審視物理情境構建物理模型

陳 鋒

（南京師范大學附屬中學，江蘇 南京 210003）

學生在學習高中物理必修2的“宇宙速度”內容時會有這樣的疑問，如果物體以第一宇宙速度拋出但速度方向不是水平，能成為繞地球運行的人造地球衛星嗎？如果物體以第一宇宙速度豎直向上拋出能脫離地球的引力束縛，成為繞太陽運行的人造行星嗎？……要回答這些問題，不僅需要有關天體運動規律的知識，還需掌握解決這類問題的有用的模型與方法，常用的有以下幾種.

1 圓軌道模型

在忽略大氣阻力的情況下，物體在地球表面附近至少以多大的水平速度拋出，就不再落回地面成為繞地球運動的人造衛星？如圖1所示，設地球質量為M，地球半徑為R，物體質量為m，物體沿地球表面勻速運動的速度為v，運行的周期為T，萬有引力常量為G，本文字母表示相同的含義.

物體沿地球表面的運動可看成勻速圓周運動，地球對物體的引力提供物體做圓周運動所需的向心力，即得物體運動的周期為

圖1

這個速度就是第一宇宙速度，當發射的速度大于7.9 km／s小于11.2km／s時物體將成一顆繞地球運行的人造地球衛星.在高中階段研究天體運動時一般都把天體運動的橢圓軌道近似看成圓軌道，萬有引力提供天體做圓周運動所需的向心力.

2 極限軌道模型

當物體以第一宇宙速度豎直向上拋出時，物體經過多長時間上升到最高點？上升的最大高度多大？

通常情況下，研究地面附近物體豎直上拋運動時，由于拋出時的速度較小，上升的高度有限，可以認為物體做勻變速直線運動.當物體拋出的速度很大，上升的高度很高時，萬有引力的變化對物體運動的影響不能忽略，這時可建立極限軌道模型.如圖2所示，把物體運動的軌道看成很扁的橢圓軌道，橢圓短軸2b趨于0，地心為橢圓的一個焦點，近地點、遠地點與兩個焦點距離很小，幾乎重合，則最高點與地心的距離等于橢圓的長軸2a.

由機械能守恒定律得

第一宇宙速度為

由（1）、（2）式解得a＝R.所以物體上升的最大高度為h＝R.

由開普勒第二定律得

式中S陰影是物體運動時間t內，物體與地心連線掃過的面積，等于半個橢圓ABC面積與三角形AOC面積之和（如圖2中陰影部分）.

圖2

由（3）～（5）式得

由開普勒第三定律得繞地球運動半長軸為R的橢圓運動的周期和繞地球運動半徑為R的圓的周期相等，則

又第一宇宙速度為

由（6）～（8）式解得

物體以第一宇宙速度豎直向上拋出時，物體經過時間

上升到最高點，上升的最大高度等于地球半徑R.

物體豎直向上發射的速度很大但小于第二宇宙速度時，物體運動軌道可看成是橢圓軌道的極限：短軸趨于零，長軸等于地心與最高點之間的距離這一模型進行研究.

3 橢圓軌道模型

物體從地球表面附近A點拋出時速度大小等于第一宇宙速度，方向與與豎直方向成θ角，在地球對物體的萬有引力作用下物體將沿橢圓軌道運動，地心O為橢圓的一個焦點，遠地點B與地心O距離為r，物體經過遠地點B時速度為vB，如圖3所示.

由開普勒第二定律得Rvsinθ＝rvB，所以

圖3

又第一宇宙速度為

由機械能守恒定律得

把（1）、（2）式代入（3）式并化簡，得

解得r1＝R＋Rcosθ或r2＝R－Rcosθ，r1對應橢圓軌道的遠地點，r2對應橢圓軌道的近地點，B點到地心的距離為r1＝R＋Rcosθ，則物體能上升的最大高度為h＝R＋Rcosθ－R＝Rcosθ.

橢圓長軸2a＝r1＋r2＝2R，焦距2c＝r1－r2＝2Rcosθ，短軸，建立如圖4所示坐標系，橢圓方程為

圓方程為

圖4

圖5

由（4）、（5）兩式解得x＝±Rsinθ，y＝Rcosθ.

物體落地點與拋出點間的距離等于圓弧AC的長度，即s＝2Rα＝2Rθ.

物體飛行的時間由開普勒第二定律得

式中面積St是物體運動時間t內，物體與地心連線掃過的面積，等于半個橢圓ABC面積與三角形AOC面積之和，如圖5所示.

由開普勒第三定律，繞地球運動半長軸為R的橢圓運動的周期和繞地球運動半徑為R的圓的周期相等T＝，代入

當θ＝0°時，即物體豎直向上拋出，飛行時間為

當θ＝90°時，即物體水平拋出，飛行時間為

當物體發射的速度很大但不大于第一宇宙速度時，萬有引力的變化對物體的運動影響不能忽略，物體不再作一般意義上的斜拋運動，而是沿橢圓軌道運動，最終落回地球表面.