有限浸沒深度無限長圓柱殼輻射聲場波動特性

李天勻，江 豐，葉文兵，朱 翔

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

有限浸沒深度無限長圓柱殼輻射聲場波動特性

李天勻，江 豐，葉文兵，朱 翔

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

研究水下圓柱殼聲輻射問題時常常將流體聲介質假設為無限域，而在實際工程中流體為存在自由液面的有限域。針對此假設的不足，基于Flügge薄殼振動方程和Helmholtz方程，利用鏡像法和漢克爾函數的加法定理建立自由液面以下有限浸沒深度處圓柱殼結構與聲場的耦合振動方程，研究輻射聲場中輻射聲壓隨浸沒深度的波動特性。研究表明，不同頻率下遠場輻射聲壓隨浸沒深度的變化曲線上，波峰之間的距離為流體聲波波長的1/2。研究結論可為實際工程應用提供理論基礎。

自由液面；圓柱殼；遠場輻射聲壓；鏡像法；加法定理

0 引 言

流場中圓柱殼結構的聲振特性一直是人們重點關注的問題，Junger等［1-3］很早就對水下圓柱殼結構的聲輻射進行過研究，并以專著的形式對相關研究展開了全面、系統的分析，并給出了圓柱殼結構遠場輻射聲壓的近似表達式；Burroughs［4］導出了流場中具有雙周期環肋支撐的無限長圓柱殼在點激勵作用下遠場聲輻射的解析表達式；Guo［5-7］較深入地研究了水下圓柱殼結構內部艙壁、甲板等結構及其連接形式對殼體散射聲場的影響。國內許多學者［8-11］也對圓柱殼結構的聲輻射特性展開了深入研究。這些研究主要是分析不同結構形式圓柱殼結構在流場中的聲振特性，其中涉及到流場時都是將其作為無限域處理，沒有考慮聲場的反射問題，數學處理較為容易。

在實際工程應用中，圓柱殼結構浸沒于自由液面以下有限深度處時，其所處的流場是有限域，這種流場中聲壓的解析表達式不易直接給出，本文將采用鏡像原理來處理流場中自由液面的邊界條件。鏡像原理是一種比較經典的方法，被廣泛應用于電磁學、光學和聲學等領域。Ergin等［12］利用鏡像原理來處理半無限流體域中的邊界問題，采用邊界積分的方法得到了流體與結構之間的相互作用，最后得到了殼體振動的特征方程；Hayir等［13］利用鏡像原理處理板結構自由邊處的反射作用，分析了含有圓孔的板在簡諧SH波激勵下內部動應力的分布特征；Li等［14］利用鏡像原理處理地面邊界條件，對單極子聲源聲場中球形障礙物的繞射特性進行了分析；Fang等［15］利用鏡像原理處理半無限板中的邊界條件，對含有圓柱型填充物的板結構中彎曲波散射問題進行了研究，并對板中動應力集中系數進行了計算。

本文將通過鏡像原理的應用得到具有自由液面的有限域流場對圓柱殼的聲載荷，最終建立有限浸沒深度下圓柱殼結構—聲場耦合振動方程，研究遠場輻射聲場中輻射聲壓隨浸沒深度的波動特征。

1 理論模型

假設圓柱殼為薄殼，流體為理想流體。圓柱殼結構及其橫截面如圖1所示。圖中，z，φ，r表示殼體的軸向、周向和徑向；u，v，w表示殼體中面軸向、周向和徑向位移。設殼體在φ0處受徑向點激勵 fr的作用，圓柱殼表面的聲載荷為 f0，流體密度為 ρf，自由液面以上是輕流體，近似認為是真空。殼體材料的楊氏模量為E，泊松比為μ，密度為 ρs，殼厚度為h，殼體中面半徑為 R。遠場的觀察點取在自由液面以下，距離為R0，與軸的夾角為q，周向角度為φ1，圓柱殼的浸沒深度為 H（H≥R）。

圖1 自由液面下有限深度圓柱殼結構及坐標系Fig.1 A submerged cylindrical shell and the corresponding coordinate system

1.1 殼體振動方程

殼體振動采用 Flügge方程描述［16］（為簡便起見，略去了簡諧時間項 e-iωt）

式中，

其中，

為求解方程（1），可設

將式（2）～式（6）代入式（1），經過傅里葉變換并利用三角函數的正交性可得

式 中 ，T11=Ω2-λ2-n2(1+K)(1-μ)/2 ； T12=-λn(1+μ)/2 ；T13=i[μλ+Kλ3-K(1- μ)λn2/2]；T21=

經過變換，外加點激勵載荷為

1.2 流體聲載荷

根據鏡像原理（圖2），流場中任意一點 A的聲壓由兩部分組成：

式中，pr為真實柱面波在A點的聲壓；pi為虛源鏡像柱面波在A點的聲壓。

圖2 鏡像及其相應的坐標系Fig.2 The sketch of the image method

這兩部分聲壓均滿足Helmholtz方程，則有

由于假設自由液面外為真空，則自由液面處聲壓為零，自由液面處某點（r=r'=Rs，φ=πφ'=φs）有

經正交處理，上式變為

將式（10）、式（11）和式（14）代入式（9）中，得到

根據貝塞爾函數的Graf加法原理［17］，有

式中，J()為第一類貝塞爾函數。

將式（16）代入式（15），可以得到

進而可以得到圓柱殼表面流體聲載荷的表達式

2 圓柱殼聲輻射特性

2.1 圓柱殼—流場耦合振動方程

考慮到圓柱殼和流體交界面徑向位移的連續性，有

將式（4）和式（18）代入式（20），經過傅里葉變換，則有

將式（9）、式（19）和式（21）代入式（7），可以得到耦合聲振方程

2.2 遠場處的輻射聲壓

將式（17）代入式（15），可以得到

將式（23）進行傅里葉逆變換，即可得到空間域內的輻射聲壓表達式：

利用穩相法對式（24）中的無窮積分進行近似處理，可以求得有限浸沒深度下圓柱殼結構遠場輻射聲壓的近似表達式

式中，

為便于對比，給出了相應的無限域流場中圓柱殼遠場輻射聲壓表達式

3 數值計算

理論模型的相關參數為：圓柱殼材料的彈性模量 E=2.1×1011Pa，泊松比 μ=0.3 ，密度 ρs=7 850 kg/m3，殼厚 h=0.05 m，半徑 R=1.0 m。流體自由波傳播速度Cf=1 500 m/s，流體密度 ρf=1 000 kg/m3。激勵力幅值 F0=1 N，激勵力的位置為φ0=0（遠離自由液面的一邊）。

文獻［18］研究認為，水下結構離自由液面的距離達到一定程度時，流體域可以近似看作無限域來處理。首先，分析圓柱殼結構在不同頻率下浸沒深度 H 取較大值（H=100，300，600 m）時遠場處輻射聲場的分布情況，考慮到前述理論推導過程中加法定理的適用條件r＞2H，取遠場觀察點的距離 R0=1 500 m，θ=π/2，計算結果如圖3所示。從圖中可以看出，在一定頻率下，當浸沒深度達到一定程度時，考慮自由液面存在時圓柱殼結構遠場輻射聲壓的分布特征與無限域基本吻合。

圖4所示為在聲場中的特定觀察點處（R0=50 m，φ=π/8，θ=π/2）輻射聲壓隨浸沒深度的變化關系，隨著激勵頻率的增加，這種波動程度會更加劇烈。其原因主要是，隨著頻率的增加，聲波波長減小，浸沒深度的較小變化會導致直接輻射聲波和反射波波峰或波谷在特定點處相遇，進而導致該點處的聲壓得到增強或削弱，表現在圖中為頻率增加時，曲線上的波峰和波谷的數量也相應增加。圖中，d為曲線上相鄰兩波峰之間的距離。表1所示為不同頻率下的間距波長比。由圖和表的對比可以看出，在任意頻率下，相鄰兩波峰之間的距離近似為流場中聲波波長的1/2。

圖3 3種浸沒深度下遠場處輻射聲壓與無限域計算結果對比Fig 3 Comparison of the far-field pressure in finite depth and in infinite fluid

計算圓柱殼結構的輻射聲場時，周圍介質中的輻射聲壓特征可以用貝塞爾函數來表達。為了進一步說明波峰間距與聲波波長之間的這種關系，有必要對貝塞爾函數的特征展開分析。根據貝塞爾函數的性質，當自變量x足夠大時，貝塞爾函數可以近似表示成如下形式：

圖4 遠場某點處輻射聲壓隨浸沒深度的變化Fig.4 The relationship of the sound pressure at a certain point and the depth

表1 不同頻率下輻射聲壓與浸深關系曲線上波峰間距波長比Tab.1 The radio of the distance of two adjacent peaks in the curves and the wavelength in the fluid

式中，Jn(vx)為第n階貝塞爾函數；v為系數。

由式（27）可見，當x足夠大時，貝塞爾函數峰值之間的距離（用L表示）存在如下關系：

假設 x的取值較小，令v=1，圖5所示為n=0，1，5，10時貝塞爾函數值與 x之間的關系曲線。由圖可見，貝塞爾函數會隨著 x波動變化，隨著階數n的增加，會存在一個截止點x0，當 ||x取值大于 ||x0時，貝塞爾函數才開始取值。表2所示為不同階數下對應的波峰間距L以及L和2π之間的比值。從表中可以看出，當x取值較小時，L和v之間仍然近似滿足式（28）的關系。

圖5 貝塞爾函數特征曲線Fig.5 The characteristic curves of the Bessel functions

分析輻射聲壓計算公式的推導過程可以發現，由于自由液面的存在，貝塞爾函數形式Jm+n(2kfH sin θ)基本貫穿整個輻射聲壓的計算過程，H和2kfsin θ分別對應于式（28）中的自變量x及其系數v。當令θ=π/2時，貝塞爾函數中 H之前的系數就為2kf，按照式（28），可以得出相應的 L=π/kf，而聲波的波長 λ=2π/kf剛好為 L的一倍。因此，可以認為輻射聲壓幅值間的距離與聲波波長間的關系主要是由貝塞爾函數的性質決定。而對于無限域聲場中的輻射聲壓，由于沒有類似自由液面這種邊界條件的存在，相應的貝塞爾函數中沒有浸沒深度項，也就不存在相應的特征。

表2 不同階數下貝塞爾函數峰值間距L和L/2π的值Tab.2 The distance of two adjacent peaks of the curves and the value of L/2π

從物理本質上看，當輻射聲波傳播到自由液面的邊界上時，會形成反射波，基于鏡像原理，這種反射波可以看成是關于自由液面對稱的虛源圓柱殼的輻射聲波，聲場中特定點處的聲壓由于反射波和直接輻射波的疊加可能增強也可能減弱，這種特性主要由圓柱殼與自由液面之間的距離決定。由于文中分析的是遠場聲壓，且實源圓柱殼和觀察點之間的距離滿足r≥2H，因此可以認為實源圓柱殼和觀察點之間的距離r與虛源圓柱殼和觀察點之間的距離r'滿足如下關系：

對于聲場中的特定點而言，實源圓柱殼與觀察點之間的距離r是不變的，當浸沒深度改變時，僅僅是虛源圓柱殼與觀察點之間的距離r'在變化。從式（29）中可以得到如下關系：

式中，Δr'為虛源圓柱殼與觀察點之間的距離變化量；ΔH為圓柱殼浸沒深度的變化量。

由式（30）可見，當浸沒深度變化量為聲波波長的1/2時，虛源圓柱殼和觀察點之間的距離變化量剛好為一個波長，對于特定觀察點而言，深度變化前和變化后所對應的兩種波在該點處的疊加特性應該是一致的。也就是說，在浸沒深度變化前，如果兩種波在特定點處由于疊加而增強，在聲壓浸沒深度變化曲線上表現為峰值點，那么在浸沒深度變化后，兩種波在該點處同樣會因為疊加而增強，在曲線上表現為峰值點。

4 結 語

通過引入鏡像原理來處理自由液面處的邊界條件，利用漢克爾函數加法定理對實源和虛源兩種坐標系之間進行轉換，通過自由液面處聲壓為零的條件建立了實源與虛源聲場之間的關系，進而得到了流場中聲壓的表達式，建立了圓柱殼結構與流場之間的耦合振動方程，基于穩相法，最終得到了有限浸沒深度下圓柱殼結構的遠場輻射聲壓的計算表達式。

研究了不同頻率下聲場中特點處輻射聲壓隨圓柱殼浸沒深度的變化特征，發現在任意頻率下輻射聲壓幅值之間的距離近似為流體中聲波波長的1/2。當浸沒深度的變化量為聲波波長的1/2時，相應的虛源圓柱殼與觀察點之間的距離變換接近一個聲波波長，導致浸沒深度改變前后直接輻射波與反射波在遠場處的疊加特性基本一致。

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The Wave Characteristics of the Acoustic Radiation from Cylindrical Shells Within Finite Depth from the Free Surface

LI Tianyun，JIANG Feng，YE Wenbing，ZHU Xiang

School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

While studying the underwater acoustic radiation from cylindrical shells，the fluid is often assumed to be infinite.However，the free surface of the fluid always exists in real practices.Aiming at this flaw in the assumption，the structure-acoustical coupling equation of a cylindrical shell submerged in the fluid with finite depth is established by applying the image method and the addition theorem of the Hankel function，based on the Flügge equation and the Helmholtz equation.The fluctuation characteristics of the sound pressure at a certain observation point versus the depth are investigated，and it is found that the distance between the two adjacent peaks in the obtained curve equals half of the acoustic wavelength in the fluid.These findings may provide a theoretical basis for practical engineering applications.

free surface；cylindrical shell；far-field acoustic pressure；image method；addition theorem

U661.44

A

1673－3185（2013）01－73－07

10.3969/j.issn.1673-3185.2013.01.011

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20130116.1434.011.html

2012－07－19 網絡出版時間：2013-01-16 14:34

國家自然科學基金資助項目（40976058）；高等學校博士學科點專項科研基金（20120142110051）

李天勻（1969－），男，教授，博士生導師。研究方向：船舶與海洋工程結構力學，結構振動與噪聲控制。E-mail：ltyz801＠mail.hust.edu.cn

江 豐（1988－），男，碩士研究生。研究方向：船舶與海洋工程結構力學，結構振動和噪聲控制。

李天勻。

［責任編輯：張智鵬］