入數據可得：ωd=6.33

s 1 到s 平面坐標原點的距離為ωn

s 1 向量與s 平面負實軸的夾角β 稱為阻尼角.

β=arccosξ β=88°（已接近零阻尼狀態）

-σ=-0.2 ωd=6.33 β=88°繪制復平面二階系統閉環極點分布圖：

如圖所示兩個共軛復根在s平面的左半平面雖然接近虛軸但由上圖可知系統仍是穩定的.

系統的輸入為單位階躍函數

代入公式得當r(t)=1(t)時，穩態誤差ess=1

綜上所述原系統不滿足性能要求

原系統的階躍響應曲線如下圖：

原系統的伯德圖如下：

由性能要求可以反求出系統最終的阻尼比和角頻率：

2 設計控制器

原系統的阻尼比為0.03已接近零阻尼狀態，所以需要通過設計控制器增加系統的阻尼比.故在控制器中加入比例微分環節，微分控制規律能反應輸入信號的變化趨勢，產生有效的早期修正信號，以增加系統的阻尼程度，從而改善系統的穩定性.原系統為0型系統，在輸入為r(t)=1(t)時存在穩態誤差，需要在控制器中加入積分環節，PI控制器相當于在系統中增加了一個位于原點的開環極點，同時也增加了個位于S左半平面的開環零點.增加的負實零點用來提高系統的阻尼程度，緩和PI控制器極點對系統穩定性產生的不利影響.位于原點的極點可以提高系統的型別，即將系統提高到Ⅰ型，以消除或減小系統的穩態誤差，改善系統的穩態性能.單位反饋系統框圖如下：

PID校正計算：

PID控制器的傳遞函數Gc(s)=Kp[1+1/Tis+Tds]其中Kp為可調比例系數

Ti為可調積分時間常數Td為微分時間常數

校正后系統的開環傳遞函數為

單位負反饋閉環傳遞函數為：

假設得到的閉環傳遞函數三階特征多項式可分解為

令對應項系數相等，有

可求得PID校正所需的參數Kp，Ti，Td

校正后系統的特征多項式：

特征多項式不缺項，列出勞斯表：

由勞斯表可知系統穩定.

校正后單位階躍響應如下圖：

校正后得伯德圖如下圖：

由校正后的時域響應曲線和頻域響應伯德圖可知：校正后系統的性能指標滿足要求.所以控制器的傳遞函數為Gc(s)

3 Simulink仿真

4 穩定性分析

質量變化對系統的穩定性影響較大，但質量的變化，系統仍能在調整時間內并在允許誤差范圍內達到穩定，系統的魯棒性較好.現在令在1s時系統受到一個脈沖信號的干擾，經實驗證明，此時系統的響應曲線較平滑且系統最終能回到平衡位置，達到穩態，抗干擾能力強.

5 結論

經過分析可知，系統在沒有經過校正前不滿足要求，經過PID校正后系統的穩態差為零，調整時間縮短，反應速度快，具有較強的抗干擾性和較好的魯棒性.這說明P控制器實質上是一個具有可調增益的放大器.在信號變換過程中，P控制器只改變信號的增益而不影響其相位.在串聯校正中，加大控制器增益KP，可以提高系統的開環增益，減小系統穩態誤差，從而提高系統的控制精度，但系統的相對穩定性，甚至可能造成閉環系統不穩定，因此在系統校正設計中，不能單獨使用比例控制規律；微分控制可以增大系統的阻尼，使階躍響應的超調量下降，調節時間縮短，且不影響常值穩態誤差及系統的自然頻率.由于采用微分控制后，允許選取較高的開環增益，因此在保證一定的動態性能條件下，可以減小穩態誤差，但是微分控制器只對動態過程起作用，而對穩態過程沒有影響，且對系統噪聲非常敏感，所以，單一的D控制器在任何情況下都不宜與被控對象串聯起來單獨使用；而I控制器可提高系統的型別，有利于系統穩態性能的提高，但積分控制使系統增加了一個位于原點的開環極點，使信號產生了900的相角遲后，于系統穩定性不利，因此，在控制系統的校正設計中，通常不宜采用單一的I控制器.所以系統采用了PID控制器，達到了系統的控制要求.

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1673-260X（2013）01-0031-03